《概率统计A》PPT课件.ppt

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1、1 P229: 1, 2, 3, 5;P234: 1, 3;P250: 1, 2, 3, 6. 2 8.1 假 设 检 验 的 基 本 概 念 8.2 正 态 总 体 均 值 的 假 设 检 验 8.3 正 态 总 体 方 差 的 假 设 检 验 假 设 检 验Ch8 3 1 问 题 的 提 出引 例 : 某 工 厂 正 常 情 况 下 生 产 的 电 灯 泡 的 使 用 寿 命 X服 从 正态 分 布 N(,802)， 现 从 该 厂 生 产 的 这 批 灯 泡 中 随 机 抽 取 10个灯 泡 ， 测 得 它 们 的 使 用 寿 命 如 下 ： 1450， 1480， 1640，1610，

2、 1500， 1600， 1420， 1530， 1700， 1550。 如 果 标 准差 不 变 ， 能 否 认 为 该 工 厂 生 产 的 这 批 灯 泡 的 寿 命 均 值 为1600小 时 ？假 设 ： = 1600， 要 求 根 据 样 本 信 息 判 断 该 假 设 是 否 成 立 。 8.1 一 基 本 概 念 4 原 假 设 和 备 择 假 设原 假 设 （ 零 假 设 ） ： H 0： 待 检 验 的 假 设 ；备 择 假 设 （ 对 立 假 设 ） ： H 1： 与 原 假 设 对 立 的 假 设 。引 例 H 0： = 1600 H 1： 1600 注 ： 1 原 假 设

3、 和 备 择 假 设 的 划 分 不 是 绝 对 的 ； 通 常 把 受 保 护 的 假 设 取 做 原 假 设 H 0 ， 如 “ 无 变化 ” “ 无 差 异 ” “ 无 改 进 ” 等 , 而 备 择 假 设 H1一 般 是 新 论断 ， 不 轻 易 接 受 H1,(即 不 轻 易 拒 绝 H0) 2 等 号 一 般 放 在 原 假 设 中 。 5 二 、 基 本 原 理引 例 : 某 粮 食 加 工 厂 用 自 动 包 装 机 包 装 大 米 ，每 袋 标 准 重 量 为 50kg， 某 日 开 工 后 检 查 机 器 是否 工 作 正 常 ？ （ 长 期 实 践 表 明 ， 均 方

4、差 为 1.5）假 设 50: 50: 1 00 HH （ 机 器 工 作 正 常 ）（ 机 器 工 作 不 正 常 ） 6 如 抽 查 9袋 ， 得 样 本 X1， ， X9， 根 据 这 些值 来 判 断 生 产 是 否 正 常 .通 常 的 办 法 是 进 行 抽 样 检 查 . 在 正 常 生 产 条 件 下 ， 由 于 种 种 随 机 因 素 的 影响 ， 每 袋 重 量 应 在 50kg上 下 波 动 .这 些 因 素 中 没有 哪 一 个 占 有 特 殊 重 要 的 地 位 .因 此 ， 根 据 中 心极 限 定 理 ， 假 定 每 袋 重 量 服 从 正 态 分 布 .如 何

5、检 验假 设 ？ 7 这 样 ， 我 们 可 以 认 为 X1,X9是 取 自 正 态总 体 的 样 本 ，),( 2N是 一 个 常 数 . 2 当 生 产 比 较 稳 定 时 ，现 在 要 检 验 的 假 设 是 ：假 设 50: 50: 1 00 HH （ 机 器 工 作 正 常 ）（ 机 器 工 作 不 正 常 ） 8 那 么 ， 如 何 判 断 原 假 设 H 0 是 否 成 立 呢 ？较 大 、 较 小 是 一 个 相 对 的 概 念 ， 合 理 的 界限 在 何 处 ？ 应 由 什 么 原 则 来 确 定 ？由 于 是 正 态 分 布 的 期 望 ， 其 估 计 量 可 以 是样

6、 本 均 值 ， 因 此 可 以 根 据 与 的 差 距X X 0来 判 断 H 0 是 否 成 立 .X - | 0 较 小 时 ， 可 以 认 为 H 0是 成 立 的 ；当 X - | 0生 产 已 不 正 常 .当 较 大 时 ， 应 认 为 H 0不 成 立 ， 即- |X| 0 9 如 何 给 出 这 个 界 限 ？这 里 用 到 人 们 在 实 践 中 普 遍 采 用 的 一 个 原 则 ：小 概 率 事 件 在 一 次 试 验中 几 乎 不 会 发 生 .：实 际 推 断 原 理 （ 小 概 率 原 理 ） 10 引 例 4: 某 粮 食 加 工 厂 用 自 动 包 装 机 包

