椭圆的简单几何性质

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1、椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质是人教版选修2-1的内容。本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。先引导学生观察椭圆-几何直观，了解应该关注椭圆的哪些方面的性质，然后再引导学生考虑方程的各种特征对应着椭圆的哪些几何特征，逐渐让学生掌握研究曲线的几何性质的方法。这样由形到数，由数到形，通过对曲线的范围、対称性及特殊点的讨论，从整体上把握曲线形状、大小、和位置。对于学生来说，利用曲线方程研究曲线性质这是第一次，因此它在教学中起到承上启下的作用，教学中教师要注意引导、点拨。教学目标：（1）知识目标：A、通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并正确地画

2、出它的图形；B、领会每一个几何性质的内涵，并学会运用它们解决一些简单问题。（2）能力目标：A、培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；B、运用数形结合思想解决实际问题的能力。教学重点和难点： 重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。 难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭圆的扁平程度的给出过程。教学过程:两个重要环节：第一“环节”：导入新课：利用多媒体打出一个焦点在X轴上的椭圆，引导学生从直观上观察椭圆，想一想我们应该关注椭圆的哪些方面的性质，研究哪些问题，如何研究，引导学生从整体上把握几何图形，这就是范围、对称性；其次是研究它的顶点（与对称轴的交点）、扁平程度（

3、离心率）等等。第二“环节”：导出性质：引导学生根据椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质，为了有序地讨论性质，可以先引导学生分析得出以下结论：方程中变量x、y的取值范围曲线的范围方程形式上的对称性曲线的对称性x=0或y=0时方程的解曲线与对称轴的交点（椭圆的顶点）a,b,c相对的大小变化曲线的几何形状变化趋势（椭圆的离心率） 授一、复习回顾上节知识点：1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程；3、求椭圆方程的几种方法：待定系数法、定义法、相关点法。二、讲授新课：1、观察思考：观察椭圆（），想一想我们应该从哪能些方面关注椭圆的哪些方面的几何性质，研究哪些问题。我们从整体上把握几何图形，这就是范围、对称性

4、；其次是研究它的顶点、扁平程度等等。2、教师引导，学生合作研究师：解析几何要解决的两类问题是：（1）由已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质。第一个问题我们已经解决，下面我们用椭圆的标准方程来研究椭圆的简单几何性质。从数的角度（也就是方程）来验证我们刚才从直观（也就是形）得来的结论。（一）范围：引导学生得出在解析几何中讨论曲线的范围，就是确定方程中两个变量x,y的取值范围。用多种方法探究，汇报研究成果并用实物投影展示或到黑板板书。学生1：由利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得且，则有。那么它的范围就是直线所围成的区域。老师：很好，谁还有不同意见？学生2：利用三

5、角换元，令。由正弦函数有界可得范围。老师：这个想法也不错，谁还有不同见解？学生3：从中解出，利用可得y的取值范围，同样可得x的取值范围。师：这种想法也很好，谁还有不同方法？此时学生陷入深思中，教师及时点拨，前面我们学习过函数的定义域、值域，这对你研究椭圆的范围有何启示呢？学生4：（在黑板上展示）由则，可通过求这个函数的定义域、值域得范围。老师：是函数吗？学生4：（思考后说）不是。老师：怎样处理呢？学生4：把和分别看作是一个函数。老师：正确。往下怎样研究呢？学生4：先求函数的定义域、值域。利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得，同样得中，于是得到范围。老师：很好。通过前面的探讨，我们

6、知道椭圆是有范围的，即，它围在一个矩形框内。（二、）对称性老师：前面我们已经观察到椭圆有对称性。我们先来回顾一下对称的概念和关于关于x轴、y轴、原点都对称的点的坐标的关系。学生6：若一条曲线沿一条直线对折起来重合，那么我们说这条曲线关于这条直线成轴对称图形，这条直线称为它的对称轴。若一条曲线沿一个点旋转和原来的曲线重合，那么我们说它关于这个点成中心对称图形，这个点是它的对称中心。老师：那么关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标之间又有什么样关系呢？学生6：设P（x，y），则P点关于x轴、y轴和坐标原点的对称点分别是（x，-y）、（-x，y）、（-x，-y）若曲线关于x轴对称，则P点关于x轴对称点也

