2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1.3菱形的性质与判定 巩固篇练习

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1、专题1.3菱形的性质与判定（巩固篇）（专项练习）一、单选题类型一、利用菱形的性质求角1.如图，在菱形ABCD中，ZBAD=80,AB的垂直平分线交对角线AC于点尸，垂足为E.连接。尸，则NQEE等于（）A.120B.140C.150D.1602.如图,四边形ABCO内有一点E,AE=EB=BC=CD=D E,A B=A D,若/C=150。，贝 ijNBA。的大小是（)C.75D.80类型二、利用菱形的性质求线段3.如图，在菱形A8CO中，P 是对角线AC上一动点，过点P 作 PE_LBC于点E,P F L A B于点凡 若菱形4BCD的周长为2 0,面积为2 4,则尸E+P F 的值为（）D

2、.48T4.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC。的顶点A 在 y 轴上，顶点B,C的坐标分别为(-6,0),(4,0),则点。的坐标是(A.(6,8)B.(1 0,8)C.(8,6)D.(8,1 0)类型三、利用菱形的性质求面积5 .图，在AABC中，A B=A C,四边形A O E F 为菱形，。为 A E,。尸的交点，SABC=8 7 3 ,则 S 4 4 E F=()A.4 B.4 7 6 C.4G D.4 正6 .如图，菱 形A B C D中，对 角 线A C =6,8 0=8,AE A.B C于 点E,则A E的值A.4.8 B.9.6 C.1 9.2 D.1 0类型四、利用菱形的

3、性质证明7 .如图，在菱形A B C。中，A B A C =55,E为 AB中点，过点E作 E 尸垂直于A B 交AC于点F,连接。尸，则NA F 等 于()CA.5 5 B.6 0 C.6 5 D.7 0 8.已知：如 图1,四边形A 8 C C是菱形，在直线A C上找两点E、F,使四边形尸是菱形，则甲乙两个方案（）图I甲：令AF=CE乙：作。尸交4CTF点,作 点A.甲对，乙错 B.乙对，甲错 C.甲乙都对类型五、添加一个条件证明四边形是菱形D.甲乙都错9.如图，A B C中，D、E、尸分别是边A B、BC、A C的中点，连接A E、D F,要使A E,力尸互相垂直平分，还需要添加一个条件

4、，这个条件不可能是（）A.AE1 BCC.AE=BCB.AB=ACD.4 E是 A B C的角平分线1 0.如图，四边形A B C。是平行四边形，下列说法能判定四边形A B C。是菱形的是（）A.AB=CD B.BAL BD C.AC1 BD类型六、证明已知四边形是菱形D.AC=BD1 1 .如 图1,直线4 4,直线，3分别交直线4，4于点A,8.小 嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2,并探究得到下面两个结论：四边形A B C Q是邻边不相等的平行四边形；四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形.下列判断正确的是（)A.都 正 确B.错误，正确 C.都错误D.正确，错误1 2.如图，

5、矩形ABC。中，AC,BD相交于点。，过点B作B尸_LAC交CO于点凡 交AC于点M,过点。作。8尸交A8于点E,交4 c于点M连接FM E M.则下列结论：Z DN O =Z B M O；A N =C M：M E=N F；当 AO=A。时，四边形 OEBF是菱形.其中，正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4类型七、用菱形的性质与判定求角度13.如图.将菱形ABC。绕点A逆时针旋转N a得到菱形ABC。，Z B=Z p.当AC平分NBAC时，N a与N 0满足的数量关系是（C.4Za+Zp=180B.2Za=3ZpD.3Za+2Zp=18014.如图在平行四边形ABC。中，8=24

6、0,3E，4）于 点 ,尸 为0 c中点，连接E F、B F,下列结论：Z A B C =2ZABF；EF=B F ；S四 边 形谢c=;N C F E =3 N D E F,其中正确的有（)DFCE,AL-JBA.B.C.D.类型八用菱形的性质与判定求线段15.如图，在菱形A 8 C D中，ZB=6 0,E是B C的中点，连接AE,D E,C E与A C交于点G、以O E为边作等边三角形。E F,连接A尸交。E于点N,交。C于点M.下列结论：D E =五 A B;N4N=45。；AE=2也 C M ;点M为A尸的中点.其中结论正确的2序 号 有（）A.（）B.C.D.16.如图，在M 8 C

7、 O中，按以下步骤作图：以点A为圆心，A 8的长为半径作弧，交A。于点E;分别以点8、E为圆心，大 于;B E的长为半径作弧，两 弧 在 的 内 部交于点G,连接A G并延长交8 c于 点 尸.若45=5,BE=6,则 质 的 长 是（）A.4 B.6 C.8 D.10类型九、用菱形的性质与判定求面积1 7.如图，在菱形A B CO中，N D 42=45。，DE L B C 于点E,交对角线A C于点P,过点尸作PFLCZ）于 点?若A P O F的周长为8.则菱形A B C 3的面积为（）AA.16B.1672C.32D.3 2 a18.如图，。是菱形ABC的对角线AC,8的交点，E,F分别

8、是OC的中点.下列结论中正确是（）SM B E=SM,BF:四边形E B F D是菱形；四边形A B C D的面积为OCx。，（4）Z ABE=ZOBE.A.B.C.D.二、填空题类型一、利用菱形的性质求角19.如图，在菱形A8CD外侧作等边 C BE,连接。乐A E.若NA8C=100。，则/O E 4的大小为.分别以A,B为圆心，以大于;AB长为半径,作弧交于两点，过此两点的直线交4）边于点E,连接BE,B D,则NEBD的度数为类型二、利用菱形的性质求线段2 1.如图，菱形A8CD的边长为2,ZABC=60,E是AO边的中点，点P是对角线3。上的动点，当AP+PE的值最小时，尸。的长是.