7、 装 大 米 ，每 袋 标 准 重 量 为 50kg， 某 日 开 工 后 检 查 机 器 是否 工 作 正 常 ？ （ 长 期 实 践 表 明 ， 均 方 差 为 1.5）假 设 50: 50: 1 00 HH （ 机 器 工 作 正 常 ）（ 机 器 工 作 不 正 常 ） 11 选 择 检 验 统 计 量 | kUP由 于 已 知 ，它 能 衡 量 差 异 大 小 . | 0X 21 uk对 给 定 的 显 著 性 水 平 ，得 nXU 0 N(0,1)0H 21 u 21 u1-/2 /2 12 故 我 们 可 以 取 拒 绝 域 为 ：也 就 是 说 ,“ 21| uU ”是 一 个

8、 小 概 率 事 件 .21| uU如 果 由 样 本 值 算 得 该 统 计 量 的 实 测 值 落 入拒 绝 域 ， 则 拒 绝 H 0 ； 否 则 ， 接 受 H 0 . | 21uUP 21 u 21 u1-/2 /2 13 不 否 定 H 0并 不 是 肯 定 H 0一 定 对 ， 而只 是 说 差 异 还 不 够 显 著 ， 还 没 有 达 到 足以 否 定 H 0的 程 度 .所 以 假 设 检 验 又 叫“显 著 性 检 验 ” 14 其 产 生 的 后 果 是 ： H 0难 于 被 拒 绝 .如 果 在 很 小 的 情 况下 H 0仍 被 拒 绝 了 ， 则 说明 实 际 情

9、 况 很 可 能 与 之 有 显 著 差 异 .01.0基 于 这 个 理 由 ， 人 们 常 把 时 拒 绝H 0称 为 是 显 著 的 ， 而 把 在 时 拒 绝H 0称 为 是 高 度 显 著 的 . 05.0 21 u 21 u1-/2 /2 15 引 例 4: 某 粮 食 加 工 厂 用 自 动 包 装 机 包 装 大 米 ，每 袋 标 准 重 量 为 50kg， 某 日 开 工 后 检 查 机 器 是否 工 作 正 常 ？ （ 长 期 实 践 表 明 ， 均 方 差 为 1.5）抽 样 ： 取 05.09.48,9 xn /2 16 (1)提 出 假 设 H 0、 H 1(2)引

10、入 检 验 统 计 量 (分 布 已 知 )(3)给 定 显 著 性 水 平 (01),确 定 拒 绝 域(4)取 样 ， 计 算 检 验 统 计 量 的 观 察 值 ， 作 出 决 策拒 绝 H 0 或 接 受 H 0 17 注 : H 0、 H 1地 位 不 对 等 18 第 I类 错 误 : 弃 真 错 误第 II类 错 误 :取 伪 错 误H 0不 真 ,但 检 验 统 计 量 不 在 拒 绝 域 内 ,从 而接 受 H 0H 0为 真 ,但 检 验 统 计 量 在 拒 绝 域 内 ,从 而 拒绝 H 0 19 H 0为 真 实 际 情 况决 定拒 绝 H 0接 受 H 0 H 0不

11、真第 一 类 错 误 正 确正 确 第 二 类 错 误P拒 绝 H 0|H 0为 真 = ,P接 受 H 0|H 0不 真 = . 犯 两 类 错 误 的 概 率 :显 著 性 水 平 为 犯 第 一 类 错 误 的 概 率 . 20 当 样 本 容 量 固 定 时 ， 一 类 错 误 概 率 的 减 少 导 致另 一 类 错 误 概 率 的 增 加 . 和 的 关 系 你 不 能 同 时 减少 两 类 错 误 !和 的 关 系 就 像翘 翘 板 ， 小 就大 ， 大 就 小 21 要 同 时 降 低 两 类 错 误 的 概 率 ， 或 者要 在 不 变 的 条 件 下 降 低 ， 需 要 增

12、 加 样本 容 量 . , 基 本 原 则 ： 力 求 在 控 制 前 提 下 减 少 奈 曼 皮 尔 逊 （ Neyman-Pearson） 提 出 ： 22 (2)检 验 统 计 量 :分 析 :2已 知 ,的 假 设 检 验(4)将 样 本 观 测 值 代 入 ,解 (1)假 设 H 0:=15; H 1:15,(3) =0.05,查 表 (u1-/2)=(u0.975)=0.975 得 u0.975=1.96,所 以 拒 绝 域 为 |U| 1.96, |U|u1-/2,故 接 受 H 0， 即 零 件 的 平 均 重 量 仍 为 15.1.96例 由 经 验 知 某 零 件 重 量

