工程力学复习要点

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1、工程力学 2013 年 3 月份考前辅导资料1、基本概念（1）构件：机械中零件和结构中构件的统称；（2）变形：构件在外载荷作用下，其形状及尺寸的变化称为变形；（3）弹性变形：构件在外载荷作用下发生变形，当外载荷去掉后消失的变形称为弹性变形；（4）塑性变形：构件在外载荷作用下发生变形，当外载荷去掉后不能消失的变形称为塑性 变形或永久变形；（5）强度：构件在外载荷作用下，抵抗破坏或过大塑性变形的能力；（6）刚度：构件在外载荷作用，下抵抗弹性变形的能力；（7）稳定性：构件在压力作用下，保持原有平衡状态的能力；（8）失稳：构件在一定压力作用下，突然民生不能保持原有平衡形式的现象；（9）变形固体：认为一

2、切固体在载荷作用下都将发生变形（区别刚体）2、变形固体的基本假设（1）连续性假设含义: 认为整个构件体积内毫无空隙地充满着物质。即主为物体是密实的。推论: 构件内的一些力学量即可用坐标的连续函数表示,也可用无限小的数学分析方法。（2）均匀性假设含义: 认为构件内的任何部分其力学性能相同。推论: 在构件内任意取一单元体研究，其力学性质可代表其它部分。（3）各向同性假设含义: 认为在构件内沿各个方向的力学性能相同。推论: 在构件内沿任意方向取单元体研究，其力学性质可代表其它任何方向。（4）小变形假设含义: 认为构件在载荷作用下，其变形与构件的原始尺寸相比非常小，可以忽略不计。 推论: 在研究构件的

3、内部受力和变形等问题时，按构件的原始尺寸和形状计算。3、外力与内力外力：（1）按外力的作用方式a）体积力：连续分布于构件内部各点上的外力；b）表面力：作用于构件表面上的外力；c）分布力：连续作用于构件表面或某一范围的外力；d）集中力：表面力作用面积远小于构件表面积或沿构件轴线的分布范围远小于构件长度， 则可将分布力简化为作用于一点的力，称为集中力。（2）按随时间变化情况a）静载荷：缓慢地由零增加到某一定值后，不再随时间变化，保持不变或变化很不显著 的载荷；b）动载荷：随时间显著变化或使构件各质点产生明显的加速度的载荷。c）交变载荷：随时间作周期性变化的载荷；d）冲击载荷：构件运动在瞬时内发生突

4、然变化所引起的载荷。 内力：（1）内力：构件因外力作用发生变形，其内部各部分之间的相对位置发生变化，从而引起 相邻部分的相互作用力。（2）附加内力：材料力学中的内力是指由于外力作用引起构件内部质点相互作用力的变化量，即附加内力截面法： 定义：为显示内力，假想将构件切开，由脱离体的平衡条件由外力确定内力的方法。 步骤：a）截开在欲求内力截面处，假想用一平面将截面分成两部分，保留任意一部分，弃去另 一部分。b）代替 用作用于截面上的内力代替弃去部分对留下部分的作用。c）平衡 对留下部分建立平衡方程，确定内力值。4、杆件变形的基本形式 材料力学研究对象-杆件 杆件：长度方向尺寸远大于另外两个方向尺寸

5、的构件。横截面：与轴线垂直的截面。轴线：横截面形心的边线。四种基本变形（1）轴向拉伸与轴向压缩作用力特点：大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外力。 变形特点：杆沿轴线伸长或缩短。（2）剪切作用力特点：大小相等、方向相反、相互平行且作用线相距很近的外力。 变形特点：杆沿作用力方向相对错动。（3）扭转作用力特点：大小相等、方向相反、作用面垂直于杆轴线的力偶。 变形特点：杆沿作用力方向相对错动。（4）弯曲作用力特点：垂直于杆轴线的横向力的力偶。变形特点：杆轴线由直线变为曲线。5、横截面上的内力轴力 用截面法求图所示截面m-m上的内力时，由平衡方程得截面上只有一个与轴线重合的内力分 量，故该内力

6、（分量）称为轴力，一般用Fn表示。若取右段部分，则由作用力与反作用力原理 知，右段部分在截开面的轴力与前述左段部分 的轴力数值相等，而指向相反。为了使由左段和右段所得同一截面m-m 上的轴力具有相同的正负号，联系到变形 的情况，对轴力fn的正负号规定为：杆件的 变形为纵向伸长时，轴力Fn为正，称为拉力； 杆件的变形为纵向压缩时，轴力Fn为负，称 为压力。上述方法就是截面法，在应用截面法时要注意两个问题：1）外载荷不能沿作用线移动。因为材料力学中研究的对象是变形体，不是刚体，力的可传 性不成立。2）截面不能切在外力作用点处，要离开或稍微离开作用点。依据圣维南原理：作用在结构某一位置上的不同载荷，