9、ED2 2.如图，若菱形A8CD的顶点A,8的坐标分别为(3,0),(-2,0),点。在轴上，则点类型三、利用菱形的性质求面积23.如图，在菱形ABCO中，4 c=8,A O=5,则菱形的面积等于24.如图四边形A8CO是菱形，点M、N分别在A&AO上，且BM=DN,M G/AD,N F/AB,点/、G分别在BC、CO上，M G与N尸相交于点E,若NA=120。，AB=a(a 0),AB：M B=3 ：1,则四边形CFEG的面积是.(用含的式子表示)类型四、利用菱形的性质证明25.如图，在四边形4BCO中，P,。、M、N分别是A。、B C、B D、AC的中点，当四边形ABCC满足 时(填写一个

10、条件)，P Q 1 M N.BPDACQ26.如图，四边形ABC。为菱形，ZA5C=7 0 ,延长BC到 E,在 NOCE内作射线CM,使得N E C M=15,过点。作DF L C M,垂足为F.若 尸=卡，则 对 角 线 的 长 为B C E类型五、添加一个条件证明四边形是菱形27.如图，在四边形ABC。中，A B 力CD,E,F,G,，分别是A3,BD,CD,4 c 的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形48CO还应满足的一个条件是28.如图，在 AABC 中，点。、E、尸分别在边 A8、B C、CA 上，BLDE/CA,D F/BA,下列四种说法：四 边 形 尸 是 平 行 四 边

11、形；如果NBAC=90。，那么四边形AED尸是菱形；如果A。平分N8AC,那么四边形AED尸是菱形；如果A B A C,那么四边形AED F是菱形.其中，正 确 的 有.（只填写序号）类型六、证明已知四边形是菱形2 9 .如图，A。是 A B C的高，在A 8上取一点E,在4 c上取一点凡 将沿过E、F的直线折叠，使点A与点。重合，给出以下判断：E F是 A B C的中位线；下的周长等于 A B C周长的一半；若A B=A C,则四边形A E C F是菱形；若N B A C是直角，则四边形A E ZJF是矩形；其中正确的是3 0 .将三角形纸片4 8 c(A B A C)沿过点A的直线折叠，使

12、得4 C落在A 8边上，折痕为A C,展平纸片，如 图(1);再次折叠该三角形纸片，使得点A与点。重合，折痕为E F,再次展平后连接OE、D F,如图2.解决下列问题：(1)四边形A E Q尸的形状是类型七、用菱形的性质与判定求角度3 1 .如图所示，在平行四边形A B C D中，以点A为圆心，A B长为半径画弧交A O于点F,再分别以点3、F为圆心，大于g B F长为半径画弧，两弧交于一点P,连接4尸并延长交B C于点E,连接相交于点。，若四边形4 B E尸的周长为4 0,/=1 0,/A 8 C=3 2 .如图，在A B C中，A O为斜边8 c上的中线，AE/BC,CE/AD,E C的垂

13、直平分线F G交4 C点G,连接。G,若N4 OG=2 4。，则N 8的度数为 度.类型八用菱形的性质与判定求线段33.如图，已知等边三角形A8C绕点8 顺时针旋转60。得到AC8。，E,尸分别为线段AC和线段CD上的动点，且 AE=C尸，有以下结论：四边形ABAC为菱形；ABE*CBF；ABEF为等边三角形；N C F B =N C G E.其中正确结论有.（填34.如图，在菱形ABCO中，NA=120。，A B=2,点 E 为 BC的中点，P 为对角线8。上的一个动点，分别连接PE、P C,则尸E+PC的最小值=.类型九、用菱形的性质与判定求面积35.如图，将两条宽度都为3 的纸条重叠在一

14、起，使 NABC=60。，则四边形ABC。的36.如图，在平行四边形ABCO中，E、F 分别是边A、BC上一点，D E=B F,连接AC、EF、AF,C E,若 AC=5,AE=AF,F=8,贝 U 四边形AECF的面积为一.三、解答题3 7.如图，在菱形A BC。中，N 4 BC=8 0。，点 E 在 的 延 长 线 上，对角线AC与 80交于点 M,E M 交 A D 于点 F,且 N E F D =1()5。.(1)求 NE 的度数.(2)求证：AM=AE.3 8.如图，在四边形A B C Q 中，AD/B C,对角线8。的垂直平分线与边A O,B C分别相交于点”，N.(1)求证：四边

15、形B NOM是菱形；(2)若 8。=2 4,M N=I O,求菱形B NDM的周长.39.在QABCO中，E,尸分别是A8,CO的中点，连接BF,D E ,M ,N 分别是BF,D E的中点，连接EM,F N .(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；若 AB=12,E M =E N =5,则四边形ABC。的面积为40.如图，在菱形A8CD中，BE L C D J 点E,交 A。的延长线于点G,点尸.(1)求证：BF=DE；(2)若 NA=45。，=求。G 的长.L B C 于41.如图，在平行四边形ABC。中，连接对角线AC,E,F,分别为AC上的两点且A F =CE,连接 BE,BF,D

16、E,D F.(1)求证：B E=DF.(2)对AA3C添 加 一 个 条 件，使四边形BECF是菱形，并说明理由.42.如图，在QABCZ)中，过点A 作 AE_L8c于点E,AF_LDC于点E 且 他=AF.(1)求证：口 ABC。是菱形.(2)若/4 尸=60。,。尸=2,求平行四边形A3C7)的面积.43.如图，在QABC。中，点 N 在 BC上，AB=B N ,平分NABC交 AO于点M,请用不刻度的直尺画图(保留作图痕迹，不写画法).(1)在 图 1 中，过点A 画出AASM中 BM边上的高A P,并证明你的结论；(2)在图2 中，过点C 画出C 到 的 垂 线 段 CQ.4 4.如

