《函数极限与连续》PPT课件

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1、1 文 科 考 研 综 合 2 重 视 基 本 概 念 和 基 本 原 理 ,熟 记 公 式 ,注 重 计 算 近 几 年 注 重 基 础 的 考 查 是 命 题 的 一 大 特 点 ,复 习时 一 定 要 对 基 本 概 念 和 基 本 原 理 要 理 解 准 确 ,考 研 题中 很 多 选 择 题 就 是 从 基 本 概 念 中 产 生 ,一 定 要 掌 握 各概 念 之 间 的 内 在 关 系 ,如 多 元 函 数 微 分 学 中 的 连 续 ,偏 导 ,可 微 ,一 阶 连 续 偏 导 的 概 念 以 及 它 们 之 间 的 关系 等 等 .此 外 大 题 量 、 注 重 计 算 能

2、力 的 考 查 是 当 今 命题 的 另 一 特 点 ,因 此 要 在 理 解 的 基 础 上 熟 记 大 纲 要 求的 基 本 公 式 ,提 高 计 算 能 力 和 计 算 的 速 度 . 3第 一 章 函 数 、 极 限 、 连 续 4 考试内容一 、 函 数2.函 数 的 有 界 性 、 单 调 性 、 周 期 性 和 奇 偶 性 ;3.反 函 数 、 复 合 函 数 、 隐 函 数 和 分 段 函 数 ;5.(应 用 问 题 的 )函 数 关 系 的 建 立 .4.基 本 初 等 函 数 的 性 质 及 其 图 形 ,初 等 函 数 ;1.函 数 的 概 念 及 表 示 法 ; 5 (

3、1) 符 号 函 数 .0,1 ,0,0 ,0,1sgn xxxxy 1 -1 xyo几 个 分 段 函 数 的 例 子 . .,0 ,1)( Qx QxxDy(2) 狄 利 克 莱 函 数 (Dirichlet) o 有 理 数 点无 理 数 点 1 xy 6 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3 xyo,075 ,13 ,11 .45.3 (3)取 整 函 数 xy(4)幂 指 函 数 xx 表 示 不 超 过 的 最 大 整 数 . . sinxxy例 如 : 7 二 、 极 限1.数 列 极 限 与 函 数 极 限 的 定 义 及 其 性 质 ;

4、3.无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 的 概 念 与 关 系 ,无 穷 小 量 的 性 质及 无 穷 小 量 的 比 较 (高 阶 、 低 阶 、 同 阶 、 等 价 的 定 义 );重 要 的 等 价 无 穷 小 :2.函 数 的 左 极 限 与 右 极 限 : ,0时当 x ,11)1ln( 1earctanarcsintansin xxx xxxxx x ,21cos1 2xx,1)1( xx .ln1 axax 84.极 限 的 四 则 运 算 法 则 ;5.极 限 存 在 的 两 个 判 定 准 则 :单 调 有 界 准 则 和 夹 逼 准 则 ;,1sinlim0 x xx .e

5、 xx x)11(lim6.两 个 重 要 极 限 : 等 价 无 穷 小 的 替 换 原 理 : ,)()(,)()( xxxx 则 .)( )(lim)( )(lim xxxx 在 同 一 极 限 过 程 中 ,若 9 其 他 重 要 的 极 限 :.1lim ,1lim ,1lim,00 xx nn nnxn aa 时当三 、 函 数 的 连 续 性1.函 数 连 续 的 概 念 ; ,0)()(limlim 0000 xfxxfy xx形 式 一形 式 二 .)()(lim 00 xfxfxx 10 xy 1sin 2.函 数 间 断 点 的 类 型 ;可 去 型第一类间断点 跳 跃

6、型 无 穷 型 振 荡 型第二类间断点 oy x0 xoy x0 xo y x0 x第 一 ,第 二 类 间 断 点 的 分 类 依 据 :在 这 点 处 的 左 右 极 限 是 否 都 存 在 . 11 初 等 函 数 在 其 定 义 区 间 内 都 是 连 续 的 .4.闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 .最 值 定 理 闭 区 间 上 的 连 续 函 数 一 定 有 最 大 值 和 最 小 值 ;3.初 等 函 数 的 连 续 性 ; 介 质 定 理 闭 区 间 上 的 连 续 函 数 必 能 取 得 介 于 最 大 值 M 与 最 小 值 m 之 间 的 任 何 值 ; 12

