包装箱里的秘密(1)

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1、包装箱里的秘密-对圆柱形饮料包装问题的探究温二十中 杨莎丽 陈缘现在我们已经是初二的学生了，在学习数学的过程中，我们会遇到各种各样不同题型的题目。今天我研究与分析的这种题型就包含了一个大多数学生在解题时会犯的致命错误没有把题目与现实紧密联系。像这种需要我们自己将生活与题目相联系的题型是非常重要的，也是十分普遍的。它可以考验我们的思维能力与细心程度。接下来，我将示例一题与这个错误相关联的典型题目。并将这个错误的原因与正确的解答进行简单解析和深化。每逢节假日，亲朋好友不免要送上几箱“王老吉”或“冬瓜茶”之类的饮料，还有各种酒类。这些大大小小的包装箱堆满房子的每个角落。跟我一起来看看这包装箱里的秘密

2、吧。打开包装箱，里面是排放规整的的饮料罐。看着这些饮料罐，我们开始观察与研究其包装方法。一、提出问题其实，如果仔细观察，再加以联想的话，你就会发现他与数学有着密切的关系。如果把瓶装饮料装进一个包装箱设计成一个问题的话，这就是一道数学应用题：一个包装箱长为60厘米，宽为40厘米，高10厘米。要在这个包装箱里尽可能多的瓶装饮料。该瓶装饮料高10厘米，底为直径10厘米的圆。问题是最多能放多少瓶。二、解决问题1、错解带来问题面对这样的问题，我们应该先看清楚，想明白，这道题到底是在问我们什么。我们要求什么，我们需要什么来引导，作为条件。如果没有看清楚这些条件之间的关系，也许我们就会误入歧途。如有的朋友一

3、看到这个问题就直接想到面积问题。第一步他一般会把瓶子的底面积求出，然后把瓶底所对的面的面积求出，最后把后者除以前者得出结果一，即6040（102）230（瓶），第二步他求出包装箱的高与一个瓶子的高的商，再以结果乘以30，即10103030（瓶）当然，他会考虑到这两个结果必须都是整数。如果不是整数就必须要去掉小数点后的所有小数，而不是像往常一样将小数进行四舍五入。因为这样使结果更具真实性。这个处理是他对现实生活的考虑，也是解决问题时特别要注意的一点。这个解析过程，看似条理清晰，没有漏洞，其实这是一个典型的错误。让我们来细细观察以上解析过程。你就会发现，他其实犯的还是我刚才所说的对现实生活没有考虑

4、的错误。从他的解析过程中不难发现，他一开始进入题目的思维就是错误的。因为这道题目是把瓶装饮料放入四四方方的包装箱内，而不是把长方体状的产品装入四四方方的包装箱中，可以把包装箱实实地填满，而瓶装饮料存在缝隙。所以我们就不能从面积入手。不过他最后一步将所有结果取整化，这是对现实生活的考虑，这是特别好的一点。2、正解引发思考再细观这个问题，你就会发现，其实这道题就是把产品堆进包装箱内，而垒起一个高度和放置宽度的问题。实质上这道题的正确解答过程应该是：第一步，用包装箱的宽除以瓶装饮料的底面直径，得出一排所放的瓶数。第二步用包装箱的长除以瓶装饮料的底面直径，得出排数。第三步以排数乘以一排的瓶数，得出一层

5、的瓶数。第四步用包装箱的高除以一个瓶装饮料的高，得出层数。再以一层的瓶数乘以层数得出总瓶数。最后一步，也是最重要的一步就是写出答。所有的解题过程即为：40104（瓶），60106（排），4624（瓶），10102424（瓶）答：最多能装24瓶。以上是完整的解答过程。在这个过程中，每一步都要取整，这也是出于对现实生活的考虑。以上是解题方案的其中一种，当然会有更多其它的解答过程。例如我们改变该包装箱内瓶装饮料的摆法。（如图）：每排完一排后，你就会发现，图中有一个分别以三个瓶底圆心的等边ABC。只要求得AB边上的高，再加上我们由于取瓶底圆心作顶点而去掉的上下各5厘米即10厘米，得出结果一。将结果一与

6、该图形的宽进行比较。如果宽的值大于结果一，则再加上一排，用以上方法再测一遍。直到结果一的值比宽的值大，这时该包装箱能装入的总瓶数，就是以上所有排的瓶数之和与最后一排的瓶数的差。以下是排几排的结果：排数边长AB边上的高加上10AB边上的高与包装箱的宽的差2108.6602518.6602521.3397532017.3205027.3205012.679543025.9807635.980764.0192454034.6410244.641024.64102以上数据显示44.6440，在包装箱内排下4排后，就无法再排了。所以，该包装箱用此方法最多能装22瓶。 最后证明，此方法的排放数量不如前一方