17、图，在四边形48C C 中，A D/B C,对角线8 0 的垂直平分线与边A。、BC分别相交于M、N.(1)判 断 四 边 形 的 形 状，并证明你的结论；(2)若 B=24,M N=1 0,求四边形BNOW的周长.4 5.如图，在四边形ABC。中，AB/CD,AB=B C =2CD,E 为对角线AC的中点,F 为边8 c 的中点，连接OE、EF.(1)求证：四边形CDE尸为菱形;C D =-3,求四边形C3EF的面积.参考答案1.C【分析】连接防，由菱形的性质得 N84C=40。，N B C F =N D C F =Z B A C =40。,Z A B C =1(X),由线段垂直平分线的性质

18、得AF=B F,则NA5F=NB4C=40。，Z C B F =60,由545可得 B C F%D C F ,得到N C =NCBF=60。，山三角形的外角性质求出NAED=100。，进而得到答案.解：连接8尸，如图所示:D 四边形A 5 c o是菱形，ZE4D=80,NBAC=-/B A D =40,2AB=BC=D CfZJBCF=/D C F =ZfiAC=40,ZABC=180-/B A D =100丁 E F是 线 段A 3的垂直平分线，AF=B F,ZAFE=900-A B A C =50,.ZABF=ZBAC=40：.ZCBF=Z A B C-ZA B F =6().在8 b 和

19、 ,中，BC=DCAB2-O B2=7102-62=8，AA(0,8),:AD/BC,)(10,8),故选：B.【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握和运用菱形性质及勾股定理解决问题.5.C【分析】根据菱形的性质，结合A 8M C 得出。尸为ABC的中位线，DFBC,DF=；BC,从而得出AE为 A8C的高，得出3CxAE=1 6 j L再根据菱形的面积公式，即可得出菱形的面积.解：,四边形4处尸为菱形，:EFAB,DEAC,AF=EF=DE=AD,AELDF,:/CEF=/B,/DEB=NC,A C =AB,：.NCEF=NB=NC=/D E B,:.CF=EF,

20、DE=DBt；.CF=AF,AD=DB,:.DFBC,D F=-BCf2 NAQD=90。，/.ZAEB=ZAOD=90,/.AE 上 BC,V S 咏=8 g,.-BCxAE=8y/3,2即 BCxAE=l66 S菱 形A EF=；DFxAE=；xgBCxAE=；x l6 G =4 G,故 C 正确.故选：c.【点拨】本题主要考查了菱形的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，菱形的面积，三角形面积的计算，根据菱形的性质和等腰三角形的性质得出OF为AASC的中位线，是解题的关键.6.A【分析】根 据 菱 形 的 性 质 可 得A0=3,B 0=4,然后根据勾股定理可求出AB

21、长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式可得答案.解：四边形4 8 c o 是菱形，：.AB=BC=CD=AD,ACBD,A0=AC=3,B 0 B D=4,NA 08=90,*AB =B C =VQ42+OB2=V32+42=5 二菱形 A BCD 的面积是-A C Z)B=-x 6 x 8 =24,2 28 C A =2 4,得5A =24,24解得 A E=g=4.8,故选：A.【点拨】此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的面积，勾股定理，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分.7.D【分析】连接8凡根据垂直平分线的性质得出NAFB=70。，根据SAS证AWMAA D F,根据全等 三 角

22、形 的 性 质 得 出 进 而 得 出 答 案.解：连接8尸，E 为 AB 中点，EFLAB,：.AF=BF,：.A B A C =Z A B F =55,：.ZAFB=10,在菱形ABCO中,/BAF=ND AF,AB=AD,又 AF=AF,A B F A D F(SAS),ZAFD=ZAFB=10.故选：D.【点拨】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键.8.C【分析】对甲乙两种方案，分别通过证明三角形全等得到四条动相等或对角线互相垂直平分，即可得到答案.甲：令AF=CE 四边形A3CQ是菱形，:/B A D:/

23、BCD,AB=BC=CD=AD,：.Z B A C=Z D A C=Z B C A=Z D C A,：.Z B A F=Z D A F=Z B C E=Z D C E1在 BA尸和 D4尸中，AB=AD NBA尸=ZDAF,AF=AF：.BAF/DAF(SAS),：.BF=DF,同理：DCE/XBCE(SAS),4 BAF冬ABCE(SAS),：.BE=DE,BF=BE,:.BF=DF=BE=DE,四边形尸BE。是菱形；故甲正确；乙：由题意，连接B Q,如图DB乙：作交4C于凡点，作59，8以 力。于E点；四边形ABC。是菱形，：.AC.-BD,AD=BC,AD/BC,ZDAF=ZBCE,：D

24、FLAD,BE1.BC,：.NAOF=NC8E=90,AADF 与 ACBE；：.DF=BE,NAFD=NCEB,J.DF/BE,四边形DEBF是平行四边形，：EFBD,四边形QEBF是菱形；故乙正确；故选：C【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质,解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断.9.C【分析】由条件可先判定四边形A D E F为平行四边形，再利用等腰三角形的判定即可求得答案.解：）、E、F分别为A3、B C、A C的中点，.D E、E F分别为 A B C的中位线，DE/AF,EF I/AB,，四边形ADE厂为平行四边形，若A B=A C即可