7、如果在静力学意义上是等效的，则在远离该位置处的应力差异甚 微。6、材料在拉（压）时的力学性质 低碳钢拉伸时的力学性质低碳钢在拉伸时的应力一应变图或-8图见下图，其力学性质为:丨kl T L0 d gf h e（1）弹性阶段（ob段）在此阶段，只产生弹性变形。oa 段应力与应变成正比，即 =E8,称为虎克定律。其中E 为与材料有关的比例常数，称为弹性模量。a点所对应的应力值称为比例极限，记为 p； b点所对应的应力e是材料只出现弹性变形 的极限值，称为弹性极限。（2）屈服阶段（be段） 当应力超过弹性极限后继续加载，应变会很快地增加，而应力先是下降，然后作微小的波动， 在 一 8曲线上出现接近水

8、平线的小锯齿形线段。这种应力基本保持不变，而应变显著增加 的现象，称为屈服或流动。这时所对应的应力称为屈服极限或称屈服强度，用 s表示。s 是衡量材料强度的重要指标。（3）强化阶段（ce段） 过了屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力。这种现象 称为材料的强化。强化阶段的最高点e点所对应的应力是材料所能承受的最大应力，称 为强度极限或抗拉强度。它表示材料所能承受的最大应力。 b 是衡量材料强度的重要指标。（ 4）局部变形阶段过e点后，即应力达到强度极限后，在试样的某一局部范围内，横向尺寸突然急剧缩小，形 成颈缩现象。（ 5）塑性指标设试样拉断后的标距长度为J，原始长

9、度为1,则延伸率定义为 _屮“00%l O设试样的原始横截面面积为A,拉断后颈缩处的最小截面面积变为，断面收缩率定义为 屮=A - A1 x100%A（ 6）卸载与再加载性质在强化阶段卸载后第二次加载（dd/）,其比例极限（亦即弹性极限）得到提高，但塑性变形 和延伸率却有所降低。这种现象称为冷作硬化。铸铁拉伸时的力学性质 灰口铸铁拉伸时的应力应变关系是一微弯曲线，没有明显的直线部分。它在较小的拉 应力下就被拉断，没有屈服和颈缩现象，拉断前的应变很小，延伸率也很小。灰口铸铁是典 型的脆性材料。铸铁拉断时的最大应力即为其强度极限。因为没有屈服现象，强度极限久是衡量强度 b 的唯一指标。材料在压缩时

10、的力学性质（1）低碳钢压缩试验表明，低碳钢压缩时的弹性模量E和屈服极限G,都与拉伸时大致相同。所以可从拉S 伸试验测定低碳铁压缩时的主要性能。（2）铸铁压缩 铸铁压缩时试样仍然在较小的变形下突然破坏。破坏断面的法线与轴线大致成4555的倾 角，这表明试样沿斜截面因错动而破坏。铸铁的抗压强度极限与其抗拉强度极限的关 bcb系为bc=（35）吟7、许用应力、安全因数和强度条件失效与许用应力（1）失效 由于各种原因使构件丧失正常工作能力的现象称为失效。通常当塑性材料构件截面上的 应力达到屈服极限G时，由于产生较大塑性变形，影响构件正常使用，认为构件失效；脆S性材料构件截面上的应力达到强度极限时，构件

11、将会断裂破坏。b（2）极限应力将构件失效时的应力称为材料的极限应力，用G表示。u（3）许用应力 构件工作时，其最大工作应力应小于极限应力，为此提出构件最大工作应力的容许值，称为材料的许用应力。并用2表示。许用应力与极限应力的关系为E =亍式中， n 为大于 1 的系数，称为安全因数，安全因数的取值方法为：对塑性材料：切-”脆性材料：nbbn，nb分别为塑性材料和脆性材料的安全因数。 sb=（Fn）A max强度条件 对实际中的构件，其最大工作应力要比许用应力小，即 maxF=N ,max Q 上式称为轴向拉伸或压缩时的强度条件。对于等截面拉压杆，则有 max A根据强度条件，可进行强度校核、截

