《函数的单调性》PPT课件.ppt

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1、 设 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 I :一、函数的单调性 注 : 函 数 是 增 函 数 还 是 减 函 数 是 对 定 义 域 内 某 个 区 间 而 言的 . 有 的 函 数 在 一 些 区 间 上 是 增 函 数 , 而 在 另 一 些 区 间 上 可 能是 减 函 数 . 如 果 对 于 属 于 定 义 域 I 内 某 个 区 间 上 的 任 意 两 个 自 变 量 的值 x1, x2, 当 x1x2 时 , 都 有 f(x1)f(x2), 那 么 就 说 f(x) 在 这 个 区 间上 是 增 函 数 ; 如 果 对 于 属 于 定 义 域 I 内 某 个 区 间 上 的

2、任 意 两 个 自 变 量 的值 x1, x2, 当 x1f(x2), 那 么 就 说 f(x) 在 这 个 区 间上 是 减 函 数 . 如 果 函 数 y=f(x)在 某 个 区 间 是 增 函 数 或 减 函 数 , 那 么 就 说 函数 y=f(x) 在 这 一 区 间 上 具 有 (严 格 的 )单 调 性 , 这 一 区 间 叫 做 函数 y=f(x) 的 单 调 区 间 .二、单调区间1.取 值 : 对 任 意 x1, x2 M, 且 x10(0, b0) 的 单 调 区 间 .xb解 : 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 (- , 0) (0, + ), 典 型 例 题函

3、数 f(x) 的 导 函 数 f (x)=a- = , bx2 ax2-b x2 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (- , - ) 与 ( , + ), abab函 数 f(x) 的 单 调 递 减 区 间 是 (- , 0) 与 (0, ). abab令 f (x)0 得 : x2 - x0 或 0 x0 得 : x2 x ; ab abab 求 函 数 的 单 调 区 间 是 单 调 性 学 习 中 的 最 基 本 的 问 题 , 但 必 须 注 意 , 如 果 函 数 的 解 析 式 含 有 参 数 , 而 且 参 数 的 取 值影 响 函 数 的 单 调 区 间 ,

4、这 时 必 须 对 参 数 的 取 值 进 行 分 类 讨 论 . 注 : 这 个 函 数 的 单 调 性 十 分 重 要 , 应 用 非 常 广 泛 , 它 的 图象 如 图 所 示 : o y x2 ab -2 ab ba ba- 2.试 讨 论 函 数 y=2log2 x-2log x + 1 的 单 调 性 .1212解 : 令 t=log x, 则 t 关 于 x 在 (0, + ) 上 单 调 递 减 .12而 y=2t2-2t+1 在 (- , 上 单 减 , 在 , + ) 上 单 增 ,1212又 由 t 得 x , 12 22 由 t 得 0 x , 12 22故 函 数

5、y=2log2 x-2log x+1 在 , + ) 上 单 调 递 增 , 在 (0, 上 单 调 递 减 . 1212 2222 3.设 函 数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1. (1)当 k 为 何 值 时 , 函 数 f(x) 的 单 调 递 减 区 间 是 (0, 4); (2)当 k 为 何 值 时 , 函 数 f(x) 在 (0, 4)内单 调 递 减 . 不 等 式 f (x)0 的 解 集 为 (0, 4), 0 与 4 是 方 程 kx2+2(k-1)x=0 的 两 根 ,即 kx2+2(k-1)x0 的 解 集 为 (0, 4), 故 由 根 与 系 数 的

6、 关 系 可 求 得 k 值 为 . 13(2)命 题 等 价 于 kx2+2(k-1)x0 对 x(0, 4) 恒 成 立 , 设 g(x)=kx+2(k-1), 等 价 于 kx+2(k-1)0 对 x(0, 4) 恒 成 立 , 由 于 g(x) 为 单 调 函 数 , g(0)0 g(4)0 k . 13则 (或 分 离 变 量 k0 得 : x-1 或 0 x1; 由 g(x)0 得 : -1x1. 故 g(x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (- , -1) 与 (0, 1);单 调 递 减 区 间 是 (-1, 0) 与 (1, + ).4.已 知 f(x)=8+2x-x2,

7、若 g(x)=f(2-x2), 试 确 定 g(x) 的 单 调 区 间 . 5.已 知 f(x)是 定 义 在 R上 的 增 函 数 , 对 x R有 f(x)0, 且 f(5)=1, 设 F(x)=f(x)+ , 讨 论 F(x) 的 单 调 性 , 并 证 明 你 的 结 论 . f(x) 1 分 析 : 这 是 抽 象 函 数 的 单 调 性 问 题 , 应 该 用 单 调 性 定 义 解 决 . 解 : 在 R 上 任 取 x1, x2, 设 x1f(x1) 且 :F(x2)-F(x1)=f(x2)+ -f(x1)+ f(x1)1f(x2)1=f(x2)-f(x1)1- . f(x1