13、XN(,2),其 中 =15, 2=0.05,技 术 革新 后 ,抽 查 6个 样 品 测 得 重 量 为 (单 位 : 克 )14.7,15.1,14.8, 15.0,15.2,14.6,已 知 方 差 不 变 ,问 平 均 重 量 是 否 仍 为 15?( =0.05)14.9X )1,0(/ 15 0 NnXU H 成 立 时 09.1|6/05.0 159.14| U 23 0100 0100 0100 :,:3 :,:2 :,:1 HH HH HH 双 边 检 验单 边 检 验单 边 检 验 ： 主 要 关 心 带 方 向 性 的 检 验 问 题 。分 两 种 情 况 ： 一 种 是

14、 我 们 所 考 察 的 数 值 越 大 越 好 。 例 如 某 机构 购 买 灯 泡 的 使 用 寿 命 ， 轮 胎 的 行 驶 里 程 数 ， 等 等 。 另 一种 是 数 值 越 小 越 好 ， 例 如 废 品 率 、 生 产 成 本 等 等 。单 边 检 验 可 分 为 左 边 检 验 和 右 边 检 验 2种 ， 它 们 都 只 有 一 个拒 绝 区 域 。 24 单 边 检 验 （ 2） 已 知 0100 :,:2 HH检 验 统 计 量 nXU 0故 可 取 拒 绝 域 为 ：即 “ ” 是 H0成 立 下 一 个 小 概 率 事 件 . 1uU对 给 定 的 显 著 性 水 平

15、 ， 1uUP 1uU拒 绝 域 形 式 kUX ? 25 0100 :,:2 HH拒 绝 域 为 ： 1uU (右 边 检 验 ) 26 0100 :,:3 HH类 似 ：拒 绝 域 为 ： 1uU (左 边 检 验 ) 27 例 : 2,40),( 02 NX问 用 新 方 法 后 燃 烧 率 是 否 较 以 往 有 显 著 提 高 ？05.0 ,25.41,25 取xn 28 一 般 说 来 ， 按 照 检 验 所 用 的 统 计 量 的 分 布 , 分 为F 检 验 用 F分 布U 检 验 用 正 态 分 布t 检 验 用 t 分 布2 检 验 2用 分 布按 照 对 立 假 设 的

16、提 法 ， 分 为单 侧 检 验 ， 它 的 拒 绝 域 取 在 左 侧 或 右 侧 .双 侧 检 验 ， 它 的 拒 绝 域 取 在 两 侧 ; 29 8.2 正 态 总 体 均 值 的 假 设 检 验(一 )单 个 总 体 的 检 验 ),( 2N1 . 2已 知检 验 统 计 量拒 绝 域 ： (U检 验 ) 11 2/1| uU uU uU 双 边单 边 )1,0(0 NnXU 0 30 )1(21 nt )1(0 21 nt 1- 2. 2未 知检 验 统 计 量拒 绝 域 ： (t 检 验 ) )1(/T 0 ntnSX 0 )1( )1( 11 ntT ntT 0100 :,:1

17、 HH 0100 0100 :,:3 :,:2 HH HH )1(| 2/1 ntT 拒 绝 域 ： )1(1 nt 1-)1( 1 nt 1- 31H 0不 成 立 时 ， T偏 太 大 ，故 拒 绝 域 为H 0不 成 立 时 ， T偏 太 小 ，故 拒 绝 域 为 )1(1 ntT 0100 :,:2 HH )1( 1 ntT 0100 :,:3 HH 0100 :,:1 HH )1(| 2/1 ntT H 0不 成 立 时 ， T偏 太 大 或 偏 太 小 ，故 拒 绝 域 为 )1(21 nt )1(0 21 nt 1- )1( 1 nt 1-)1(1 nt 1- 32 例 以 往

18、一 台 机 器 生 产 的 垫 圈 的 平 均 厚 度 为 0.050厘 米 ， 为 了 检查 这 台 机 器 是 否 处 于 正 常 工 作 状 态 ， 现 抽 取 10个 垫 圈 ， 测 得 其平 均 厚 度 为 0.053厘 米 ， 样 本 方 差 为 0.00322, 在 显 著 水 平 =0.01下 ， 检 验 机 器 是 否 处 于 正 常 工 作 状 态 。分 析 :2未 知 ,的 假 设 检 验 (2) 2未 知 , 检 验 统 计 量 : 0.050 ( 1)/XT t nS n (4)计 算 统 计 量 的 观 测 值 ,解 (1)假 设 H 0:=0.050; H 1:

19、0.050,(3)查 t分 布 的 分 位 数 表 得 t1-/2=3.250,所 以 拒 绝 域 为 |T| 3.250, 0.053 0.050| | | | 2.96 3.250 0.0032/ 10T |T|225检 验 的 拒 绝 域 为现 在 n=16,t0.95(15)=1.7531. =241.5,s=98.7259,有 =0.6685 1.96 37 (4)将 样 本 观 测 值 代 入 ,2 21180 1220| | 2.38 1.9695 120100 75U 故 拒 绝 原 假 设 .即 认 为 两 厂 灯 泡 的 平 均 寿 命 有 显 著 差 异 。 38 例 某

20、 纺 织 厂 生 产 的 纱 线 ， 其 强 力 服 从 正 态 分 布 。 为 比 较 甲 、 乙两 地 生 产 的 棉 花 所 纺 纱 线 的 强 力 ， 各 抽 取 7个 和 8个 样 本 进 行 测量 ， 得 数 据 如 下 （ 单 位 ： 公 斤 )甲 地 ： 1.55, 1.47, 1.52, 1.60, 1.43, 1.53, 1.54乙 地 ： 1.42, 1.49, 1.46, 1.34, 1.38, 1.54, 1.38, 1.51问 两 地 棉 花 所 纺 纱 线 的 强 力 有 无 显 著 差 异 ？解 ： 设 甲 地 棉 花 所 纺 纱 线 的 强 力 为 X, 乙

21、地 棉 花 所 纺 纱 线 的 强力 为 Y, 已 知 ： XN(1,12)， YN(2, 22 )， 其 中 12 ， 22 未知 ， 在 这 种 情 况 下 应 先 检 验 假 设 “ H 0:12= 22 ”,此 处 不 妨 假 设12= 22 ， 但 未 知 。 问 题 归 结 为 对 假 设 H 0: 1= 2 的 检 验 。(1) 提 出 原 假 设 和 备 择 假 设 : H 0: 1= 2， H 1: 1 2（ 2） 选 择 统 计 量 T， 在 H 0成 立 的 条 件 下 1 22 21 1 2 21 2 1 2 ( 2)( 1) ( 1) 1 12X YT t n nn

22、S n Sn n n n 39 （ 3） 对 给 定 的 =0.05， 查 T分 布 表 得 统 计 量 T的 临 界 值t1-/2(13)=2.16， 所 以 拒 绝 域 为 |T| 2.16.(4) 由 样 本 数 据 计 算 可 得 1 21.52, 1.44, 7, 8X Y n n 2 21 20.0031, 0.0051S S 1.52 1.44 2.396 0.0031 7 0.0051 1 17 8 2 7 8T 由 于 |T| t 1-/2(13), 故 拒 绝 原 假 设 H 0 ， 即 认 为 两 种 棉花 所 纺 纱 线 强 力 有 较 明 显 的 差 异 。 40 8

23、.3 正 态 总 体 方 差 的 假 设 检 验(一 )单 个 总 体 的 检 验22),( N （ 未 知 ）20212020 :,:1 HH检 验 统 计 量拒 绝 域 ： ( 检 验 )2 )1(2 21 n)1(2 2 n )(xf x1)1(2 /212 n )1(2/22 n或 )1(1)S-(n 220 22 n 0H 41 20212020 :,:2 HH )1(21 n1 )1(2 n 120212020 :,:3 HH )1(212 n )1(22 nH 0不 成 立 时 ， 偏 大 ， 故 拒 绝 域 :22H 0不 成 立 时 ， 偏 小 ， 故 拒 绝 域 : 42

24、例 某 炼 铁 厂 铁 水 含 碳 量 在 正 常 情 况 下 服 从 方 差 为 0.1122的 正 态分 布 ， 现 对 操 作 工 艺 进 行 了 改 变 ， 从 中 抽 取 7炉 铁 水 测 得 含 碳 量如 下 ： 4.421,4.052,4.357,4.394,4.326,4.287,4.683. 问 新 工 艺 炼 出的 铁 水 含 碳 量 的 方 差 有 无 明 显 改 变 ?( =0.05) (2)检 验 统 计 量 : 故 拒 绝 原 假 设 . 即 认 为 方 差 有 明 显 变 化 。 解 :(1)假 设 H 0: 2 = 02 =0.1122; H 1: 2 0.11