12、面设计和载荷确定。8、剪力图和弯矩图（1）剪力方程和弯矩方程通常在梁的不同横截面或不同梁段上，剪力与弯矩沿梁轴变化。若沿梁轴取x轴，其坐标x 代表横截面所处的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，即F = F （x） M = M （x）QQ这种关系式分别称为梁的剪力方程与弯矩方程。（2）剪力图和弯矩图1）剪力图、弯矩图坐标方向规定绘剪力图时，将正值的剪力画在x轴的上方，负值剪力画在x轴的下方。绘弯矩图时，将正 值弯矩画在x轴的下方，将负值弯矩画在x轴的上方，即将弯矩画在梁的受拉侧。2）剪力图、弯矩图绘制方法 根据剪力方程、弯矩方程作剪力图和弯矩图时，先求支反力（对悬臂梁可以例外），再

13、根据 梁的载荷与支承情况将梁分段，并分段建立剪力方程、弯矩方程，然后，按剪力方程、弯矩 方程计算各控制截面的剪力和弯矩，绘出剪力图与弯矩图。注意：作梁剪力图和弯矩图时，由于它们将是梁强度设计和刚度设计的重要依据，必须标明 剪力和弯矩的正负号及各控制截面（包括内力的峰值截面）的剪力和弯矩值，以使梁的内力 及变形情况可以从其剪力和弯矩图中反映出来。3）刚架内力图绘制 一般在平面刚架各杆的任一横截面上将同时存在轴力、剪力和弯矩，相应地要绘出这三种内 力图。考虑到刚架各杆的轴线位置情况与直梁相同，作刚架内力图时按下面步骤进行：A、计算轴力、剪力及弯矩时，有关拉压杆与直梁的内力正负号规定及计算公式仍然可

14、用， 但要求观察者必须站在刚架的内侧面对各杆或各横截面。B、作弯矩图时，习惯上将弯矩统一画在各杆的受拉一侧，而不必标注正负号；作轴力图和 剪力图时，习惯上将正值轴力与剪力画在各杆的外侧，并且必须标注正负号。而其余作图步 骤则与直梁的完全相同。9、几种载荷下剪力图与弯矩图的特征一段梁上的外 力情况向下的均布载荷q无载荷集中力FC集中力偶M CJH J剪力图上的特 征向下方倾斜的 直线水平直线，一般 为- 2在C处有突变Ic If在C处无变化弯矩图上的特 征下凸的二次抛 物线y一般为斜直线或/在C处有尖角7丿在C处有突变4最大弯矩所在 截面的可能位 置在Fq = O的截面在剪力突变的 截面在紧靠C

15、点的 某一侧的截面10、梁的挠度与转角序号梁和简图挠曲线方程挠度和转角Fl 3w =-b3EIFl 22 EIJ ) 1f 1 1 J-T3 A一厂iJ - 吕flw =(x 一 3a)6 EI(0 x a)Fa 26 EI(3l - a)Fa 26 EI(a 一 3x)(a x l)Fa 22 EIw =翥(4lx - 6l2 - x2)ql 4w =-b8 EIql 36EIM x 22 EIwB0BM 12e2 EIM leEI(a x l)Ma a、 w = - l (/ -) b EI 2M a0= e -B EIM x2/c、w = - e (0 x a)2 EIMaa 、 w =

16、 - l ( - x)EI 2丿樨7Fx .引 2w =(x 2 -)12 EI 4Fl 3w =-b 3EI0 =-巴B2 EIFbx6lEI(x 2 l 2 + b 2)(0 x a)Fa (l - x)6lEI2lx) = Fb(l2 -b2)93lEI(位于x =：竺土处)30Fb(l2 -b2)a6lEIFa(l 2 - a 2)61EI10qxw = (2lx 2 x 3 13)24 EIw = -MeX (l 2 x 2)6lEIw = 上(l 2 一 3b 2 一 x 2)6lEI(0 x a)5 =Q384EI力10 Pw = Me(l x) (3a2 6lEI2lx + x

17、 2)ql 39 =9A B24 EI93EI(位于x = l/*3处)M L9 = e -A6 EIM L9= ea3EIe M (l 2 3b 2)3/25 =193lEI(位于 x =.12 一 3b2 处)M (l2 一3a2)3/2e=93lEI（位于距B端l2一3a2 处)M (/ 2 3b 2)e6lEIM (l 2 一 3a 2)e6lEIM (12 一 3a 2 一 3b 2)6lEI11、强度理论与应用强度理论概述材料力学的一个基本问题，就是研究构件的强度问题。对于单向应力状态，只需做相应的轴 向拉伸或压缩实验，即可建立强度条件。a = a max n其中G是材料发生破坏时