7、 考试要求1.理 解 函 数 的 概 念 ,掌 握 函 数 的 表 示 法 ,会 建 立 应 用 问 题 的 函 数 关 系 . 3.理 解 复 合 函 数 及 分 段 函 数 的 概 念 ,了 解 反 函 数 及 隐 函 数 的 概 念 . 6.了 解 极 限 的 性 质 与 极 限 存 在 的 两 个 准 则 ,掌 握 极 限 的 四 则 运 算 法 则 ,掌 握 利 用 两 个 重 要 极 限 求 极 限 的 方 法 . 5.了 解 数 列 极 限 和 函 数 极 限 (包 括 左 极 限 与 右 极 限 )的 概 念 . 4.掌 握 基 本 初 等 函 数 的 性 质 及 其 图 形

8、,了 解 初 等 函 数 的 概 念 . 2.了 解 函 数 的 有 界 性 ,单 调 性 ,周 期 性 和 奇 偶 性 . 7.理 解 无 穷 小 的 概 念 和 基 本 性 质 ,掌 握 无 穷 小 量 的 比 较 方 法 ,了 解 无 穷大 量 的 概 念 及 其 与 无 穷 小 量 的 关 系 . 8.理 解 函 数 连 续 性 的 概 念 (含 左 连 续 与 右 连 续 ),会 判 别 函 数 间 断 点 的类 型 . 9.了 解 连 续 函 数 的 性 质 和 初 等 函 数 的 连 续 性 ,理 解 闭 区 间 上 连 续 函 数的 性 质 (有 界 性 、 最 值 定 理 、

9、 介 值 定 理 ),及 其 简 单 应 用 . 13 (A)偶 函 数 ； (B)无 界 函 数 ； (C)周 期 函 数 ； (D)单 调 函 数故 应 选 (B).典型例题分析一 、 函 数 的 有 关 概 念例 1 14分 析 此 题 是 考 查 分 段 函 数 的 复 合 运 算 .故 应 选 (D). 例 2 15故 应 选 (D). 例 3 解 16故 应 选 (D).解 nn ylim )1(lim nnnn xyx .000 二 、 无 穷 小 及 无 穷 小 的 比 较 17故 应 选 (B). 例 5(A)低 阶 无 穷 小 ； (B)高 阶 无 穷 小 ；(C)等 价

10、无 穷 小 ； (D)同 阶 但 不 等 价 的 无 穷 小分 析 无 穷 小 的 比 较 ,变 上 限 积 分 函 数 求 导 数 ,洛 必 达 法 则解 )( )(lim 0 xg xfx 54 20 sin)cos1sin(lim xx xxx 洛 54 20 )cos1(lim xx xxx 54 220 )21(lim xx xxx .0141lim0 xxx等 价 无 穷 小 替 换 原 理 18 1.连 续 函 数 代 入 法 xxxx 3sin2sinsinlim4例 6 .21例 7三 、 求 极 限 的 方 法 )()(lim 00 xfxfxx 2.变 量 代 换 法 2

11、tan)1(lim1 xxx tx 1令 ttt 2cotlim0 .2tt t 2tanlim0 ttt 2lim0 19 3.无 穷 小 与 有 界 变 量 的 乘 积 仍 为 无 穷 小 例 8例 9 x xx sinlim .0 1arctanlim 3 2 x xxx .0 xxx 1sinlim .1注 此 方 法 可 用 来 求 解 一 类 其 他 方 法 无 法 求 解 的 极 限 . 20 4.共 轭 因 子 法 例 10例 11 )1(lim 2 xxx xxx 11lim 2 .0)sin1(sinlim xxx )21cos()21sin(2lim xxxx x 和 差

12、 化 积 )21cos()1(2 1sin2lim xxxxx .0 无 穷 小 有 界 函 数 21 例 12 20 cossin1lim x xxxx )cossin1( cossin1lim 20 xxxx xxxx 2020 sinlimcos1lim21 x xxx x xx .43 共 轭 因 子 法拆项 5.等 价 无 穷 小 替 换 法 22022210 limlim21 xxxx xx 22 例 13 20 cos11lim 2 x xxx e xx xxx sincoslim 20 e 2020 cos1lim1lim 2 x xx xxx e .23211 21e 2 x

