《医用高数》PPT课件.ppt

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1、一 、 不 定 积 分 的 概 念二 、 不 定 积 分 的 性 质 基 本 积 分 公 式 三 、 换 元 积 分 法 第 一 节 不 定 积 分第 三 章 一 元 函 数 积 分 学 一 、 不 定 积 分 的 概 念 定 义 3-1 若 在 某 区 间 上 ,则 称 为 在 该 区 间 上 的 一 个 原 函 数 )(xF)(xf 上 的 一 个 原 函 数在 区 间是 ),(cossin xx 上 的 一 个 原 函 数在 区 间是 ),0(1ln xx例 xx cossin ),( xxx 1)ln( ),0( x )()( xfxF xcx cossin （ 为 任 意 常 数 ）

2、C xx cossin 分 析（ 2） 若 和 都 是 的 原 函 数 ,)(xF )(xG )(xf则 CxFxG )()( （ 为 任 意 常 数 ）C结 论 （ 1） 若 ， 则 对 于 任 意 常 数 ，)()( xfxF C都 有 )()( xfCxF （ 3） 为 原 函 数 的 全 体CxF )( )(xf问 题 (1) 原 函 数 是 否 唯 一 ？(2) 若 不 唯 一 它 们 之 间 有 什 么 联 系 ？(3) 原 函 数 的 全 体 如 何 表 示 ? 任意常数积分号 被积函数 CxFdxxf )()( 被积表达式 定 义 3-2 若 函 数 是 的 一 个 原 函 数

3、 , 则 原 函 数 的 全 体 称 为 的 不 定 积 分 . 记 为 . )(xf)(xf CxF )( )(xf dxxf )( )(xF 积分变量 由 此 可 知 , 求 不 定 积 分 只 需 求 出 一个 原 函 数 , 再 加 上 任 意 常 数 .)(xf )(xfC 例 3-1： 求 经 过 点 (1, 3)， 且 其 切 线 的 斜 率 为 3x2 的 曲 线 方 程解 ： 因 为 (x3)=3x2 3x2dx=x3+C 得 曲 线 族 y=x3+C将 x =1, y=3 代 入 得 C=2,故 所 求 曲 线 为 : y =x3+2 不 定 积 分 的 几 何 意 义 x

4、y o x CxFy )( )(xFy CxFy )( 是 积 分 曲 线 上 、下 平 移 所 得 到 一 族积 分 曲 线 ， 称 为 积分 曲 线 族 )(xF 在 点 处 有 相 同的 斜 率 ， 即 这些 切 线 互 相 平 行 x )(xf 二 、 不 定 积 分 的 性 质 和 基 本 积 分 公 式 )()( xfdxxf 或 dxxfdxxfd )()( 性 质 3-1 Cxfdxxf )()( Cxfxdf )()(或性 质 3-2 dxxkf )( dxxfk )( （ k是 常 数 ， )0k性 质 3-3 dxxgxf )()( dxxgdxxf )()(性 质 3-

5、4 基 本 积 分 公 式 );1(1)1( 1 Cxdxx Cxxdx ln)2( xdxcos)5( Cxsin Caax ln dxax(3) dxex Cex (4) xdxsin)6( Cxcos x2sec)7( Cx tan x2csc)8( Cxcot dxx 21 1)9( CxarcCx cotarctan dxx 21 1 )10( CxCx arccosarcsin 例 3-2 求 dxx1解 上 的在是所 以时 ),0(1ln,1)(ln,0 xxxxx 是所 以时 )ln(),1(1)ln(,0 xxxx 上 的在 )0,(1 x .一 个 原 函 数 所 以一 个

6、 原 函 数 . ),0()0,( ln1 xCxdxx 例 3-3: 求解 : 2 1 2 23 1(3 1)2 13 2x dxxx dx x dx dxx x x C 2 1(3 1)2x dxx 例 3-4（ 1） 求 4 21 x dxx解例 3-4（ 2） 求 xdx 2tan解 )1(sectan 22 dxxxdx Cxx tan 4 42 22 23 1 11 11( 1 )1arctan3x xdx dxx xx dxxx x x C (3 2 ) 3 (2 )x x x xe dx e dx e dx (4)例 3-4（ 3） 求 dxxx )5( 2 Cxx 2327

7、31071解 dxxx )5( 2 dxxx )5( 2125 (2 ) 23 3ln(2 ) ln 2 1x x xx xe ee C e Ce 例 求 dxxx 22 1cossin解 dxxx 22 1cossin 2 22 2sin cossin cosx xdxx x 2 21 1( )cos sin dxx x Cxx cottan 但 是 dxe x2 Ce x 2解 决 方 法 利 用 复 合 函 数 ， 设 置 中 间 变 量 . 问 题 的 提 出 Cedxe xx三 、 换 元 积 分 法 dxxedxe xx )2(21 22 xde x 221 2xx eCe 22

8、)( 因 为 xu 2 .212121 2 CeCedue xuu 第 一 类 换 元 法 (凑 微 分 法 ) dxxxf )()( CxFdxxxf )()()( )()( xuduuf 注 意 使 用 此 公 式 的 关 键 在 于 CxFxdxfdxxxf )()()()()( 即 将 )()()()( xdxfdxxxf 拼 凑 成 定 理 3-1则 有 换 元 公 式证 明 ( ) ( ) ( )dF x F u xdx ( ) ( ) ( ) ( )f u x f x x CxFduuf xu )()( )( 可 导具 有 原 函 数设 )(),()( xuuFuf 解 dxxa

