《典型例题潘锦》PPT课件.ppt

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1、求 无 限 长 线 电 荷 在 真 空 中 产 生 的 电 场 。 E 解 ： 取 如 图 所 示 高 斯 面 。由 高 斯 定 律 ， 有 0( )S QE r dS 0( ) (2 ) lr lE r rl e 02 l rE er 分 析 ： 电 场 方 向 垂 直 圆 柱 面 。 电 场 大 小 只 与 r有 关 。 r例典型例题 a解 ： 1) 取 如 图 所 示 高 斯 面 。在 球 外 区 域 ： ra0( )S QE r dS 2 0( ) (4 )r QE r r e 204 rQE er 分 析 ： 电 场 方 向 垂 直 于 球 面 。 电 场 大 小 只 与 r有 关

2、。 半 径 为 a的 球 形 带 电 体 ， 电 荷 总 量 Q均 匀 分 布 在 球 体 内 。求 ： （ 1） （ 2） （ 3） ( )E r ( )E r ( )E r 在 球 内 区 域 ： ra rr 0( )S QE r dS 32 043( ) (4 )r rE r r e 304 rQrE ea 334Q QV a 例 2） 解 为 球 坐 标 系 下 的 表 达 形 式 。20 30( ) ( )4( ) ( )4 rrQ e r arE Qr e r aa 22 300 ( )1 ( ) ( )4r a Qrr r ar r a 3 000 34E Qa 3） 030 1

3、( )4 04 Q rE Q ra 求 半 径 为 a的 均 匀 圆 面 电 荷 在 其 轴 线 上 产 生 的 电 位 和 电 场 强 度 x yzdr r R a(0,0, )P z解 ： 在 面 电 荷 上 取 一 面 元 ， 如图 所 示 。 ds04 dqd R 20 0ad 2 20 ( )2 s z a z 0 4 s r dr dR E 2 20 ( )2 sze z a zz 例 半 径 为 a的 带 电 导 体 球 ， 已 知 球 体 电 位 为 U，求 空 间 电 位 分 布 及 电 场 强 度 分 布 。解 法 一 ： 导 体 球 是 等 势 体 。r a 时 ： 0U

4、E 例 r a 时 ： 2 00r ar U 221 ( ) 00r ar d drr dr drU 1 20r ar c crU aUr E ( )( )sinr ee aUe r r r r 解 法 二 ： 电 荷 均 匀 分 布 在 导 体 球 上 ， 呈 点 对 称 。 设 导 体 球 带 电 总 量 为 Q， 则 可 由 高 斯 定 理 求 得 ， 在 球 外 空 间 ， 电 场强 度 为 ： 204 rQE er 0 01( )4 4a aQ QU E dr r a 04Q aU 2 raUE er 2r r aUE dr drr aUr 同 轴 线 内 导 体 半 径 为 a，

5、外 导 体 半 径 为 b。 内 外 导 体 间充 满 介 电 常 数 分 别 为 和 的 两 种 理 想 介 质 ， 分 界 面 半 径 为c。 已 知 外 导 体 接 地 ， 内 导 体 电 压 为 U。求 :(1)导 体 间 的 和 分 布 ； (2)同 轴 线 单 位 长 度 的 电 容1 2E D abc 12分 析 ： 电 场 方 向 垂 直 于 边 界 ， 由 边 界 条 件 可知 ， 在 媒 质 两 边 连 续D解 ： 设 内 导 体 单 位 长 度 带 电 量 为 l由 高 斯 定 律 ， 可 以 求 得 两 边 媒 质 中 ，2 l rD er 1 1 2 2/E DE D

6、 例 1 2c ba cU E dr E dr 1 2ln ln2 2l lc ba c 1 22 12ln lnl Uc ba c 1 22 1( ln ln )UD c b ra c 22 11 2 1 ( )( ln ln ) ( )( ln ln )U a r cc b ra cE U c r bc b ra c 球 形 电 容 器 内 导 体 半 径 为 a， 外 球 壳 半 径 为 b。 其 间 充满 介 电 常 数 为 和 的 两 种 均 匀 媒 质 。 设 内 导 体 带 电 荷 为 q， 外球 壳 接 地 ， 求 球 壳 间 的 电 场 和 电 位 分 布 。1 2 a1 2