25、222 ( 1)n (3)查 表 得 14.449接 受 域 为 1 2 2(4)由 样 本 观 测 值 计 算 得2 16.789 24.36, 0.0351,X S 统 计 量 观 测 值 20 22 )1( Sn (H 0成 立 时 ） 237.1)6()1( 449.14)6()1( 2025.0221 2975.02 212 nn 43 211211 ,:),( SXnNX 222222 ,:),( SYnNY 两 样 本 独 立（ 二 ） 两 个 正 态 总 体 ( 未 知 ）21, 2221122210 :,:1 HH检 验 统 计 量拒 绝 域 ： 或 )1,1(SSSSF 2

26、122212221 2221 nnF 0H )1,1( 212/1 nnFF )1,1( 212/ nnFF ( F 检 验 ) 44 例 8 某 纺 织 厂 生 产 的 纱 线 ， 其 强 力 服 从 正 态 分 布 。 为 比 较 甲 、乙 两 地 生 产 的 棉 花 所 纺 纱 线 的 强 力 ， 各 抽 取 7个 和 8个 样 本 进 行测 量 ， 得 数 据 如 下 （ 单 位 ： 公 斤 )甲 地 ： 1.55, 1.47, 1.52, 1.60, 1.43, 1.53, 1.54乙 地 ： 1.42, 1.49, 1.46, 1.34, 1.38, 1.54, 1.38, 1.5

27、1问 两 地 棉 花 所 纺 纱 线 的 强 力 的 方 差 有 无 显 著 差 异 ？(1) 建 立 统 计 假 设 ： H 0: 12 =22; H 1: 12 22（ 2） 在 H 0成 立 的 情 况 下 ， 统 计 量 : 2122 (6,7)SF FS（ 3） 根 据 =0.05， 自 由 度 为 （ 6,7） ， 查 出 临 界 值1754.07.51)6,7(1)7,6( 12.5)7,6( 975.0025.01 975.02 FFF 45 (4) 将 样 本 观 测 值 代 入 F, 计 算 得1 F 2 ， 故 接 受 原 假 设 ， 即 认 为 两 地 棉 花 所 纺

28、纱 线 强力 的 方 差 无 显 著 差 异 。拒 绝 域 为 F 2=5.122 21 20.0031, 0.0051S S 2122 0.0031 0.60780.0051SF S 46 例 为 比 较 两 台 自 动 机 床 的 精 度 ， 分 别 取 容量 为 10和 8的 两 个 样 本 ， 测 量 某 个 指 标 的 尺寸 (假 定 服 从 正 态 分 布 )， 得 到 下 列 结 果 ：在 =0.1时 ， 问 这 两 台 机 床 是 否 有 同 样的 精 度 ?车 床 甲 ： 1.08, 1.10, 1.12, 1.14, 1.15, 1.25, 1.36, 1.38,1.40,

29、1.42车 床 乙 ： 1.11, 1.12, 1.18, 1.22, 1.33, 1.35, 1.36, 1.38 47 单 正 态 总 体 参数 的 假 设 检 验双 正 态 总 体的 假 设 检 验小 结 : 期 望 假 设 检 验方 差 的 假 设 检 验 2已 知 U2未 知 T均 值 差 的 假 设 检 验方 差 比 的 假 设 检 验 两 个 方 差 都 已 知 U两 个 方 差 未 知 但 相 等 TF2 48 正 态 总 体 均 值 、 方 差 的 检 验 法 (P229)检 验 统 计 量H 0 )1(/ 00 ntnSXt H )1,0(/ 00 NnXZ H 1uU2

30、)1()1( 21 2222112 nn SnSnSw 1.2.3.4. 0 0= 0(2已 知 ) 拒 绝 域 1uU 2/1| uU0 0= 0(2未 知 ) )1(1 ntt )1(1 ntt )1(| 2/1 ntt 1- 21- 21- 2=( 12， 22已 知 )1- 21- 21- 2=(12= 22= 2未 知 ) )1,0(0222121 Nnn YXZ H )2(11 2121 0 nntnnS YXt Hw )2( 211 nntt )2( 211 nntt )2(| 212/1 nntt 1uU 1uU 2/1| uU 49 正 态 总 体 均 值 、 方 差 的 检

31、 验 法 (P229)检 验 统 计 量H 0 )1,1( 212221 0 nnFSSF H )1()1( 220 22 0 nSn H )1(212 n5.6.7. 2 022 02 2 = 02(未 知 ) 拒 绝 域 )1,1( 21 nnFF D0D0D=0(成 对 数 据 )12 2212 22 12 = 22(1, 2未 知 ) )1(22 n )1(2 2/12 n )1(2 2/2 n或 )1,1( 211 nnFF )1,1( 212/ nnFF )1,1( 212/1 nnFF 或)1(/ 0 0 ntnSDt HD )1( ntt )1( ntt )1(| 2/ ntt