数理统计复习总结

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1、1统计量与抽样分布1.1基本概念:统计量、样本矩、经验分布函数总体X的样本X, X2，Xn，则T （X, X2，Xn）即为统计量 样本均值卩=X 样本方差S2 =1工(X - X)2n n ii=1 V 2修正样本方差S*2 = 乙(X - X)n n -1 ii=11n样本 k 阶原点矩A =_ Xk,(k = 1，2，.)k nii=1样本k阶中心矩B(X - X)k ,(k = 1,2,.)k nii=1经验分布函数F (x) = vn(x),(-8 x +8)其中V(x)表示随机事件X x出现的次 nnn数，显然 V (x) B(n F(x)，则有 EF (x) = F(x) DF (

2、x) = 1F(x)1 - F(x)nnnn补充:n - 1 ES 2 = DX ES *2 = DX EX 2 = DX + (EX )2n nn S 2X 2 - X 2n n ii=1 二项分布 B (n,p): PX = k = Ckpk (1 - p)n-k, (k = 0,1,., n) n均匀分布 U（ a， b）f ( x) =,(a x 0)吕 F(x) = 1 - e亠,(x 0)EX =丄DX =丄X2 正态分布 N(卩,b 2): f (x) =exp EX =卩 DX =b 2詔2兀b2b 2nS 2n -1E (n) = n 1 n ES 2 =b 2b 2n nD

3、(竺)=2(n 1) n DS2 = 2(n 1) b 4 b 2nn2当卩=0 时，EX = 0 EX 2 = b 212EX4 = 3b 4 E|X| =2b d|x| = (1 )b 2兀兀1.2统计量:充分统计量、因子分解定理、完备统计量、指数型分布族T是e的充分统计量o f (x , xx ,T = t)与e无关12n1T是e的完备统计量O要使E g(T)=0,必有g(T) =0L(6)=Hf(x;6)T(x ,x，,x )；6 )且h非负o T是e的充分统计量i1 2 n 1 2 ni=1H f (x ;6) = C(6)exp b(6)T(x , xx )h(x , xx ) o

4、 T 是 e 的充分完备统计量i1 2 n 1 2 ni=1H f (x ;6) = C(6 )exp b (6)T (x , x x ) + b (6)T (x , x x )h(x , xx )i11 1 2 n 22 1 2 n 1 2 ni=1O(T1, J)是6=(誓2)的充分完备统计量1。3抽样分布:X 2分布，t分布，F分布，分位数，正态总体样本均值和方差的分布;非正态总体样本均值的分布1一x n 一X 2 分布：Z2 = X2 + X2 +. + X2 %2 (n)f (x) =e 2x2 (x 0)12nn F722 r( 2)Ex 2 = n Dx 2 = 2nT 分布：T

5、 需 t(n)当 n2 时，ET=0 DT=n2F 分布：F = XnF (n , n ) = F (n , n )1 2 F 2 1补充： Z=X+Y 的概率密度 f (Z) = Pv (x, z - x )dx =卜 f (z y, y) dy f (x,y)是 X 和 Y 的Z “ 一8联合概率密度YZ =的概率密度 f (z) = J+8f (x, xz)|xdxXz -8y = g(x)的概率密度 f (y) = f (g-1(y)g-1(y)yxr 函数:厂(a ) = i+x xa-1e-xdxr(a +1)二 oT(a) r(n)二(n -1)!, T(1)二 10B 函数:B

6、(a, P) = J*1 xa-1(1 - x)卩-1 dx B(a, P) = r(a)rf)0r(a + P)1.4次序统计量及其分布：次序统计量、样本中位数X、样本极差RX(k)的分布密度:f k)(x)=n!(k - 1)!(n - k)! F (QU(x)n - kf (x)，(k =1,2，,n)X(1)的分布密度:f (x)二 nf (x)1 - F (x)“-1 x(1)X(n)的分布密度:f(x)二 nf (x)F(x)n-1x(n)2 参数估计2.1 点估计与优良性:概念、无偏估计、均方误差准则、相合估计(一致估计)、渐近正态估计0 的均方误差：MSE(0,0)二 E(0-