7、 b分 析 ： 电 场 平 行 于 介 质 分 界 面 ， 由 边 界 条 件可 知 ， 介 质 两 边 相 等 。ES D dS q 2 1 22 ( )r D D q 2 1 22 ( )r E E q 解 ： 令 电 场 强 度 为 ， 由 高 斯 定 律E 2 1 22 ( ) rqE er 1 2 1 1( ) ( )2 ( )br qr E dr r b 例 同 轴 线 填 充 两 种 介 质 ， 结 构 如 图 所 示 。 两种 介 质 介 电 常 数 分 别 为 和 ， 导 电 率 分 别 为 和 ， 设 同 轴 线 内 外 导 体 电 压 为 U。求 ： (1)导 体 间 的

8、 ， ， ； (2)分 界 面 上 自 由 电 荷 分 布 。 1 221E J 2a2b2c1 1 2 2 a 2 2 1 1 E J 解 ： 这 是 一 个 恒 定 电 场 边 值 问 题 。设 单 位 长 度 内 从 内 导 体 流 向 外 导 体 电 流 为 I，则 ： rIJ eS ( )2 rI e a r cr 由 边 界 条 件 ， 边 界 两 边 电 流 连 续 。例由 导 电 媒 质 内 电 场 本 构 关 系 ， 可 知 媒 质 内 电 场 为 ： 1 1 1 ( )2 rJ IE e a r br 2 2 2 ( )2 rJ IE e b r cr 1 2b ca bU

9、 E dr E dr 1 2(ln ln ) (ln ln )2 2I Ib a c b 1 2 02 12ln( / ) ln( / )UI b a c b 1 2 0 2 1 ( ) ln( / ) ln( / )UJ a r cb a c b r 2 01 1 2 1 ( ) ln( / ) ln( / ) rUJE e a r bb a c b r 1 02 2 2 1 ( ) ln( / ) ln( / ) rUJE e b r cb a c b r 2 2 ( )cr E dr b r c 1 1 2 ( )b cr bE dr E dr a r b 2） 由 边 界 条 件 ：

10、在 面 上 ：r a1 1S D n 1 2 02 1 ln( / ) ln( / )Ub a c b a 在 面 上 ：r c 2 1 02 1 ln( / ) ln( / )Ub a c b c 3 2S rD e 在 面 上 ：r b2 2 1( )S rD D e 2 1 1 2 02 1( ) ln( / ) ln( / )Ub a c b b 平 行 双 线 ， 导 线 半 径 为 a， 导 线 轴 线 距 离 为 D 求 ： 平 行 双 线 单 位 长 度 的 电 容 。 （ aD) D xy Px解 ： 设 导 线 单 位 长 度 带 电 分 别 为 和 ， 则 易 于 求 得

11、 ， 在 P点 处 ， l l1 02 l xE ex 2 0 ( )2 ( )l xE eD x 1 2E E E 0 1 1( )2 l xex D x 导 线 间 电 位 差 为 ：D aaU E dx 0 lnl D aa 0ln( ) lnC D a a 例 计 算 同 轴 线 内 外 导 体 间 单 位 长 度 电 容 。 解 ： 设 同 轴 线 内 外 导 体 单 位 长 度 带 电 量 分 别 为 和 ， 则 内 外 导 体 间 电 场 分 布 为 ： ll 1 02 l rE er 则 内 外 导 体 间 电 位 差 为 ：内 外 导 体 间 电 容 为 ：baU E dr