7、在曲线上，即（x，-y）满足方程。同理可以推出另外两种情况。老师：那么下面同学们一起归纳出方程要满足什么条件才具有这些对称性。学生7：结论：以-x代x，方程不变，则曲线关于y轴对称；以-y代y，方程不变，则曲线关于x轴对称；同时以-x代x、以-y代 y，方程不变，则曲线关于原点对称。（三）顶点老师：我们现在已经知道了椭圆的范围，它在一个矩形围成的区域内，那么怎样才能比较准确地画出椭圆呢？它是否存在一些关键点呢？学生沉默。老师提示，类比正余弦曲线中的五点法做图中有五个关键点，那椭圆上是否也有呢？此时学生纷纷指出有，有些学生说是椭圆最边上的点，有些学生说是与坐标轴的交点，那么到底是该怎样描述呢 ？

8、此时我又黑板上画出焦点不在坐标轴上的椭圆，提问，此时还不能说是与坐标轴的交点呢？此时学生大呼上当，才知道准确定义应该是椭圆与对称轴的交点。这样我才正式给出义，这样的关键点叫做椭圆的顶点。我们把椭圆与对称轴的交点称为椭圆的顶点。老师：你能根据方程求得四个交点的坐标吗？（计算机给出图形，椭圆与x轴的交点分别是A、A，与y轴的交点分别是B、B）学生8：分别令x=0，y=0，得A（-，0）、A（，0）、B（0，-）、B（0，）。老师：得出顶点的概念之后，再来看我们能否找出椭圆中那条最长的弦。学生马上指出为A A，那我们给它取一个什么名字呢？学生9：长轴。老师：那么椭圆中有没有最短的弦呢？学生马上指出是

9、B B，我马上反问，那么这是不是椭圆中最短的弦呢？学生才发现上当。我又马上提出，那该怎样描述B B呢？学生这才找出应该是过中心的弦中最短的那条弦叫短轴。长轴与短轴两个概念明确之后，老师再进一步结合图形指出长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，点明方程中、的几何意义。（四）离心率老师：那么离心率这一概念的引入到底是用来刻划椭圆的哪一个几何性质呢？再一次演示几何画板。学生发现不变时，c变大，即离心率变大时，椭圆越扁；c变小即离心率变小时，椭圆越圆。学生10：离心率是用来刻划椭圆的扁平程度的一个量。离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆。老师：进一步拓展，除了用可以来刻划椭圆的扁平程度，还可以用什

10、么来刻划呢？学生指出也可以，老师再问，那是否也可以呢？它们分别是怎样来刻划的呢？留给大家课后思考。3、例题讲解：例：求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率，并用描点法画出它的图形。分析：把椭圆方程写成标准形式，求出基本元素a、b、c即可求出所需答案。解：把椭圆的方程化为标准方程。可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a=3，短半轴长b=2；又得半焦距c=。因此，椭圆的长轴长2a=6，短轴长2b=4，两个焦点的坐标分别是（），（）；四个顶点的坐标分别是（-3，0）、（3，0）（0，-2）、（0，2）。为画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为y=。由y=，可求出椭圆在第一象限内一些点的坐标（x

11、，y），列表如下：x0051152253y21971891731491110描点再用光滑曲线顺次连接这些点，得到椭圆在第一象限的图形；然后利用椭圆的对称性画出整个椭圆。方法点拨：已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程画为标准形式，找准a与b，才能正确的写出焦点坐标和顶点坐标等。三、巩固与应用 （1）利用本节所学的知识，说出椭圆的简单几何性质。 （2）椭圆的长轴是短轴的2倍，则k=_。 （3）如果一个椭圆短轴上的一个顶点与两个焦点构成一个正三角形，求椭圆的离心率。四、作业P49：第4、5、6题。测1、椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ）A、5、3、0、8 B、10、6、0、8C、5、3、0、

12、6 D、10、6、0、62、椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）A、 B、 C、 D、3、若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0）、F2（3，0），则其离心率为（ ）A、 B、 C、 D、4、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A、 B、 C、 D、5已知点（3，2）在椭圆上，则（ ）A、点（-3，-2）不在椭圆上B、点（3，-2）不在椭圆上C、点（3，-2）在椭圆上D、无法判断点（-3，-2）、（3，-2）、（3，-2）是否在椭圆上6、设椭圆的短轴为B1B2，F1为椭圆的左焦点，则B1F1B2等于（ ）A、 B、 C、 D、7、若直线y=kx+1与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（ ）A、m1 B、C、 D、8、某椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是_。9、椭圆的一个焦点将长轴分为3：2两段，则椭圆的离心率是_。10、求适合下列条件的椭圆的标准方程；长轴长的短轴长的3倍，且过点（3，-1）；椭圆过点（3，0），离心率e=。