8、)f(x2) 1 f(x) 是 R 上 的 增 函 数 , 且 f(5)=1, 当 x5 时 0f(x)5 时 f(x)1. 若 x1x25, 则 0f(x1)f(x2)1, 0f(x1)f(x2)0, F(x2)F(x1); 1- x15, 则 f(x2)f(x1)1, f(x1)f(x2)1, 综 上 , F(x) 在 (-, 5) 上 为 减 函 数 , 在 (5, +) 上 为 增 函 数 . f(x2)-f(x1)0, F(x2)F(x1). 1- 0, f(x1)f(x2) 1 6.已 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 (-, 0) (0, +), 且 满 足 条 件 :

9、f(xy)=f(x)+f(y), f(2)=1, 当 x1 时 , f(x)0. (1)求 证 : f(x)为 偶 函 数 ； (2)讨 论 函 数 的 单 调 性 ； (3)求 不 等 式 f(x)+f(x-3)2的解 集 .(1)证 : 在 中 令 x=y=1, 得 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0. 令 x=y=-1, 得 f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0. 再 令 y=-1, 得 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x). f(x) 为 偶 函 数 . 先 讨 论 f(x) 在 (0, +) 上 的 单 调 性 , 任 取 x1, x2, 设 x2x10, f

10、(x2)f(x1). f(x) 在 (0, +) 上 是 增 函 数 , 由 (1) 知 , f(x) 在 (-, 0) 上 是 减 函 数 . 偶 函 数 图 象 关 于 y 轴 对 称 , (2)解 : 在 中 令 y= , 得 : x1 由 知 f( )0. x2 x1 1, x2 x1 f(1)=f(x)+f( )f( ) =-f(x), x 1 x 1 则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f( )=f( ). x2 x1 x1 1 (3)解 : fx(x-3)=f(x)+f(x-3)2, 由 、 得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4), 1)若 x(x-3)0,

11、 f(x) 在 (0, +) 上 为 增 函 数 , 由 fx(x-3)f(4) 得 : 2)若 x(x-3)0 x(x-3) 4 x3 -1 x 4 -1 x0 或 3x 4; x(x-3)0 x(x-3) -4 0 x3. 0 x3 xR 原 不 等 式 的 解 集 为 -1, 0) (0, 3) (3, 4. 注 抽 象 函 数 问 题 是 函 数 学 习 中 一 类 比 较 特 殊 的 问 题 , 其 基 本 方 法 是 变 量 代 换 、 换 元 等 , 应 熟 练 掌 握 它 们 的 这 些 特 点 . 法 二 原 不 等 式 等 价 于 f|x(x-3)|f(4)(x0, x-3

12、0), 由 f(x) 在 (0, +) 上 为 增 函 数 得 : |x(x-3)|4. 再 进 一 步 求 得 解 集 . (1)证 : 由 已 知 , 对 任 意 的 x1, x2 (- , + ) 且 x10, f(x2- x1)1. f(x2- x1)-10. f(x2)-f(x1)0 即 f(x2)f(x1). f(x) 是 R 上 的 增 函 数 .(2)解 : f(4)=5, 令 a=b=2 得 : f(4)=f(2)+f(2)-1, 从 而 f(2)=3. 原 不 等 式 等 价 于 f(3m 2-m -2)f(2). f(x) 是 R 上 的 增 函 数 , 3m 2-m -

13、22, 即 3m 2-m -40. 解 得 : -1m . 4343故 不 等 式 f(3m 2-m -2)0 时 , 有 f(x)1. (1)求 证 : f(x) 是 R 上 的 增 函 数 ; (2)若 f(4)=5, 解 不 等 式 f(3m 2-m -2)0. 解 得 : -1x0. 1x2 1-x1 1+x1 1-x2 1+x2 又 对 任 意 的 x1, x2 (0, 1) 且 x10, 且 有 : 1x1 1x2 1+x21+x10; 1-x11-x20, 1-x1 1+x1 1-x2 1+x2 - 0. log2 -log2 0. 1-x1 1+x1 1-x2 1+x2 即 f(x1)f(x2). 函 数 f(x) 在 (0, 1) 内 单 调 递 减 . 由 于 f(x) 是 奇 函 数 ,故 函 数 f(x) 在 (-1, 0) 内 也 单 调 递 减 .