微分中值定理

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1、微分中值定理的应用一 洛必达法则 求型和型未定式的极限设 (1)当时, 函数和都趋于零;(2)在点的某去心邻域内,和都存在且;(3) 存在(或无穷大),则注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，常与其它求极限方法结合使用，尤其是等价无穷小的替换.例 求解 原式= = =型未定式的求法（转化为型和型）例 求 型解 由于而 所以 原式=注意：洛必达法则的使用条件例 1求解 原式=极限不存在 （洛必达法条件不满足的情况）正确解法为 原式=例 2求解 设，则 因为=例3. 解：设，例4. 解：例5： 设函数在的邻域内具有一阶连续导数，且若在时是比高阶的无穷小，求计算导数二 函数的单调性与曲线的凹凸性

2、 设函数在上连续, 在内可导. (1)如果在内, 那么函数在上单调增加; (2)如果在内, 那么函数在上单调减少. 例 讨论函数的单调性. 解: 显然函数的定义域为, 而函数的导数为 所以函数在处不可导. 又因为时, 所以函数在上单调减少; 因为时, , 所以函数在上单调增加. 利用单调性证明不等式例. 证明: 当时, . 证明: 令, 则 因为当时, 因此在上单调增加, 从而当时, ,又由于, 故, 即, 也就是,(). 曲线的凹凸与拐点定义 设在区间I上连续, 如果对I上任意两点 , 恒有, 那么称在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有, 那么称在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧

3、). 定义 设函数在区间I上连续, 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的.曲线凹凸性的判定 定理 设在上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数, 那么 (1)若在内, 则在上的图形是凹的; (2)若在内 , 则在上的图形是凸的. 拐点: 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点. 确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求出在二阶导数 ; (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 例. 求曲线的

4、拐点. 解: , ，令, 得. 因为当时,; 当时, , 所以点(, )是曲线的拐点. 例4. 求曲线的拐点及凹、凸的区间. 解: (1)函数的定义域为; (2) ,; (3)解方程, 得, ; 0 (4)列表判断: 在区间和上曲线是凹的, 在区间上曲线是凸的. 点 和是曲线的拐点. 一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、十一、十二、十三、十四、 三 函数的极值、最值及其求法 定理1 (必要条件)设函数在点处可导, 且在处取得极值, 那么函数在处的导数为零, 即. 定理2 (第一种充分条件)设函数在点处连续, 在的某去心邻域内可导. (1) 若时，, 而时，, 则函数在处取得极大值; (2)

5、 若时，, 而时，, 则函数在处取得极小值; (3)如果时，不改变符号, 则函数在处没有极值. 确定极值点和极值的步骤: （1）求函数定义域 (2)求出导数; (3)求出的全部驻点和不可导点; (4)列表判断(考察的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定该点是否是极值点, 如果是极值点, 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值); (5)确定出函数的所有极值点和极值. 例 求函数的极值. 解 显然函数在内连续, 除外处处可导, 且 令, 得驻点，为的不可导点; (3)列表判断 -11+不可导-0+0所以极大值为, 极小值为. 如果存在二阶导数且在驻点处的二阶导数不为零则有

6、 定理3 (第二种充分条件) 设函数在点处具有二阶导数且, , 那么 (1)当时, 函数在处取得极大值; (1)当时, 函数在处取得极小值; 说明：如果函数在驻点处的二导数, 那么该点一定是极值点, 并可以按的符来判定是极大值还是极小值. 但如果, 定理3就不能应用. 例如在点没有极值.最大值最小值问题最大值和最小值的求法: 设在内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为, 则比较的大小, 其中最大的便是函数在上的最大值, 最小的便是函数在上的最小值. 求最大值和最小值的步骤(1).求驻点和不可导点;(2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小

7、值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)例 求函数在上的最大值与最小值.解 由于, 所以求得在(-3, 4)内的驻点为，不可导点为 而，, 经比较在处取得最大值20, 在处取得最小值0. 渐近线 铅直渐近线（垂直于轴的渐近线）或，那么就是曲线的一条铅直渐近线。例如曲线有两条铅直渐近线水平渐近线（平行于轴的渐近线）或（为常数），那么就是曲线的一条水平渐近线。例如曲线有两条水平渐近线 斜渐近线如果或（为常数）那么就是曲线的一条斜渐近线。斜渐近线的求法：求出，则就是曲线的斜渐近线例1 求曲线的渐近线解 , 因为, 所以是铅直渐近线又因为, 所以为斜渐近线描绘函数图形的

8、一般步骤: (1)确定函数的定义域, 并求函数的一阶和二阶导数; (2)求出一阶、二阶导数为零的点, 求出一阶、二阶导数不存在的点; (3)列表分析, 确定曲线的单调性和凹凸性; (4)确定曲线的渐近性; (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它特殊点; (6)联结这些点画出函数的图形. 例 做出函数的图形. 解: 函数的定义域为 非奇非偶函数,且无对称性., , 令, 得驻点 再令得特殊点, 又得水平渐近线,而,铅直渐近线列表0+不存在-0+拐点极值点间断点 补充点：，曲率（数三不要求）一、弧微分 . 二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量曲线弯曲

9、程度的直观描述: 用比值, 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.记, 称为弧段的平均曲率. 记, 称K为曲线C在点M处的曲率. 在存在的条件下, . 曲率的计算公式: 设曲线的直角坐标方程是, 且具有二阶导数（这时连续, 从而曲线是光滑的）. 因为, 所以 .又 , 从而得曲率的计算公式 . 若曲线的参数方程为, 则曲率例1. 计算直线上任一点的曲率. 解 显然，所以直线上任一点的曲率, 即直线的曲率处处为零例2. 计算半径为R的圆上任一点的曲率. 解 由于圆的参数方程为, 所以.即圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.三、曲率圆与曲率半径设曲线在点处的曲率

10、为. 在点M 处的曲线的法线上凹的一侧取一点D, 使, 以D 为圆心, 为半径作圆, 这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆, 曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心, 曲率圆的半径 叫做曲线在点M处的曲率半径. 曲线在点M处的曲率与曲线在点M处的曲率半径有如下关系: , .注意：1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数. 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲). 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似). 例题1.函数在上，比较的大小.解：在上满足拉氏中值定理条件，存在，使得

11、.由于，所以单调增加，而，所以，即.2. 函数在上，比较的大小.解：由于，所以单调增加，而，所以在上，同上题讨论有3. 在内,判断在内的符号.4.已知函数在区间内具有二阶导数,且严格递增, ，则：A.在内均有；B.在内均有；C. 在内均有，在内均有；D. 在内均有，在内均有。5 .设处处可导,则A.必；B. 必C. 必；D. 必解：选择D (A,C的反例，B的反例)6.设函数在上有界且可导，则A. 必 ;B. 存在，必；C. 必; D. 存在，必；解：选择A (B,C,D的反例)7. 设函数在的邻域内连续,且，则在处A. 不可导; B.可导,且; C.取极大值; D.取极小值8. 为恒大于0的可导函数,且，则当时A. ；B. ;C. ; D. 不等式的证明1.当时，证明：2.证明：3. 当时，证明：4. 当时，证明：5.，证明：6.设，且证明：7.，证明：8. ，证明： 9.证明：时，10.函数在上可导，且满足1）求；2）证明：当时，10.设在上函数有连续导数，且证明：1）在内有且仅有一个零点；2）设，证明：证明：1）令，则。所以，在内单调增加，时，所以。所以，存在，又，所以在内有且仅有一个零点。11.求证:当时, 不可导 12