正态分布总结

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1、第13讲 正态分布教学目的：理解并熟练掌握正态分布的密度函数、分布函数、数字特征及线性性质。 教学重点：正态分布的密度函数和分布函数。 教学难点：正态分布密度曲线的特征及正态分布的线性性质。教学学时：2 学时教学过程:第四章 正态分布4.1 正态分布的概率密度与分布函数(x卩 12a 2 dx。在讨论正态分布之前，我们先计算积分J+g= eg J 2兀 o首先计算卜e弋dx。因为gx2J+g edx J+ge宁 dygg(利用极坐标计算)eR22 do 二 J20r2d0 Je -i rdr - 2兀0所以 J e- 2 dx =、：2m。gXL记 口=t，则利用定积分的换元法有 aJ+g 1

2、 eg、/2元o(x -)22g 2dx = J+g 1 e J2 dt =g元1 J+g e 与 dt =、/2元g1(x _,匕因为. e 2o22兀o 0，所以它可以作为某个连续随机变量的概率密度函数。定义 如果连续随机变量 X 的概率密度为f (x)=(x 卩)22 o 2,g x 0)是正态分布的参 数。正态分布也称为高斯(Gauss)分布。对于卩=0q = 1的特殊情况，即如果XN(0,1),则称X服从标准正态分布，它的概率密度记为申(x),有p(x=-= e二J2兀函数p(x)=丄e-肓的图象的特点:2兀令p(x)=上e- 2 = 0，得驻点x二0。根据申G)的正负性可知，x二0

3、是申 (x)的 J2兀极大值点，该点坐标为0扬e2k了 = 0，得x = 1，根据昇(x)的正负性可知，函数申6)在(-也-1)和6,+内是凹的，在(-1,1)内是凸的,-1,丄1e - 2和1,丄 e -2、J2兀丿(2兀丿是拐点。.1x2.因为lim-e- 2 = 0，所以x轴是该曲线的渐近线。xs P 2兀根据申G)的偶函数性质，函数p(x)的图象关于y轴对称。根据上述特点作出申G)的曲线如下:K Cuive 1对于一般的正态分布XN(q 2),概率密度函数f (x)=Le一汁有如下特占.八、 (1 A(1) 在X =卩处达到极大值，极大值点为卩，_。3 中2兀G丿(2) 在X =卩。处

4、为图象的拐点，拐点坐标为卩Q,丄e-2，在(卩-6卩+)3 丿内是凸的,其它范围内是凹的。(3) x轴为渐近线。(4) b越大，最大值越小，拐点越偏离卩。图象关于直线x二卩对称。对于X它的分布函数为F(x)= P(X 0范围内图象是凸的，在x 0时的数值。对于x 0的情况，可以根据)= 1-(-x)求得。一般的正态分布 X Q 2 )的分布函数F (x )与(x)的关系如下:F(x)=1 Jxe2兀o -gA 记u = t 卩 1fxu-记v =廿 12o 2 dt,e 2o 2 du oo eg2 dv =o有了 FC)与)的关系，就可以求出任何正态随机变量X落在某个区间内的概率。对于 X

5、x , x满足x x ,则有1 2 1 2P(x X x )= P(X x ) P(x X)= F(x ) F(x )1 2 2 1 2 1又因为X是连续随机变量,因此有P(x Xx )=P(x Xx )=P(x Xx )=F(x )F(x ) 1 2 1 2 1 2 2 1 例 1 已知 X N (1.5,4),求 P(X 2)。解X服从参数卩=1.5,o= 2的正态分布，故有P(X 2)= P(X 2)= P(X 2)+ 1 P(X 2)2 1.5 “/ 2 1.5 )+ 1 |I 2丿1 2丿=(-1.75 )+ 1 (0.25 )=2 G.75 )(0.25 )= 2 0.9599 0

6、.5981 = 0.4414例2 已知 X NCq 2)求 P(X 川 -ko), (k = 1,2,3)。解P(X -川 ko )= P(y - ko X + ko )= =仆+ M-町1 o 丿/ 2 G-1 = 0.6826, = 2(2)-1 = 0.9544,2 (3)-1 = 0.9974,o 丿 k = 1; k = 2; k = 3.= O(k )-(-k )= 2 (k )-1例3已知XN(0,1),求随机变量Y = X2的概率密度函数。解因为XN(0,1),所以X 的密度函数 f (x)=p(x)=e 2 ,x e (-8,+x),则 YXv2k的分布函数 F (y)= P

7、(Y y)= P(X 2 y)。Y显然当Y 0的情况有F (y)= P(X 2 y)= P V 亍 XY、1x22x2J y_e 2 dx = J ye 2 dx2兀y2兀0此时fY(y)= F；(y)= d為0 ex2、2 dx丿2亠11 1 亠= e 2 -= y 2 e 22k2打-v2k故随机变量Y的概率密度函数为fY )=1叮2兀0,注 称上述随机变量Y服从自由度为1的X 2分布。4.2 正态分布的数字特征我们首先讨论一般正态分布N C Q 2）与标准正态分布N（0,1）数字特征间的关系。由一般正态分布XNCq 2）的分布函数F（x）与标准正态分布的分布函数6）的 关系可知，如果随机

8、变量XNCq2）,则Y =兰二上N（0,1）。由期望与方差的线性性 o因此,要研究正态分质知 E（X）= EGy + 卩）=oE（Y）+ 卩,D（X）= D（oY + 卩）=o 2D（Y）,布的数字特征,只需研究标准正态分布的数字特征就可以了。1. 正态分布的数学期望对于 Y N6,1), E(Y)= J +gx ,1 e 2 dx = . J+ge 2 dg7 2兀2k g对于 X NC,o 2), E(X)=oE(Y)+p = p.1v2kx22+g=0.g2. 正态分布的方差对于 Y N（0,1）, D（Y）= EC ） e（Y）1,已知 E（Y）= 0,E C 2)=卜 x 2etgd

9、x =J+g x - ev2k2k gx212 d 卄=:2 J2兀+g x - dg、x22丿+g 1 +g+ J+g v-2k ggx2-e 2 dx1x2=. xe 2 2k=0 + * 2k2k=1.所以 D(Y)= E(Y2 )E(Y)1 = 1。对于 X N(p,o2), D(X)=o2D(Y)=o2。综合上面的讨论知，正态分布N C,o 2)的期望值是卩，方差是o 2。4.3 正态分布的线性性质1. 单个正态随机变量线性函数的分布已知XNCQ 2）, a,b e R（b丰0）,记随机变量Y二a + bX ,下面讨论Y的性质。因为Ya = XNCQ 2）,匸匕N（0,1）,故有ba

10、Y - a _ 卫=Y_a 加N（0,1）aba由此可见YNa + bp,b2a 2）,既单个正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布。2. 两个正态随机变量和的分布已知两个独立的随机变量X,Y满足XN（ Q 2）, YN（ Q 2）,则Z = X + Y 1 1 2 2仍然服从正态分布。由数字特征的线性性质可得E（Z）= E（X）+ E（Y）=卩 +卩,D（Z）= D（X）+ D（Y）= 2 +a 21 2 1 2 因此有Z = X + YN（ +卩Q 2 +Q 2）。1 2 1 2 对于上述结论不予证明,其有更广泛的结论。定理 设随机变量X , X，,X相互独立，都服从正态分布1 2 nX NC Q 2） i = 1,2，,nii i则它们的线性组合 cX也服从正态分布，且有iii=1n c Xiii=1Nc 2a 2 i ii ii =1i =1其中c ,c，,c为常数。12 n