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1、传染病问题中的 SIR 模型摘要：2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期 以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探 索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析 各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型， SI 模型， SIS 模型，SIR 模型等。在这里我采用 SIR (Susceptibles, Infectives. Recovered)模型来 研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有
2、很强的免疫力的传染病，它主要沿用由 Kermack 与McKendrick在1927年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病 发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控 制疾病提供最优决策依据, 维护人类健康与社会经济发展。关键字：传染病；动力学；SIR模型。一、模型假设 在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总 人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类： 易感染者(Susceptibles),其数量比例记为s( t),表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例; 感染
3、病者(Infectives),其数量比例记为i(t),表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比 例； 恢复者(Recovered), 其数量比例记为r（ t）,表示t时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也 非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数入，日治愈率（每天被治愈 的病人占总病人数的比例）为常数U，显然平均传染期为1 /，传染期接触数为o二入/ M。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是 不变的。Logistic 曲线模
4、型：如下为拟合的原始数据点：x1234567 J1 8y31380195332895 J10381143选定初始值A=500(至于为何选取A=500,请参阅相关文献资料，有相当多的方法供选取),分别代入 x=1， F(x)=3 和 x=2， F(x)=13 到 Logistic 曲线方程b,c=solve(500/(1+b*exp(-c*1)=3,500/(1+b*exp(-c*2)=13,b,c)解得初始值：A=500, b=732.6,c=1.487编写 Matlab 程序 LogisticDemo.m 如下：% x=1:8;y=3,13,80,195,332,895,1038,1143;c0=500,732.6,1.487;fun=inline(c(1)./(1+c(2).*exp(-c(3).*x),c,x);b=nlinfit(x,y,fun,c0);bt=0:.01:8;plot(x,y,r.,t,fun(b,t)%Matlab 中运行如上程序，结果如下图红色框内对应的 3 个值即为 A， b， c 的参数解。最终解得： A=1165, b=3109,c=1.5Logistic 曲线方程为：
数模Logistic曲线模型