7、法多。三、拓展探究现在我们已经学习将题目与现实生活相联系。然而，在学习数学的过程中，不能只屈于现状，必须要学会进行探究延伸。那么，接下来，我们就要研究一下不同形状的包装箱是否能装入更多的瓶装饮料呢？ 1、 首先是探究周长相同的底面为正方形、正六边形、正八边形、圆形能放多少个饮料瓶？底面为正方形时个底面为正六边形：摆法1：由里向外，如图3，三圈时OA =cm，四圈时OB=35，显然，所以此摆法只能摆放三圈19个。摆法2：由外向里，如图4，可以分为三个全等的菱形，能摆放个。实际验证（可能存在误差）：如图5，也为27个。图5底面为正八边形：摆法1：由里向外，如图6第四圈只能摆放4个，总共为23个。摆

8、法2：由外向里，如图7，摆放28个。实际验证（可能存在误差）：如图8，可以摆放29个。图8底面为圆形：摆法1：由里向外，如图9，OA= ，AB=5，则OB= ，OD= ，所以第四圈可以摆放12个，此种摆法可以摆放31个。摆法2：由外向里，如图10，可以摆放29个。图10中瓶子沿圆内边依次排开，以绕圈方式由外向内，最后求出该图中每一圈所摆放的瓶数，将结果相加得出一层的瓶数。再以该圆柱体的高除以瓶子的高求出层数，两者相乘求出该圆柱体能容纳的最多瓶数。外圈瓶数a：GUWV,WU=5cm,WG=26.8cm SinWGU=2WGU=21.5,则 a取整数为16个。中圈瓶数b:同理可得 b取整数为10个

9、。里圈瓶数c：同理可得 c取整数为3个。此种摆法总瓶数为a+b+c=16+10+3=29个。实际验证（可能存在误差）：如图11，可以摆放30个。图11由上面的探究实践可以得到下表：平面图形46的长方形正方形正六边形正八边形圆形边长40、605033.325半径为31.83面积4060=2400=2500=2886.75=3017.76=3183.1理论所放瓶数2425272831实际验证所放瓶数2425272930从以上表中可以得出相同周长的平面图形中随着边数的增加面积也在增加，圆形的面积最大，所放的饮料瓶数最多。面积的增加会使底面的纸板用量增加，而饮料生产厂家会考虑包装成本的问题。由于底面周

10、长相同，所以侧面积相同，成本可以从底面纸板的利用率来考虑：（不考虑纸板厚度）底面为46的长方形的利用率：底面为正方形的利用率：底面为正六边形的利用率：底面为正六边形的利用率：底面为圆形的利用率：虽然在相同周长的条件下圆形底面可以装的瓶数最多，但相对成本来说还是低于底面为正方形和46的长方形的。看来生产厂家也是有经过成本测算的。如果改变条件周长可以变化，能否改变包装外形，提高包装盒的利用率呢？由前面的探究过程可以看出图2的摆放方法比图1的摆放方法缝隙小。由此引发了第二个探究。2、在底面形状相同的情况下，哪种摆放方法的利用率更高呢?如图12，BC=MN+10=cm，AB=45cm，则包装盒表面积为

11、，总利用率为。而图1的包装盒表面积为，总利用率为。显然图12的这种摆放方法是利用率高。四、总结回顾在这次的数学探究活动的经历中，无论对今后的数学学习还是今后对完成一个任务的方法和信心上收获都很多，而且很宝贵。相信这次的活动经历会对我的今后生活产生非常大的影响。这次的经历让我知道数学中有许多奇妙，就连一个小小的包装箱也是如此，所以千万不可以小看数学，特别是生活中的数学！总结这次的经历主要有以下几点的收获：1、 从以上探究可以发现，在地面周长相等的立体几何图形中，以圆形为底面的立体图形能放下更多的圆柱型瓶装饮料。2、 在实际操作中，我们还可以发现，在相同的平面内，摆放的方法不同，其所能容放的瓶装饮

12、料个数也不同。但值得注意的一点是，在动手探究中，可能因为所使用的工具和在使用工具的过程中会产生一些误差。既然误差回避不了，那么我们要做的就是尽量减少误差。3、 不是只有课堂中才有数学，更多的数学是被应用在生活中的。我们应该以更开阔的视野走出课堂，走近生活。生活有多么广阔，数学就有多么广阔。我们不仅仅是在课堂上、书本上学习数学，更应该在课堂外、生活中学习数学。4、 事实告诉我们：实践出真知，在数学探究中只有亲自动手操作才能得出真正的答案，切不能浅尝辄止、蜻蜓点水，应当深入思考，由表及里。在学习中思考，在思考中探究，在探究中实践，在实践中得真知。这才是真正的学习意义。5、 最后要提的一点，也是在解决数学题时的一种常用且重要的数学思想：思考问题，从多角度入手。一道题，正确的答案只有一个，但得出这个答案的方法却不只一种。多角度的思考方式将使我们的思维更加开阔，使我们得出的最后答案更具准确性。总而言之，数学存在许多奥秘，只是有些东西往往因为过于普通而被我们忽略。事实上，数学时时刻刻都出现在我们身边的每一件事物中。就连一个看似普通的包装箱也蕴含着大学问。现在你是否对小小的包装箱也刮目相看了呢？