7、0)2 二 D0+ (E0-0)2若0是无偏估计，则MSE(0,0)二DO对于0的任意一个无偏估计量0，有D0 * nI (0),其中I(0) = ERln；0)T或 I(0) = -E 2lnf(X；0) 0，f (X；0 )为样本的联合分布._0 J0 2最小方差无偏估计U达到罗一克拉姆下界o有效估计量o效率为1 无偏估计0的效率：e(0) = ni(0) / D00是0的最大似然估计，且0是0的充分统计量o 0是0的有效估计2.4 区间估计：概念、正态总体区间估计(期望、方差、均值差、方差比)及单侧估计、非正 态总体参数和区间估计N(0,1) n X - p0a Un a2一个总体的情况

8、:X N(卩Q 2)X -卩a 2已知，求卩的置信区间：Ea， y/n 0X -卩a2未知，求卩的置信区间： oS *.： y/nn工(X -卩)2i卩已知，求a2的置信区间:宀X2(n) nS*nrt (n - 1) pn a2X 2(n)2工(X -卩)21X2 (n)1-a2卩未知，求Q2的置信区间:工(X - X)2ia2工(X - X )2iX 2(n -1) n 知一 X2(n-1)a(X -X)2iC 2 =1X 2 ( n - 1)1-d2两个总体的情况:XN(卩Q2), YN(卩Q2)1 1 2 2 2Q2 均 已 知 时 12求片-巴的区间估计：X - Y -(卩一卩)a2

9、X - Y -(卩一p )土 2*22 n2- 1)S *2 + (n 1)S1竹2n n (n + n - 2)1 2 +2n + n1 2t (n + n 2)12N(0,1)X Y (卩一卩)1 212 V M2未知时求叮巴的区间估计:2求422S*2 2? n21S *2 21 n1 2非正态总体的区间估计S*2F (n - 1,n -1) n 吩 F (n - 1,n -1) S*22n21一2 22i22S*2F (n -1,n -1)S *2 212n2 2X -p L当 n Ta 时，一斗 A N (0,1) n X 卩S 巴:X-U构造U =N(0,1),给定显著性水平a，有

10、 PU u 二a。当H0成立时1 y/n1 a00X-aU =1 n 0a X - a def0昱U，因此PU u u =a。故拒绝域为 弋 na1 a0W 二U u a4.3非参数假设检验方法：%2拟合优度检验:H 0: pi%2 拟合优度检验、科尔莫戈罗夫检验、斯米尔诺夫检验m (Ni - np )2二 p o H : p 丰 p W 二Zi0 % 2(m- r-1)i 01 ii 0npai=1i 0科尔莫戈罗夫检验：H : F(x) = F (x) o H : F(x)丰F (x)实际检验的是F (x) = F (x) 。1。n。W = lim sup |F (x) F (x) D n

11、0n ,an F -s x Dnin2；)ni，n2，a4.4 似然比检验明确零假设和备选假设：H。:6e0o斜竹：0e0】L (x ,., x )sup L(x ,., x ;6)L x x构造似然比：= 1 1 n = 6L (x ,., x ) sup L(x ,., x ;6 ) 01 n1 n6e01n拒绝域：W = 九(xx ) 九1na5方差分析5。1单因素方差分析：数学模型、离差平方和分解、显著性检验、参数估计 ”X = p + a +8 ji j数学模型8 N(0,b2),(i=1， 2，。m;j=1， 2,o ，n.)iji各8相互独立ij总离差平方和Q =瓦习(X - X