13、x 添 加 辅 助 项注 等 价 无 穷 小 的 替 换 只 对 整 体 的 乘 除 有 效 ,对 加 减 无 效 . 23 型1例 14 xx xx 3sin10 sin1 tan1lim xx xxxx xx x xx 3sin1sin1 sintansintan sin10 sin1 sintan1lim . 21ex xxx 30 sin sintanlim e 30 )cos1(tanlim x xxx e 6.重 要 极 限 法 .)(1lim,0)(lim, )(1 e xuxuxu 则若一 般 地 24 例 15 xx xcoslim0 xx x 10 )(coslim xxx

14、x x 1110 )1(1lim coscoscos . 21e 原 式所 以因 为 ,21)(21lim1lim 200 x xxx xx cos 25 型00 ,1,0 型 型0型00 型 fggfgf 11 fg fggf 11 11 fggf lne7.洛 必 达 法 则 26 20 11 1sinlim xxxx e .1)sin(lim0 xxx e洛 20 1 221 coslim xxxxx e洛例 16 x xxx coslim0 e )111(lim0 xxxx e x x xx 2 21lim0 e洛例 17 2 20 1lim x xxxx e xxx x xx )1(

15、 1)1(lim0 e e.232 2lim0 xx e洛 27 例 18 2475 152lim 223 xx xxx )85)(3( )52)(3(lim3 xx xxx .2311例 19 50 3020 )15( )23(32lim x xxx .5 32 50 3020 8.其 它 方 法 消 去 零 因 子 法分 子 分 母 同 除 以 x 的 最 高 次 28 例 20 nnbb 1)( n nn ba nnb 1)2( .b求 极 限 .)0,0lim ( baban nnn .lim aba n nnn 解 bn 12 29 例 21解 ,122 nnunnn n利 用 夹

16、逼 准 则 ,例 22解 ninnn ninu 1 2)(1 11limlim 10 21 xxd ).21ln( 30 .并 求 此 极 限的 极 限 存 在 重 根 式证 明 数 列, )(222 nnx 例 23证 ,21 nn xx 递 推 公 式 ，222 21 xx,221 x又 ,2nx设 nxnx 21则 .222 . 有 上 界 nx .lim 存 在故 nn x ,21 nxx nn 两 边 令对 ,2 AA 得 )(1,2 舍 去解 得 AA .2lim nn x,1 nn xx设 ; 是 单 调 递 增 的，由 归 纳 法 知 nx nn xx 21则 12 nx ,n

17、x ,lim Axnn 设,22 AA 即 31解 x xxf axxx 12sinlim)(lim 200 e,22)0( aaf xx x axxx 1lim2sinlim 200 e ,22 a所 以 .2a从 而例 24四 、 函 数 的 连 续 与 间 断 32 解 ,0)(lim1 xfx ,1)(lim1 xfx,)(lim0 xfx例 25 33 解例 26 .11 11 10 10)( xx , , , x ,x , , , x xf ,0)01( f ,2)01( f ,)1(0)01()01( fff 1 xy-1 34证 例 27五 、 闭 区 间 上 连 续 函 数

18、的 性 质 及 其 应 用 ，令 )()()()()( xgxfxgxfxh 35所 以 21 xx ,使 0)( 1 xf , 0)( 2 xf , 即 方 程 0)( xf 至 少 有 一 实 根 . 即 )(xf 在 ),( 上 单 调 增 加 , 故 根 惟 一 . 例 28证(1)存 在 性 : ,)cos(lim)(lim xqpxxf xx ,)(lim xfx(2)惟 一 性 : 36 .,1 4lim 231 的 值及试 求设 lalx xaxxx ,0)1(lim1 xx解 ，04)4(lim 231 axaxxx 1 4lim 23 1 x xxxx 原 式 .4 a 1 )4)(1(lim 21 x xxx)4)(1(lim1 xxx .10 例 29六 、 杂 例 37 解 法 1 )1(lim 2 baxxxx ，01 )()1(lim 2 x bxbaxax ,0,01 ba a得 到 .1,1ba例 30 38 )1(lim 2 xxxa x 解 法 2 0)1(lim 2 baxxxx .1)1(lim 2 axxxb x x xxx x 1lim 22 .1本 解 法 具 有 一 般 意 义 . 39 例 31解 40