12、0 ln2 l ba 02ln lnQC U b a 例 由 边 界 条 件 知 在 边 界 两 边 连 续 。E解 ： 设 同 轴 线 内 导 体 单 位 长 度 带 电 量 为S D dS Q 1 1 0(2 )rl E rl E Q 1 1 0 (2 ) l rE er 1 1 0 ln (2 ) b la bU E dr a 同 轴 线 内 外 导 体 半 径 分 别 为 a,b， 导 体 间 部 分 填 充 介 质， 介 质 介 电 常 数 为 ， 如 图 所 示 。 已 知 内 外 导 体 间 电 压 为 U。求 ： 导 体 间 单 位 长 度 内 的 电 场 能 量 。例 1 1

13、 0 (2 ) ln lnl Ub a (ln ln ) rUE eb a r l bb 0 1 1 22 21 0 11 12 2e V VW E dV E dV 2 21 0 12 2 2 21 1 1 1 (2 )2 (ln ln ) 2 (ln ln )b ba aU l U lrdr rdrb a r b a r 2 1 1 01 (2 ) ;2 (ln ln )U lb a 两 种 方 法 求 电 场 能 量 ：或 应 用 导 体 系 统 能 量 求 解 公 式12 e i iiW qU 12el lW U 1 1 0 (2 ) ln lnl Ub a 2 1 1 01 (2 )

14、2 (ln ln )Ub a 2 1 1 01 (2 ) 2(ln ln )el U lW b a 已 知 同 轴 线 内 外 导 体 半 径 分 别 为 a,b， 导 体 间 填 充 介 质 ， 介 质介 电 常 数 为 ， 导 电 率 为 。 已 知 内 外 导 体 间 电 压 为 U。求 ： 内 外 导 体 间 的 1） ;2） ;3） ;4） ; 5） ;6） 0 E J lC elW s分 析 ： 为 恒 定 电 场 问 题 。 电 荷 只 存 在 于 导 体 表 面 ， 故 可 用 静 电 场 高斯 定 律 求 解 。解 法 一 ： 应 用 高 斯 定 理 求 解 。设 内 导 体

15、 单 位 长 度 电 量 为 则 S D dS Q 2 l rD er 2 l rE er 例 (ln ln )2 b laU E dr b a 2(ln ln )l Ub a l a b (ln ln ) rUE eb a r (ln ln )(ln ln )br U b rE dr b a (ln ln ) rUJ E eb a r 2(ln ln ) llC U b a 212 (ln ln )el l UW U b a 1 ( ) ( )2e VW D r E r dV 解 法 二 ： 间 接 求 解 法由 于 内 外 导 体 间 不 存 在 电 荷 分 布 ， 电 位 方 程 为2

16、00r ar b U 1 ( ) 00r ar bd drr dr drU ln lnln lnb r Ub a (ln ln ) rUE eb a r (ln ln ) rUJ E eb a r 2(ln ln )Q lC U b a 212 (ln ln )e U lW QU b a 2ln( / )S lUQ D dS b a 2(ln ln )l Q lC U b a 解 法 三 ： 恒 定 电 场 方 法 求 解令 由 内 导 体 流 向 外 导 体 单 位 长 度 总 电 流 强 度 为 I， 则2 rIJ erl /2 rJ I lE er (ln ln )2b la IU E

17、dr b a 2(ln ln )l UI b a (ln ln ) rUJ eb a r (ln ln ) rJ UE eb a r 2(ln ln )Q lC U b a 212 (ln ln ) e U lW QU b a 2ln( / )S UlQ D dS b a 导 体 球 壳 ， 内 径 为 b， 外 径 为 c， 球 壳 球 心 为 半 径 为 a导 体 球 ， 导 体 球 带 电 量 Q,中 间 充 满 两 种 介 质 ， 介 电 系 数 分 别 为 1和 2， 介 质 分 界 面 如 图 所 示 。求 ： （ 1） 空 间 场 分 布 E(r)； （ 2） 空 间 电 位 分

