有限元法基础试题

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1、有 限 元 法 基 础 试 题 （A ）一、填空题（5X2分）1.1单元刚度矩阵ke =f BTDBdQ中，矩阵B为，矩阵D为。1. 2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为边界。1.3 内部微元体上外力总虚功：d5W = Ci +T + F ）8u + C +b + F ）8v dxdy + a 6u +a 6v +t （5u +6u ）1 dxdy 的表达式中，第 e Lx, xxy, ybxxy, xy, ybyL x , xy, yxy, y, x一项为的虚功，第二项为的虚功。1.4弹簧单元的位移函数N + N

2、 =。121.5 k数学表达式：令d =， d =， k ,-，则力F = k。ijjki ij二、判断题（5X2分）2.1 位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ）2.2 变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。（）2.3 变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒 等关系。 （）2.4常应变三角单元中变形矩阵是x或y的函数。（）2.5对称单元中变形矩阵是x或y的函数。（）三、简答题（26 分）3.1 列举有限元法的优点。（8分）3.2 写

3、出有限单元法的分析过程。（8分）3. 3列出3种普通的有限元单元类型。 （6分）3.4 简要阐述变形体虚位移原理。（4 分）四、计算题（54分）4.1对于下图所示的弹簧组合，单元的弹簧常数为 10000N/m，单元的弹簧常数为 20000N/m，单元的弹簧常数为10000N/m，确定各节点位移、反力以及单元的单元力。 （10 分）4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E为10GPa,杆单元长L均为2m,横截面面积A均 为2X 10-4m2，弹簧常数为2000kN/m，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用 力和单元的应力。（10分）4.3对称桁架如图（a）所示，杆单元弹性模量均为E,横截

4、面面积均为A,单元长度如图， 根据对称性，求图（b）的整体刚度矩阵。（12分）（a）（b）4.4如图所示的平面桁架，确定转换矩阵卜,并写出ItkItb（10分）1 1 14.5确定下图所示梁的各节点位移。梁已按节点编号离散化。梁在节点 1 固支，节点 2有滚柱支撑，节点3作用有垂直向下的力P=50kN。令沿梁弹性模量E=210GPa, 1=12X10-4/4, 梁单元长L=3m。弹簧常数k=200kN/m。（12分）参考答案（ A）：一、填空题（ 5X 2 分）1.1变形矩阵或应变矩阵弹性矩阵或本构关系矩阵1.2齐次边界 非齐次边界1.3微元体上外力在随基点刚体平移所做虚功 外力在微元体变形虚

5、位移上所做虚功1.4丄丄1.5 丄 0二、判断题（5X2分2.1 V 2.2 V 2.3 V 2.4 X 2.5 V三、简答题（26 分）3.1答：优点有：很容易地模拟不规则形状结构；可以很方便地处理一般荷载条件； 由于单元方程是单个建立的，因此可以模拟由几种不同材料构成的物件；可以处理数 量不受限制和各类边界条件；单元尺寸大小可以变化；改变模型比较容易可以包括 动态作用可以处理大变形和非线性材料带来的非线性问题。（8分）3.2答：有限元方法的一般步骤有：离散和选择单元类型；选择位移函数；定义应 变位移和应力应变关系；推导单元刚度矩阵和方程；组装单元方程得出总体方程并引 入边界条件；求解未知自

6、由度；求解单元应变和位移；解释结果。（8分）3.3 答：弹簧单元，杆单元，梁单元，轴对称单元，常应变三角单元，线应变三角形单元 四面体单元等。（任意上述三种均可）（6 分）3.4 答：变形体虚位移原理：受给定外力的变形体处于平衡状态的充分、必要条件是，对 一切虚位移，外力所作总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功。 （4分）四、计算题（54分）4.1 解：沿弹簧建立 X 坐标：（A）每个弹簧单元刚度矩阵如下：总体刚度矩阵：（B）总体刚度矩阵方程：边界条件：F二450N,2xF = 0 , d = 0 , d = 03x1x4 xF =-270N , F 二 180N1x4 x解得：d = 0.0

7、27m , d = 0.018m ,2 x3x（C）求单元2节点力解得：f = 180N , f =180N2 x3x4.2 解：沿杆单元建立 X 坐标： （A）每个单元刚度矩阵如下：AEk（1）= k（2）=竺Lj-1-=1X106-11-11N/mk（3）= 2 X1061 N/m-1 1总体刚度矩阵：（B）总体刚度矩阵方程:边界条件： F =5000N，2xF =0，d =0，d =03x1x4 x解得： d = 0.003m，2x（C）单元的应力d 二0.001m , F =-3000N , F =-2000N3x1x4 x解得：f = 2000N ,2xf =-2000N3xb （2