25、求得四边形A D E F为菱形，故B选项可以，当AE J_ B C时，则可求得A B=A C,可得A D=A F,故A选项可以，当A E是 A8C的角平分线时，可证得求得四边形AOE尸为菱形，故D选项可以,当AE=BC时，无法确定A B=A C,故C选项不可以，要使四边形4 E D F是菱形还需要添加一个条件，这个条件不可能是C,故 选.C.【点拨】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键.10.C【分析】由菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可.解：A.四边形A2C。是平行四边形，A B C D,不能判定四边形ABC。是菱形，故选项A不符合题意；B二

26、 四边形A 8c。是平行四边形，B A LB D,不能判定四边形A 8C D是菱形，故选项B不符合题意；C.四边形ABC。是平行四边形，ACV BD,平行四边形A B C D是菱形，选项C符合题意；D.四边形A8C7）是平行四边形，AC=BD,四边形ABC力是矩形，故选项D 不符合题意；故选：C.【点拨】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题关键.11.B【分析】根据小嘉的行尺规作图，可以得到：N A B D=N C B D,A B=B C,再证明四边形ABCQ是菱形，再进行判断即可.解：根据小嘉的行尺规作图，可以得到：Z A B D=Z C

27、 B D,AB=BC,：I,/l2,：.NAD B=N C B D,/Z A B D=Z C B D,：.ZABD=ZAD B,：.AB=AD,:AB=BC,：.AD=BC,，四边形A B C D是平行四边形，四边形4BCD是菱形，四边形A B C D是对角线互相垂直的平行四边形.错误，正确故选：B.【点拨】本题考查了作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了菱形的判定与性质.12.D【分析】根据小 叱 即 可证明，再 判 断 出 尸 证 明 出 ，再证明出 N F M 必M E N,得至1 N F N M=N E M

28、N,进而判断出，通 过。尸与先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到NM)O=/ABC=30。，进而得到。E=BE,即可知四边形为菱形.解：DE/BF:.2DNO=ZBMO故正确.ZNAE=ZMCF又,:NDNA=NBMC=90。NANE=NCMF=90。在4 7 与仆CMF中NANE=NCMF=9Q：8 C,得到/8+NBAO=180。，推出 4N a+/p=180.解：.AC 平分/8 R C,/.NBAC=ZCAC,；菱形ABC。绕点4逆时针旋转N a得到菱形ABCD,：.Z B A B Z C A C Z a,；AC 平分/&4),/.N B A C=AD AC,：

29、.ZBAB=ZD AC,：.N B A B，=NB4C=NCAC=N DA C=Za,JAD/BC,：.ZB+ZBAD=ISO,.4Za+Zp=180.故选：C.【点拨】本题考查了菱形性质，旋转性质和角平分线，熟练掌握菱形的边、角、对角线性质，旋转图形全等性质，角平分线定义，是解决本题的关键.14.C【分析】延长E F交B C的延长线于G,取A B的中点H连接F H.想办法证明EF=FG,BE1BG,四边形B C 是菱形即可解决问题.解：如图，延长EF交8C的延长线于G,取A8的中点H,连接尸H.GDA H B*：CD=2AD,DF=FC,：.CF=CB,，NCFB=NCBF,AB,：.ZCF

30、B=ZFBHf：.ZCBF=ZFBH,：.ZABC=2ZABF.故正确，CG,：.ND=/FCG,在 DFE和A CFG中，/D =NFCGJAB2-OB2=旧-S =4，AF=2OA=8.故选：CBC【点拨】本题考查作图一复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，勾股定理等知识.证明四边形至/石是菱形是解题的关键.17.D【分析】证 A S E 是等腰直角三角形，得NCDE=45,CD=E，再证AD尸 产 是等腰直角三角形，得 PF=DF,PD=6 P F ,设 PF=DF=x,则尸。=&,求出 x=8-4 应，贝 UDE=x+y/2x=4y/2.BC=CD=&D E=8,即可求解

31、解：.四 边形A3C是菱形，:.BC=CD,/BCD =/B A D,ZACB=ZACD,AD/BC,：.Z B A D+Z B =SO 0,Q?DAB 45?,:.ZBCD=ZBAD=45,.DE IB C,.COE是等腰直角三角形，:.ZCDE=45,CD=6 D E，.PFCD,.ADPF是等腰直角三角形，；.PF =D F，P D =/2 PF，设 PF=DF=x,则 PZ)=&x，.APDF的周长为8,/.x+x+&x =8，解得：x=8-4 应，ZACB ZACD,DE IB C,PF LC D,:.PE=PF=x,D=x+x =(l+V2)x(8-4x/2)=4/2,BC=C D

32、 =-JiD E=8,，菱形 ABC。的面积=BCx)E=8x4及=3 2 0，故选：D.【点拨】本题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，证明ADPF为等腰直角三角形.18.A【分析】先证AE=O F,再根据三角形的面积公式可得到结论；根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确；根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得：根据已知无法求得Z ABE=N O B E .据此判断即可得到答案.解：四边形ABCD是菱形OA=OC,A C L B D：E、F 分别是0 4、0 C 的中点.A AE =-A O,O F =-OC.2 2：.