18、 布 ； （ 3） 极 化 电 荷 分 布 ； （ 4） 系 统 电 场 能 量 。解 ： 由 边 界 条 件 知 ， 连 续 。E（ 1） ra， 该 区 域 为 导 体 空 间 ， 故 ： =0； E arb， 由 高 斯 定 理 有 S D dS Q 2 1 22 ( )r E Q 例 2 1 22 ( ) rQE er 11 1 2 1 22 ( ) rQD E er 22 2 2 1 22 ( ) rQD E er Q cb a 21 brc， 204 rQE er （ 2） 求 电 位 分 布 。rc， 04r QE dr r 04 Q c arb， ( )br c E dr 0

19、1 2 1 1( )4 2 ( )Q Qc r b ra, 0 1 2 1 1( )4 2 ( )Q Qc a b bra时 2IH r 当 ra时 22 2 12 2 2I r IrH Ir r a a 例 题 半 径 为 a的 无 限 长 直 导 体 内 通 有 电 流 I， 计 算 空 间 磁 场 强 度 分 布H 例 题 内 、 外 半 径 分 别 为 a、 b的 无 限 长 中 空 导 体 圆 柱 ， 导 体 内 沿 轴向 有 恒 定 的 均 匀 传 导 电 流 ， 体 电 流 密 度 为 导 体 磁 导 率 为 。 求空 间 各 点 的 磁 感 应 强 度 B J x yz 0J分

20、 析 ： 电 流 均 匀 分 布 在 导 体 截 面 上 ， 呈 轴 对 称 分 布 。解 ： 根 据 安 培 环 路 定 律 在 ra区 域 ： 0C H dl I 2 0H r 0H 在 arb区 域 ： 2 202 ( )H r J b a 2 20 ( )2JH b ar 所 以 ， 空 间 中 的 分 布 为 ：2 20 2 20 00 ( )( ) ( ) ( )2 ( ) ( )2 r aJB r r a e a r brJ r a e r br B 例 无 限 长 线 电 流 位 于 z轴 ， 介 质 分 界 面为 平 面 ， 求 空 间 的 分 布 和 磁 化 电 流 分 布

21、 。B xz 10I分 析 ： 电 流 呈 轴 对 称 分 布 。 可 用 安 培 环 路 定 律求 解 。 磁 场 方 向 沿 方 向 。e解 ： 磁 场 方 向 与 边 界 面 相 切 ， 由 边 界 条 件 知 ，在 分 界 面 两 边 ， 连 续 而 不 连 续 。H B由 安 培 环 路 定 律 ： C H dl I 2H I 2IH e 01 ( 0)2 ( 0)2 I e zB H I e z 介 质 内 磁 化 强 度 为 ： 1 01 0 0 ( )( ) 2rr IBM H H e ?H 磁 介 质 内 （ z 0） 的 体磁 化 电 流 密 度 为 ：1 01 0 ( )

22、 1 ( ) ( ) ( )m rr zJ M HI e 磁 介 质 表 面 （ z = 0） 面 磁 化电 流 为 ： 11 ( 1)2( 1) 2 rsm zr r IJ M n e eI e 在 磁 介 质 内 的 总 磁 化 电 流 为(在 =0的 轴 上 沿 z向 流 动 )：1 ( 1)mm s m zs rI J dSJ e d dI 磁 介 质 表 面 (z = 0)从 =0处 发 出沿 径 向 流 动 的 总 磁 化 电 流 为 ： n20 1 ( 1)smm lc smrI J e dlJ e dI 例 如 图 ， 铁 心 磁 环 尺 寸 和 横 截 面 如 图 ，已 知

23、铁 心 磁 导 率 ， 磁 环 上 绕 有 N匝 线 圈 ，通 有 电 流 I。求 :(1)磁 环 中 的 ， 和 。 (2)若 在 铁 心 上 开 一 小 切 口 ， 计 算 磁 环 中的 ， 和 。 B 0 H B H NI ba d h0r 0r d解 ： (1)由 安 培 环 路 定 律 ， 在 磁 环 内 取 闭 合 积分 回 路 ， 则 可 得C H dl I 2H r NI 2NIH er 2NIB H er ln2bS a NIh bB dS B hdr a 02NIh d NISr l (2)开 切 口 后 ， 在 切 口 位 置 为 边 界 问 题 。 在 切 口 处 ，