8、） = L = -2000 = -10MPa杆单元受压x A 2 x10-4有限元法基础试题（B）一、填空题（5X2分）1.1 整体刚度矩阵方程中节点荷载由两部分组成，一是，二是。1.2常应变三角形单元的位移函数N + N . + N =。i j m1.3最小势能原理与虚位移原理等价，一个是以的形式描述，另一个用的形式表达。1.4计算轴对称单元刚度矩阵有三种方法，一是采用数值积分，二是，三是。1.5 基本的三维单元是。二、判断题（ 5X 2 分）2.1 边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为非其次边界。（ ）2.2线应变三角形单元中变形矩阵是x或y的函数。（）2.3杆单元的

9、位移函数N + N =1。（）122.4单元刚度矩阵ke =f BTDBdG中，矩阵B为弹性矩阵，矩阵D为变形矩阵。（）2.5 在梁单元中节点力与位移的方向规定应该是与材料力学中规定是一致的。（）三、简答题（26 分）3.1 简述刚度矩阵的特性。（6分）3.2写出位移函数的含义。（4分）3.3 写出推导弹簧单元刚度矩阵的分析过程。（7分）3.4试列举三种有限元商用软件，并说明各自优点。（9分）四、计算题（54分）4.1对于下图所示的弹簧组合，单元的弹簧常数为2000N/m，单元的弹簧常数为2000N/m，节点3处位移5为0.01m，确定各节点位移、单元力和反力。（10分）4.2如图所示的杆单元

10、，杆单元弹性模量为E,杆单元长为L,横截面面积为A,试分别计 算（a）、（b）总体x-y坐标下的刚度矩阵。（10分）（ a）（ b）4.3对称桁架如图（a）所示，杆单元弹性模量均为E,横截面面积均为A,单元长度如图, 根据对称性，求图（b）的整体刚度矩阵。（12分）（ a）（ b）4.4 确定下图所示梁的各节点位移。梁已按节点编号离散化。梁在节点 2 作用有垂直向下 的力P=12kN。令沿梁弹性模量E=70GPa, I=2X 10-叫，梁单元长L=4m。弹簧常数k=200kN/m。（ 10 分）4.5 如图所示梁，确定节点位移，以及每一单元的力和反作用力。梁弹性模量 E=70GPa，I=3X1

11、0-4m4，梁单元长L=4m。作用在梁单元的均布荷载P为8 kN/m。（12分） 参考答案（ B）：一、填空题（5X2分）1.1直接节点荷载 等效节点荷载 1.2 丄1.3 能 功 1.4 直接积分 对单元中心点计算 1.5四面体单元二、判断题（5X2分）2.1 X 2.2 V 2.3 V 2.4 X 2.5 X三、简答题（26 分）3.1答：刚度矩阵的特性有：对称的；奇异的；主对角项总是正的。（6分）3.2 答：位移函数的含义：将单元中任意一点的位移近似地表示成该单元节点的函数。当第i个单元自由度为1,而所有其他自由度值为0, N代表在整个单元域中假定的位移函数 i形状。（4分）3.3答：推

12、导弹簧单元刚度矩阵的分析过程为选择单元类型；选择位移函数；定义 应变位移和应力应变关系；推导单元刚度矩阵和方程；组装单元方程得出总体方程并 引入边界条件； 求解节点位移； 求解单元力。 （ 7分）3.4答：ABAQUS是一套先进的通用有限元系统，属于高端CAE软件。它长于非线性 有限元分析,可以分析复杂的固体力学和结构力学系统，特别是能够驾驭非常庞大的复杂问 题和模拟高度非线性问题。 ABAQUS 不但可以做单一零件的力学和多物理场的分析，同时 还可以做系统级的分析和研究，其系统级分析的特点相对于其他分析软件来说是独一无二 的。ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用

13、有限元分 析软件，发展了很多版本，但是它们核心的计算部分变化不大，只是模块越来越多。 ANSYS 系统擅长于多物理场和非线性问题的有限元分析,在铁道，建筑和压力容器方面应用较多。LS-DYNA是一个通用显式非线性动力分析有限元程序，最初是1976年在美国劳伦斯利 弗莫尔国家实验室由 J.O.Hallquist 主持开发完成的，主要目的是为核武器的弹头设计提供 分析工具，后经多次扩充和改进，计算功能更为强大o LSDYNA长于冲击、接触等非线性 动力分析。（9 分）四、计算题（54分）4.5常应变三角单元（12分）4.4 如图所示梁，确定节点位移，以及每一单元的力和反作用力。梁弹性模量 E=210GPa， I=2 X 10-4m4，作用在梁单元上的均布荷载P为5 kN/m。图中长度L=1m。（10分）4.5 如图所示梁，确定节点位移，以及每一单元的力和反作用力。梁弹性模量 E=10GPa， I=2 X 10-4m4，作用在梁单元上的均布荷载P为1 kN/m。图中长度L=1m。（10分）