33、AE=OF.,SABf：=A E O BS.=*O F B,*S&ABE=SAOBF,故正确 四边形ABC。是菱形，A ACJ.BD,OB=OD；.AC是 BO的垂直平分线:.BE=ED 四边形ABCO是菱形，E,F 分别是OA,0 C 的中点.：.EFOD,OE=OF.2。是 E F的垂直平分线:.D E=D F,BE=BF.：.D E=D F=BE=BF.四边形BFQE是菱形.正确.四边形ABC。是菱形，AC=2AO=2O C,BD=2OB=2OD二菱形A B C D的面积=LAC BO=X20C-20D=20C 0。，故不正确；2 2由 已 知 无 法 求 得=故不正确所以正确的结论有，

34、故选：A.【点拨】本题考查了菱形的判定、性质以及菱形面积的求法，垂直平分线的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键.19.30#30 度【分析】根据菱形的性质得到AB=8C =C D,A B/C D,求得NBCD=180。-Z 4B C =80。，根据等边三角形的性质得到8C =8E =CE,Z.CBE=ZBCE=ZBEC=60,求得AB=BE,CD=C E,ZX;E=140,ZABE=1 6 0 ,根据等腰二角形的性质得到ZCED=ZCDE=(180-ZDCE)=20,ZBA=ZBE4=(180o-160)=10,于是得到结论.解：四边形ABC。是菱形，;.A B =BC=C D,A B I

35、I C D,ZBCD=180-ZABC=80,rACBE是等边三角形，:.BC=BE=CE,ZCBE=ZBCE=ZBEC=6(),:.A B =B E,CD=C E,ZD C E=140,Z A 5E =160,ZCED=NCDE=-(1800-NDCE)=20,NBAE=ZBEA=-(180-160)=10,2 2ZDE4=ZBEC-ZDEC-ZBEA=30,故答案为：30。.【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形和等边三角形的性质.20.36【分析】由题意可得E 4=E B,从 而 再 根 据 菱 形 的 性 质 可 以 得 到/A

36、 8 O的大小，从而根据即可解答.解：山题意可知E在线段A 8的垂直平分线上，:EA;EB,：.ZABE=ZA=369:A B C D为菱形,：.AD=ABf,NABD=（180。-N A）+2=72。,.NEBD=NABD-NABE=72-36=36。,故答案为36。.【点拨】本题考查菱形的应用，熟练掌握菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的画法和性质是解题关键.2 1.述3 3【分析】连接 AC,C E,通过 SAS 证明 AAb尸丝GBP,W AP=C P,贝!A尸+PE=CP+PE,当 C、E、P共线时，CP+PE最小，求。P的长即可.解：连接AC CE,四边形A8C。是菱形，

37、：.ABCBAD,NABP=NCBP,在W和AC8P中，AB=CB:.3O=2BO=6,菱形的面积=等=24,故答案为24.【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积公式是本题的关键.【分析】先证四边形CFEG是菱形，由面积关系可求解.解：如图，连 接CE,AE,：.AB/CD,AD/BC,AB=BC=a,ZB=60,JMG/AD,NF/AB,：.AB/FN/CD,MG/BC/AD,NB=NEFC=60。,四边形EFCG是平行四边形，四边形BMGC是平行四边形，四边形ONFC是平行四边形,:D N=FC,BM=CG,:CG=CF,.四边形CFEG是菱形，:.EF=FC,EFC是等边

38、三角形，*：A B：MB=3：1,EF=-ch3 四边形C F E G的面积=2 S 5 R 2 x g x（D=,4 C是这个题最关键的一点.27.AD=BC#BC=AD.【分析】若四边形EFGH是菱形，则GF=所=E =H G,利用一.角形中位线定理可知：G F =-BC,H E*B C ,G H=-A D,EF=-A D,所以四边形 ABC。还应满足 4)=8C2，2 2时，四边形EFGH是菱形.解：若四边形E尸 G”是菱形，则G F =EF=H E =HG,：E,F,G,，分别是 A8,HD,CD,AC 的中点,A G F =-B C ,H E 二 BC,G H -A D,E F -A

39、 D ,2 2 2 2.当AD=8C时，利用Gb=尸=HE=HG可判定四边形E F G H是菱形，故答案为：A D =BC.【点拨】本题考查菱形的判定及性质，三角形中位线定理.解题的关键是依据三角形中位线定理得到GF=g8C,HE=BC,G H=A D,EF=A D,利用菱形四边形各边相等的性质得到AD=BC.2 8.【分析】根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可.解：OEC4,D F/B A,，四边形AED尸是平行四边形，故正确；V ZBAC=90,四边形4EQF是平行四边形，四边形4EDF是矩形，故错误；A力平分/B A C,四 边 形 尸 是 平 行 四 边 形，四边形AEDF是菱形，

40、故正确；AB=AC,四边形AEQF是平行四边形，不能得出AE=AF,故四边形A/不一定是菱形，故错误；故答案为：.【点拨】此题考查菱形的判定，关键是就平行四边形的判定和菱形的判定解答.2 9.【分析】由折叠的性质及垂直的条件可得点E、F 分别是A8、AC的中点，从而可判定正确：由中位线定理即可判定正确；由A8=AC及 E、F 分 别 为 中 点 可 得 由折叠的性质即可判定正确；当 A 8与 AC不相等时，点。不是8C的中点，则 OE与 AC不平行，从而四边形AEDF不是平行四边形，故不是矩形，从而可判定错误.解：由折叠性质得：AE=D E,A F=D F,且 EFL4CN E A I A N

41、 E D AAD BCA Z E D A+Z E D B=9 0 ,Z E A D+Z B=9 0 :.N E D B=N B：.D E=BE：.D E=AE即 点 E 是 A B 的中点同理：点 尸 是 A C 的中点.EF是A A B C 的中位线故正确尸是 A8C的中位线E F =-B C2V AE=-AB,A F =-A C2 2，ZXAEF 的周长为 AE+EF+AF=L(AB+3C+4C)2而 A B C的 周 长 为A B+B C+A C.AEF的周长等于 ABC周长的一半故 正 确 v：AB=AC,E、尸分别是AB、4 c 的中点：.AE=AF：AE=D E,A F=D F:.