18、的应力称为极限应力。对于塑性材料，以发生屈服为强度失U效的标志，G取材料的屈服极限G；而对于脆性材料，强度失效现象是突然断裂，G取材 usu 料的强度极限 Gb。、b 在工程实际中，受力构件的危险点往往处于复杂应力状态，虽然可以通过直接实验来建立强度条件，但由于三个主应力之间的比值有无数组，要通过实验对各式各样的应力状态一 一进行试验，实际上并不可行，而且有的实验还很难实现，于是人们不得不从考察材料破坏 的原因着手，在有限试验的基础上，研究复杂应力状态下的强度条件。实践表明，材料在常温、静载下主要发生两种形式的强度失效：一种是塑性屈服，另一 种是脆性断裂。根据这两类破坏现象，人们在长期的生产活

19、动中，综合分析材料的失效现象 和规律，对强度失效提出各种假说或学说。这些假说或学说认为，材料的失效是应力、应变 或应变能等因素引起的。按照这些假说或学说，无论是简单或复杂应力状态，引起失效的因 素是相同的。这类假说或学说称为强度理论。利用强度理论，便可由简单应力状态的实验结 果，建立复杂应力状态的强度条件。至于这些假说是否正确，在什么条件下适用，还必须经 受工程实践和科学实验的检验。四种强度理论由于脆性断裂和塑性屈服这两类破坏形式不同，所以强度理论也相应地分为两类：一是 解释断裂破坏的，其中有最大拉应力理论和最大拉应变理论。另一类是解释屈服失效的，其 中有最大切应力理论和畸变能理论。现依次介绍

20、如下。（1）最大拉应力理论（第一强度理论）这一理论认为，无论材料处于什么应力状态，只要发生脆性断裂其共同原因都是由于单 元体内的最大拉应力巧达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应力即强度极限。根据这一理 1b 论，破坏条件是：1 u（ 1 ）将入除以安全系数得许用应力G，所以强度条件是：5 Q式中：q为构件危险点处的最大拉应力；回为单向拉伸时材料的许用应力。试验表明: 脆性材料在二向或三向拉伸断裂时，最大拉应力理论与试验结果相当接近；而当存在压应力 时，则只要最大压应力不超过最大拉应力值或超过不多。最大拉应力理论与试验结果也大致 相近。（2）最大拉应变理论（第二强度理论） 这一理论认为最大拉应变是引

21、起断裂的主要因素。即认为无论什么应力状态，只要最大 拉应变片达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应变片，材料即发生断裂，则断裂准则为：11u58=8= -b1 1u E（ 2 ）由广义虎克定律，3）8 =5 卩（5 +5 ）1 E 1 2 3得：5 一 卩（5 +5 =5 （4）123 u（ 4）将入除以安全系数得许用应力G，于是按第二强度理论建立的强度条件为：5 卩（5+5 ） 51 2 3 试验表明：脆性材料在双向拉伸压缩应力作用下，且压应力值超过拉应力值时，最大拉应变理论与试验结果大致符合。此外，这一理论还解释了石料或混凝土等脆性材料在压缩时沿着纵向开裂的断裂破坏现象。（3）最大切应力理论（第

22、三强度理论） 这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素。即无论材料处于什么应力状态，只要 最大切应力达到单向拉伸时的最大切应力T材料就将发生屈服。根据这一理论，屈服的条S件为：T =Tmax u5)三向应力状态下的最大切应力为：q -a6)T 二 13max 2而单向拉伸屈服极限时的最大切应力T为：SaT = 厂s 2( 7 )由式(e)、(f)、(g)及得屈服条件:a -a = a13 s上式又称特雷斯卡(Tresca )屈服条件。对应的强度条件为：a - a a 13这一理论较为满意地解释了塑性材料的屈服现象。例如，低碳钢拉伸时，沿与轴线成45的方向出现滑移线就是材料沿t 所在平面发生滑

23、移的痕迹。按该理论的计算结果与试max验结果比较吻合，而且偏于安全。该理论的缺点是未考虑o2对材料屈服的影响。( 4)畸变能理论(第四强度理论)这一理论认为畸变能密度是引起屈服的主要因素。即无论什么应力状态，只要畸变能VV密度d达到了材料单向拉伸屈服时的畸变能密度ds材料就发生屈服，即:8)V Vd = ds1 + u= a 2 根据这一理论，由于材料单向屈服时的应力。，由(8)式及畸变能密度ds3E ss代入(h)式得屈服条件。1(a -a )2 + (a -a )2 + (a -a )2 =a2122331s上式也称米赛斯(Mises )屈服条件，相应的强度条件是：一(a -a )2 +