9、 22 1 dxaxa 222 1 11 .1 22 dxxa 例 3-5（ 1） 求 axdaxa 21 11 duua 21 11axu Caxa arctan1Cua arctan1 dxxtan例 3-5（ 2） 求解 dxxxdxx cossintan xxdcoscosxu cos uduCu ln Cx cosln对 换 元 积 分 比 较 熟 练 以 后 ,不 必 写 出 中 间 变 量 udxax 例 3-6 求解 )()( 21 axdaxdxax Cax 23)(32 dxxe x 22例 求解 )( 2222 xdedxxe xx Cex 2 dxxxln例 求解 dx

10、 xxdxxx 1lnln dxxx )(lnln Cxxxd 2)(ln21lnln .dxxa 22 1例 3-7 求解 dxxaxadxxa )( 11 22 dxxaxaa )( 1121 )()( xa xadxa xada21 Cxaxa a )ln(ln21 Cxa xaa ln21 xxd 2sin1 sin同 理 可 得 Cxxxdx )cotln(csccsc .sec xdx例 3-8 求解 1cos dxx dxxx2coscos xdxsec Cxx sin1 sin1ln21 Cxx 2 2sin1 )sin1(ln21 Cxx )tanln(secCxx coss

11、in1ln21 例 3-9： sin2x cos3x dx= sin2x cos2x d(sinx)= sin2x(1-sin2x)dsinx=1/3sin3x-1/5sin5x+C例 3-10： sin2xdx= (1-cos2x)/2dx =x/2-sin2x/4+C例 3-11 sin6xcos2xdx = 1/2(sin8x+sin4x)dx =-1/16cos8x-1/8cos4x+C 解 法 1 xdxxcossin )(sinsin xxdCx 2sin21 xdxx cossin例 3-12 求解 法 2 xdxxcossin )(coscos xxdCx 2cos21解 法

12、3 xdx2sin21 xdxxcossin Cx 2cos41 凑 微 分 常 见 的 类 型 1 )()()(.1 111 n xdxfdxxxf nnnn )()(2)(.2 xdxfdxxxf )(ln)(ln)(ln.3 xdxfdxx xf )1()1()1(.4 2 xdxfdxxxf )(sin)(sincos)(sin.5 xdxfxdxxf xxxx deefdxeef )()(.6 xdxfxdxxf tan)(tansec)(tan.7 2 )(arctan)(arctan1 )(arctan.8 2 xdxfdxx xf duufdxxxf )()()( 化 为 积

13、分第 一 类 换 元 法 是 通 过 变 量 替 换 将 积 分)(xu 第 二 类 换 元 法 是 通 过 变 量 将 积 分 )(tx dtttfdxxf )()()( 化 为 积 分2 第 二 类 换 元 法 dtttfdxxf )()()( 设 单 调 、 可 导 ， 且 ， 则 有 )(tx 0)( t 例 3-13 求 .1 1 dxx 解 令 2tx tdtdx 2dxx 1 1 dttt12 dttt1 1)1(2 tdtdt 122 Ctt )1ln(22 Cxx )1ln(22 对 被 积 函 数 中 含 有 无 理 根 式 的 积 分 ， 通 过 适 当 的 变换 去 掉

14、 根 式 后 再 积 分 ， 也 称 根 式 代 换 .例 3-14 求 .)1( 1 3 dxxx 解 令 6tx dttdx 56dxxx )1( 1 3 dttt t )1(6 23 5 dttt 2216dttt 2216 dttt 221 116 dttdt 21 166Ctt )arctan(6 Cxx )arctan(6 66 若 被 积 函 数 中 含 有 时 , 可 采用 三 角 替 换 的 方 法 化 去 根 式 , 这 种 方 法 称 为 三 角 代换 . 2222 ax、xa 三 角 代 换 常 有 下 列 规 律22)1( xa 可 令 ;sintax22)2( xa

15、 可 令 ;tantax22)3( ax 可 令 .sectax tdtatadxxa coscos22解 设 tdtadx cos22,sin ttax tataaxa cossin 22222 dttatdta 2 21222 coscos Cttata cossin22 22 Cxaxaxa 222 21arcsin2 ).0(22 adxxa例 3-15 求 t 22 xa xa dxax 221 tdtata 2secsec1 tdtsec1)tanln(sec Ctt t a x22 ax 122ln Ca axax 解 令 tax tan tdtadx 2sec 2,2t ).0

16、(1 22 adxax例 3-16 求 Caxx )ln( 22 )ln( 1 aCC 解 令 tax sec 2,0ttdttadx tansec dxax 221 dtta tta tantansec tdtsec 1tansecln Ctt tax 22 ax 122ln Ca axax ).0(1 22 adxax例 3-17 求 Caxx 22ln )ln( 1 aCC 例 3-18： 求解 : 2 24a x dxx 212 2 24 24 12 2 2 1 ( )1( 1)x u aa x duudxx uua u udu 令 x =1/u 3 32 2 2 22 22 2 3( 1) ( )3 3a u a xC Ca a x ux 1 duudx 21解 令例 3-19 求 dxxx 112 duuuu 22 1111 1dxxx 112 Cuudu arccos1 2 Cx 1arccos 作 业 ： P79， 习 题 三 ， 1-2