42、A E=D E=D F=A F即 四 边 形 AE尸是菱形故正确当 A B 与 A C 不相等时，点。不 是 B C 的中点，则 E与 A C 不平行，从而四边形A E 0 F不是平行四边形，故不是矩形故错误故答案为：【点 拨】本题考查了三角形中位线定理，菱形的判定，折叠的性质等知识，由题意得到E、F 分别是中点是解题的关键.30.菱形 73【分 析】(1)根据折叠的性质判断四边形的形状即可；(2)根据菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及含3 0。角的直角三角形的性质求解线段的比值即可.解：(1)由折叠的性质可 知 =尸，A E =D E,Z F A D=Z E A D,：.ZFAD=ZFD

43、 A,ZEAD=ZED A,：.Z F D A=Z E A D Z E D A=Z F A D,：.AE/D F,D E/IAF,，四边形A E D F是平行四边形,/A F =D F二四边形A E D F 是菱形故答案为：菱形.(2)如图，设 E F 与 AO交于点。，V Z f i 4C =6 0,四边形A E Q F 是菱形A Z E A D =30,E F V A D,AE=AF,AAEF是等边三角形A EF=AE.O E=-A ,AD=2OA,2：.OA=S!AE2-OE2=QAE?_(；A Ey=-A E,AD=-X2=AE(2)故答案为：-J3.【点拨】本题考查了折叠的性质，菱形

44、的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含3 0。角的直角三角形的性质.解题的关键在于对知识的灵活运用.3 1.1 2 0【分析】由角平分线的作法得AE平分4 4 B,据角平分线的定义、等腰三角形判定、平行四边形的性质及判定证得四边形A B E V为平行四边形；再据A F=A B最终证得四边形A B E F为菱形，结合其周长为40从而得到AB=AF=10；最后据BF=10得到 W是等边三角形，从而得到Z ABF=60,再据Z A B C =2 Z A B F算得NABC的度数.解：由题意得，AB =AF,AE平分,Z FAE=ZBAE,四边形ABCD是平行四边形，AD/BC.Z F A E =Z

45、 B E A，：.NBEA=N B A E,A B =BE,/A B=A F,BE=AF,四边形ABEF是平行四边形.又 =,四边形ABEF为菱形，:四 边 形ABEF的周长为40,，AB=AF=10.BF=10,：.AB=BF=AF 4 3 F 是等边三角形，；ZABF=60；Z A B C =2ZABF=2C).故答案为：120。.【点拨】此题考查r 角平分线尺规作图、等腰三角形判定、菱形判定性质、正三角形的判定和性质等，熟悉相关知识并能综合应用是关键.32.38【分析】连接G E,证明四边形ADCE为菱形，得到N D 4 C=/E A C,根据 4G。丝AAGE得到NAG=NAOG=24

46、。，根据线段垂直平分线的性质得到G C=G E,根据等腰三角形的性质得至叱GEC=ZE C A,根据平行线的性质列式计算即可.解：连接GE,四边形ADCE为平行四边形，.心A/IBC中，AO为斜边8 c上的中线,：.AD=BC=DC,平行四边形ADCE为菱形，ZDAC=NEAC,在AGO和AGE中，AD=AE ZDAG=NEAG,4G=AG.,.4G。丝A4GE(SAS)：.ZAEG=ZADG=24,；四边形AOCE为菱形，：.ZDCA=ZECA,：GF是EC的垂直平分线，：.GC=GE,：.ZGECZECA,：AE/BC,：.ZAEC+ZBC=180,.,.3ZACB+24=180,解得，N

47、AC8=52。，/.ZB=90-52=38,故答案为：38.【点拨】本题考查的是菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握菱形的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理.33.【分析】由等边三角形旋转的性质可知A B=A C=B D=C D即可判断；利 用S A S即可判定 ABE沿X C B F；由全等三角形的性质可知8E=8尸，N A B E=N C B F,再结合Z A B C=ZABE+EBC=60,即可求出NEBF=60。，即证明ABEF为等边三角形；由Z C F B=Z C F G+Z B F G,Z C G E=Z C F G+F

48、C G 即可判断.解：由等边三角形旋转的性质可知A 8=A C=8D=8,即四边形A8C。为菱形故正确.:在AASE和ACB/中，A B=C B Z B A E=Z B C F ,A E=C F:A A B E处A C B F(SAS),故正确；:A B E 丝 A C B F,；.BE=BF,N A B E=N C B F,：Z A B C=Z A B E+Z EBC=60,A Z C B F+Z E B C=6 0 ,即/E5F=60,.BE尸为等边三角形，故正确；,:N C F B=N C F G+N B F G,N C G E=N C F G+F C G,N F C G=N B F G

49、=6 0。,:.N C F B=N C G E,故正确；综 上，都正确，故答案为：.【点 拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，图形旋转的性质，菱形的判定，全等三角形的判定引性质，三角形外角性质，熟练掌握这些知识并利用数形结合的思想解题的关键.34.G【分 析】取 4 8 的中点尸，连接PE,E F,通过菱形的性质证明ABP尸思/kB P E,得 出 PE=PF,再根据两点之间线段最短，当 C,P,尸在同一条之线上时，PF+PC最小，即 PE+PC最小.解：如图：取 A 8的中点F,连接PF,CP,四边形ABC。是菱形，：.BA=BC,NFBP=NEBP,又,:E,F 分别是BC,BA的中点,

50、：.B F=B Af BE=BCt：.BE=BFf在 尸 尸和5PE中，BP=BP.PE+PC的最小值为 百，故答案为：石.【点拨】此题考查了轴对称一最短路径问题，内容涉及菱形的性质、等边三角形的性质和判定及勾股定理，综合性较强.35.【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形A8C。是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出A 8=8 C,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3与/ABC=60。求出菱形的边长，然后利用菱形的面积=底、高计算即可.解：纸条的对边平行，即A8CD,AD/HC,二四边形A B C D是平行四边形，；两张纸条的宽度都是3,*S 砰形ABCD=AB乂