12、)2Tiji=1 j=1Q广 Qe + QaH : a =a =. = a。 1 2 n组内离差平方和Q二瓦区(X -X)2Eij ii=1j=1E (-QE- ) =b 2 n-r组间离差平方和Q = n (X -X)2Ai ii=1当H。成立时,E(务QA/构造统计量F = Q= QAF(r - l，n - r)，当H0不成立时，有偏大特征了(n r) EX X N (p p ,(1i k i k n n ike 咒 2(n - r) b2丁 X 一 X 一(卩一卩)n / =ik i k t(n r)Q+ 丄)Jn n E1 i k应用： 若原始数据比较大而且集中，可减去同一数值X二X

13、-k再解题 ij ij 辅助量：P =丄(区E X )2,Q =迟丄(迓X )2,R =区习X 2-ij-ijiji =1 j =1i=1 i j =1i =1 j =1Q =Q-P,Q = R-Q,Q = R-P AET5。2两因素方差分析：数学模型、离差平方和分解、显著性检验X =p+a+B+iji i数学模型阴N(0q2)ij 各相互独立 ij总离差平方和Q =EE (XT i=1 j=1ij|H :a =a =. = a，(ii，2，Zji，2 ，S) |h01：卩1 =P2 =.=卩 02 1 2ij-X)2 = +2+qBA组内离差平方和Q =(X X X + X )2Eij i

14、ji=1j =1E(r-朮-1)=2因素B引起的离差平万和Q = Er(X X)2B jj=1当H0成立时，E(冬)=c20s - 1因素A引起的离差平方和Qs(X X)2Aii=1当H0成立时，E(-%) =c20r - 1辅助量:P二-n笛艺XijI i=1 j=1丿=E 1Exj=1ij 丿)2,QIsi=1)2,QII丄卑Xj=1八 i=1ij 丿,R =Er EsX2iji=1 j=1Qa - QI - P，Qb 二 QII - P，QE 二 R - QI - QII - P=盜F(r-1,(r- 1)(s-1)F =Qa (厂1构造统计量：A Q (r - 1)(s -1)F =Q

15、b (s D= A F(s 1,(r 1)(s 1)b Q (r - 1)(s -1)Q 八八 丿丿EE6回归分析61 一元线性回归：回归模型、未知参数的估计(B、a、2)、参数估计量的分布(BaY0 o 2o *2)”Y =a + P x +eii i回归模型：阴N(0Q2)i=1,2,.。，n.i各匕相互独立i（a，卩）的估计：工(x X)(Y Y) P= 41 一-n -(X X)2ii=1a = Y P X（a,卩）分布：卩N (P,)乙(X X)2ii=1a N(a，丄 +nC 2) 乙(X x)2ii=1=1工 (Y Y )2 P 2(丄工(x X )2) = S 2 P 2 S

16、2nYnXC 2的估计Qnii=12 n 2Ec2 =c2n6.2多元线性回归：回归模型、参数估计、分布了 = X p+i ii回归模型：屆N（0,C21 ） i=1，2,oonii=1Eq *2 二 c 2in各相互独立in.参数估计：XtY 二（XtX）卩 n 卩二（XtX）-iXtY7多元分析初步7.1 定义及性质：定义、性质X 吓，）其中卩为X的均值向量，丫为X的协方差矩阵Y=CX+b，则 Y N (5+ b, CYCt )p若 / o,刚（ x 卩）e-i（ x 卩） x 2（ p）7.2参数的估计与假设检验：卩、刀的估计、正态总体均值向量的假设检验kk=1样本均值向量x =丄工X 样本离差阵S =工（X -X）（X -X）tnii=1最大似然估计卩二X E =-n最小方差无偏估计卩=x z =（n 1）X N(R丄Z) S =EYYtni ii=1n( X=)t X-)Z 2( p)F =爲n(n 1)(XP)TS 1(X 即F(p，n-p)X2mnF 二rmn =(X - Y )T E-1 (X - Y) X 2( p) m + nmn+n一p一 1)(X-Y)ts-1(X-Y) p (m + n)(m + n 一 2)