24、磁 场 垂 直 于 边 界面 ， 由 边 界 条 件 知 在 分 界 面 上 连 续 ， 不 连 续 。B H NI ba 0r t 由 安 培 环 路 定 律 ， 在 磁 环 内 取 闭 合 积分 回 路 ， 则 可 得C H dl I 1 2(2 )H r t H t NI 0(2 )/ / 2 ( 1)rNI NIB e er t t r t 由 于 铁 心 很 细 ， 可 近 似 认 为 磁 力 线 均 匀 分 布 在 截 面 上 。0(2 )B Br t t NI 02 ( 1)rNIB er t 02 ( 1)rB NIH er t 内 0 02 ( 1)r rNIBH er t

25、外 02 ( 1)rNIB S hdr t 例 求 半 径 为 a的 无 限 长 直 导 线 单 位 长 度 内 自 感 。 a0 解 ： 设 导 体 内 电 流 为 I， 则 由 安 培 环 路 定 律0 2 ( )2 IrB e r aa 则 导 体 内 单 位 长 度 磁 能 为 2 22 202 40 01 12 2 4m V VIW B dV r dVa 2 2 2 02 4 001 22 4 aI r rdra 2016I 022 8mWL I V/m)cos()sin( xktzdEeE xmy H SJ试 求 ： （ 1） 磁 场 强 度 ； （ 2） 导 体 表 面 的 电

26、流 密 度 。 z xy d解 ： （ 1）例 :在 两 导 体 平 板 （ 和 ） 之 间 的 空 气 中 ， 已 知 电 场 强 度0z dz 01H(x,z,t) Edt cos( )cos( ) sin( )sin( )y yx zm x x z x xE EE e ez xE e z t k x e k z t k xd d d 磁 场 的 瞬 时 表 达 式 为 A/m)sin( 00 xktdEeHeJ xmyzzS |dz A/m)sin()( 0 xktdEeHeJ xmydzzS |处 导 体 表 面 的 电 流 密 度 为0z（ 2） 处 导 体 表 面 的 电 流 密

27、度 为 000 1 cos( )cos( ) sin( )sin( ) cos( )sin( ) sin( )cos( )m x x z x xm x x z x xH(x,z,t) EdtE e z t k x e k z t k x dtd d dE e z t k x e k z t k xd d d 点电荷对电介质分界面的镜像 xzhq ( , , )P x y zR1 2问 题 ： 点 电 荷 位 于 两 种 电 介 质 分 界 面 上 方h， 求 空 间 电 位 分 布 。分 析 ： 在 介 质 分 界 面 上 将 存 在 极 化 面 电 荷 ，空 间 电 位 由 极 化 面 电

28、荷 和 电 荷 q共 同 产 生 。解 决 问 题 方 法 ： 镜 像 法 ， 即 用 镜 像 电 荷等 效 极 化 电 荷 作 用 。 xzhq ( , , )P x y zR1 2解 决 问 题 过 程 ：1、 求 z0区 域 中 的 场 xzhq ( , , )P x y zR 1 q 1 R则 媒 质 1内 P点 电 位 为 ：1 11 ( , , ) ( )4 q qx y z R R 2 2 2 2 2 211 ( )( 0)4 ( ) ( )q q zx y z h x y z h xzhq ( , , )P x y z R 2 q22、 求 z0区 域 中 的 场2 21 ( , , ) ( )4 q qx y z R 3、 在 z=0面 上 应 用 电 位 边 界 条 件1 20 01 21 20 0z zz zz z 1 2 q q q qq q q q 1 21 2 1 21 2 ( 1 (q qq q q 计 算 媒 质 中 电 位 )计 算 媒 质 2中 电 位 ) 0