51、、：.AB=BCf二平行四边形A8CO是菱形，即四边形A8CO是菱形.如图，过A作AE_LBC,垂足为E,ZABC=60,.ZBAE=90-60=30,；.AB=2BE,在 B E 中，AB2=BE2+AE2f即 AB2=-A B2+32,4解得A B=26，S 四攻形ABCD=BC AE=2 y/3 x3=6 G.故答案是：6 G.【点拨】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键.36.20【分析】首先判定四边形AFCE是菱形，然后利用对角线乘积的一半求得菱形的面积即可.解：:四 边 形 A3CO是平行四边形，C.AD/BC,A D=B Ct :D E

52、=BF,:AD-D E=BC-BF,:.AE=CF,.四边形A F C E为平行四边形，：A E=A F 四边形AFCE是菱形，V AC=5,EF=8,二 S 签彩AFCE=y ACEF=yx5x8=20,故答案为：20.【点拨】考查了平行四边形的性质、菱形的判定及面积公式，解题的关键是判定四边形A F C E 是菱形.3 7.(1)2 5(2)见分析【分析】(1)利用菱形的性质和三角形外角的性质即可；(2)利 用 菱 形 的 性 质 和 角 平 分 线 的 定 义 证 得=即可求解.(1)解：四边形4 8 C D 是菱形，AD/B C：.N E 4 D =Z A B C =8()。，Z E

53、=NEED-NEW=1 0 5-8 0 =2 5；(2)证明：四边形4 B C D 是菱形Z Z M B =1 8 0-Z B =1 0 0 ,：A C 平分 N D 48,Z B A C =-Z D A B =50,2Z A M E =Z B A C-Z E =50-2 5=2 5 =N E ,*AM=AE.【点拨】本题考查了菱形的性质，三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.3 8.见 分 析(2)菱形8NZW的周长为52【分析】(1)证 MOD 空 N O B(AAS),得出O M=O M 由 0 8=0 0,证出四边形用V O W 是平行四边形，进而得出结论

54、；(2)由菱形的性质得出B M=B N=O M=O N,O B=j-BD=l2,0 M=M N=2,由勾股定理得 BM的长，即可得出答案.解：证明：AD/BC,：.Z D M O=Z B N O,；MN是对角线BD的垂直平分线,/.OB=OD,MN上 BD,ZDMO=ZBNO在&MOD 和 ANOB 中，ZMOD=NNOB.OD=OB.MOD丝N08(A4S),：.OM=ON,：OB=OD,四边形8MMf是平行四边形，:MNLBD,四边形3M9M是菱形；(2)解：四边形8NDM是菱形，8/X24,MN=l。,:.BM=BN=DM=DN,08=8/12,OM=；MN=5,在RmBOM中，.在/?

55、/BOM 中，由勾股定理得：MB=yOM2+OB2=/52+122=13-二四 边 形 的 周 长为：4x13=52.【点拨】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.39.见 分 析96【分析】(1)根据平行四边形的性质得出8EDF,AB=DC,结合中点的定义，得出则可证明四边形BEQF为平行四边形；(2)连接AN,EF和M N,取EF和MN的交点为O,利 用(1)的结论，再证明四边形EMFN是平行四边形，结合连接AM EM=E N,得出四边形EMFN是菱形，根据三角形中位线定理和平行线的

56、公理推出 N、A三点共线，利用ASA证明AAEN丝E8M,推出S4AEN=54AND=S&EBM,同理得到 SAFCB=2SABEM=2SJ)FN,再证明四边形 EBMN为平行四边形,求出MN的长,则可得出OM长,根据勾股定理求出OE的长，然后求出菱形EMFN的面枳，最后根据面积的和差关系求出四边形ABCD的面积即可.解：证明：四边形ABC。为平行四边形，.BE/D F,AB=D C,又；E、F分别为A B和C D的中点，:*BE=D F,四边形B E D F为平行四边形；(2)解：如图，连接AM EF和M N,取EF和MN的交点为0,由(1)得四边形BED尸为平行四边形,J.BF/D E,B

57、F=D E,即 MF/D N,山M、N分别是B尸和OE的中点，：.MF=EN,/.四边形E M F N是平行四边形，E M =E N,.四边形EMFN是菱形，E为AB的中点，在ABAF中，EM为中位线，：.EM/AF,又 EM/NF,:F、N、4三点共线,又 EN=ND,:SAAEN=SAAND,.ME/AF,NBEM=NEAM,:ENBF,：./AEN=/EBM,又 AE=BE,:AAEN4 E B M(A SA),J S AEN=SAND=SEBM,同理 SFCB=2SBEM=2SDFN,/菱形EMFN与ABEM等底同高,S菱形EMFN=2SBEM,*：AB=2.BE=AB=6,连接M M

58、,:ENBM,:.EN=BM,，四边形E 5 M N为平行四边形，:.EB/MN,且 EB=MN=6,连接EF,：MN=6,：.OM=-MN=3,2又 EN=5,EO=J52-3?=4，5 o=-1x3x4=6，,S菱 形.川=4 5-。=4 x 6=2 4 ,2 4=1 2 =S N.n=x 5 A.n,S四 边 形 A B C。=SJAED+S .=2 4 +2 4 +1 2 +1 2 +2 4=9 6BCF+S ABEM+S 4NDF+S 爰 形 EMFN【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，菱形的判定和性质，以及面积的和差关系和转换，解题的关键根据题意作出辅助线，

59、借助等底同高的性质找出三角形和平行四边形的关系.4 0.见分 析.2-0【分析】(I)根据菱形的性质得到C8=C D,证明和 尸C全等即可.(2)由平行四边形的性质可以得到NG=NA=45。，再根据等腰三角形的性质即可求解.解：证明：；四边形4 8 c o是菱形CB=CDBE LCD 于点 E,DF BC 于点、F：.ZBEC=ADFC=90在和D FC中NBEC=NDFC zc=zcCB=CD：.A B C=A)FC(AAS):.EC=FCC B-FC =C D-E C:.BF=D E；(2)解：四边形A8CD是菱形A B/C D：.ZABG=/B E C =90。：NA=45ZG=ZA=4

60、5AB=BG=：.AG=2DG=A G-A D =2-s/2.【点拨】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质是解决问题的关键.4 1.见 分 析=【分析】(1)根据SAS证明 ADF=CBE即可得到结论；(2)由(1)可证四边形OE8尸是平行四边形，添加AB=CB可证明 ABE三ACBF得 BE=B F,从而可得四边形。8尸是菱形.解：(1),/四边形ABCD是平行四边形，：.AD/HC,AD=CBZ DAF=ZBCE在4人。尸和4 CBE中AD=CB ZDAF=NBCEAF=CE:.ADFHACBE：.BE=DF(2)添加的条件是：A5=C

61、 B,使四边形BED尸是菱形，理由如下：由(1)知AAT)尸三ACBE/.ZBEC=ZAFD：.BE/DF四边形BEDF是平行四边形,:AB=CB:BAE=ZBCF：AF=CE：.AF-EF C E-EF：.AE=CF在4 4龙和4 CBF中AB=CB N BAE=N BCFAE=CF:./ABE 三 ACBF，BE=BF，四边形B E Q F 是菱形故答案为A B =C B.【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，证明全等三角形是解答本题的关键.4 2.(1)见 分 析(2)8 0【分析】(1)根据题意证明A A B E出A O F (A A S)可

62、得A B =4),根据菱形的判定定理即可得证；(2)根据题意求得N D 4 尸 =3 0。，根据含3 0度角的直角三角形的性质，勾股定理选4 5的长，进而根据菱形的面积公式即可求解.解：/AE1 BC,AF L DC,：.Z AEB=Z AF D=9 0：四边形ABCD是平行四边形，:.N B=N D：AE=AF,：./ABEADF(A A S),：.AB=AD四边形A B C。是菱形.(2).四边形A 8 C Q 是菱形，J.AD/BC,N AEB=N EAD=9 0,：ZEA F=6 0,/.N D A F=3 0,在 RlAAFO 中，DF=2,：.AD=4,；A F=2 6，AD=CD

63、=4,二菱形 ABC。面积=A0 xCD=2 6 x4=8百【点拨】本题考查了菱形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键.43.(1)见 分 析(2)见分析【分析】(1)连接AN即可，根据菱形的性质与判定证明即可；(2)连接8),A C,交于点。，过点。作N E,交AZT于点E,连接CE交BMF点。,则线段CQ即为所求.(1)如 图1,AP即为所求AAB用中边上的高；解：.8M 平分 ZABC,/ABM=/CBM.四边形A8CO是平行四边形，AD/BC,：.ZAMB=ZCBM,ZABM=ZAMB.AB AM.,:AB=BN,：.AM=BN,四边形

64、ABNM是平行四边形，,/AB=AM,，nABMW是菱形，：.AN BM,即AP为.ABM中8M边上的高;图1(2)如图2,连接B 2 A C,交于点。，过点。作 N E,交A 于点E,连接CE交8M 于点。，则线段C。即为所求.；四边形4BCD是平行四边形，：.OA=OC,AE/CN,：.Z A E O=Z C N O,：Z A O E=Z C O N,.AOEgCON(A4S),：.OE=ON,四边形A N C E是平行四边形，J.AN/CE,：ANA.BM,：.CEBM,B|J C Q V B M.A E M D图2【点拨】本题考查了无刻度直尺作图，平行线的性质与判定，菱形的性质与判定，

65、掌握以上知识是解题的关键.4 4.菱形，见分析；52【分析】(1)由题意可得例。四N 8 O,从而可证四边形8NDM是平行四边形，再由垂直平分线的性质可得四边形为菱形；(2)由菱形的性质可求得菱形2NDM的边长，从而可求得其周长.解：四边形8 N/)例是菱形，证明如下：,:M N L B D,O B=O D,：.M B=M D,J AD/BC,：.N M D O=N N B O,：Z B O D=Z N O B,:.M DO qAN BO,：.M D=N B,：M D/N B,/.四边形B ND M是平行四边形，四边形BNDM 是菱形.(2),四边形BNQ M 是菱形，O M=-MN=5,0

66、B -B D =2,M B=M D=N D=N B,2 2.在 R d B O M 中，由勾股定理得：MBZOM/OB?=5/5 2 +1 2?=1 3,.四边形3NOM 的周长为：4 x 1 3=5 2.【点拨】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明两个三角形全等是解题的关键.Q4 5.见 分 析(2)-【分析】由三角形中位线定理可得EF=AB,EF/AB,CF=B C,可得A 5 C Q M，E F=C F=C D,由菱形的判定可得结论；(2)根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.解：(1)E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，:.EF=AB,EF/AB,CF=；BC,AE=CE*：AB/CD.AB/CD/EF,：AB=BC=2CD：.EF=CF=CD,KAB/CD/EF,四边形DEFC是平行四边形，且EF=CF四边形CQE尸为菱形；(2)如图，DF与EC交于点G老A B:四 边 形。E尸为菱形，DF=2,：.DG=,DFLCE,EG=GC,：CD=-3/.CG=JCD2-DG-=J(：)2 _ /=1QCE=2CG=?3c