24、(a -a )2 + (a -a )2 a2122331大量的试验结果表明，畸变能屈服准则比最大切应力准则更好地描述了钢、铜、铝等塑性材 料的屈服状态，但由于最大切应力理论的数学表达式简单，因此二者均在工程中得到广泛应 用。强度理论应用 综合上面的结果，把各种强度理论的强度条件写成统一的形式：GfG式中G称为相当应力，它由三个主应力按一定形式组合而成。则各强度理论的相当应力分r别为： 在大多数应力状态下，脆性材料一般发生脆性断裂，宜采用第一、第二或莫尔强度理论；塑性材料通常以屈服的形式失效，宜采用第三式、第四强度理论。另一方面，即使同一材料， 其破坏形式也会随应力状态的不同而异。塑性材料在三向

25、拉伸应力状态下，会表现为脆性断 裂；而脆性材料在三向压缩下会表现出塑性屈服。因此必须根据失效形式选择相应的强度理 论。Q =Or11Q =O 卩(O =Q )r 2 1 2 3Q =Q Qr 313(8 18)JQ 二Q )2 + (Q Q )2r42122331Q + Q =Q JrM 1 3对处于临界状态的压杆，其横截面上的平均应力为：F 冗 2 EIQ = -cr A（ M ）2 AG称为压杆的临界应力。将式中的惯性矩I表示为crI i 2A忆1I几何量i称为截面的惯性半径，量纲为长度。引入九=也i则得细长压杆的临界应力为式中入称为柔度或长细比，它集中地反应了压杆的长度（1）、约束条件（

26、卩）、截面尺寸 和形状（i）对临界应力G的影响。使用该式时，I为截面的最小形心主轴惯性矩，A为截 cr面面积。细长压杆的临界应力，与柔度的平方成反比，柔度愈大，临界应力愈低。在推导欧拉公式时，要求材料服从虎克定律，即要求临界应力不能超过材料的比例极限,即要求兀2 EQ =C=兀p、I E 九，兀 一bPcr九 2p即只当 gp时，欧拉公式才能成立。14、静矩与形心（1）静矩的单位是长度的三次方；（2）静矩是截面对于一定的轴而言，同一截面对于不同的坐标轴，其静矩不同。静矩可以 是正值，也可以是负值或等于零。（3）若坐标轴的静矩为零，则坐标轴一定通过平面图形的形心。反之，任何平面图形对于 形心轴的

27、静矩一定等于零。15、极惯性矩、惯性积、惯性矩平面图形对z轴的惯性矩：I =f y2dAzA平面图形对z轴的惯性矩：I =f z2dAyA平面图形对坐标原点的极惯性矩：I =J P 2dApA平面图形对z, y轴的惯性积：I = f zydAzy A（1）极惯性矩I是对某一坐标原点而言，惯性矩I，I是对某一坐标轴而言，而惯性积Ipz yyz是对过一点的一对相互垂直的坐标轴而言。（2）I，I，I的单位均为长度的四次方，它们的值总是正值。zyp（3）惯性积I的量纲也是长度的四次方，但其值有正负，也可能为零，主要由图形在坐标yz系中的位置来确定。16、形心主惯性轴、形心主惯性矩 对于任何形状的截面，

28、总可以找到一对特殊的直角坐标轴，使截面对于这一对坐标轴的 惯性积等于零。惯性积等于零的一对坐标轴就称为该截面的主惯性轴，而截面对于主惯性轴 的惯性矩称为主惯性矩。当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，它们就被称为该截面的形心主惯性轴，简 称形心主轴。而截面对于形心主轴的的惯性矩就称为形心主惯性矩。（1）如果平面图形有一根对称轴，则此轴必定是形心主惯性轴，而另一根形心主轴通 过形心，并与此轴垂直。（2）如果平面图形有两根对称轴，则此两轴都为形心主惯性轴。（3）如果平面图形有三根或更多的对称轴，那么过该图形形心的任何轴都是形心主惯 性轴，而且该平面图形对于其任一形心主惯性轴的惯性矩都相等。形心主

29、惯性矩的计算：矩形截面：bh312，圆形截面：I 6417、强度理论1.计算公式.强度理论可以写成如下统一形式：oor其中：G：相当应力，由三个主应力根据各强度理论按一定形式组合而成。rr=cOg：许用应力，n ， G0：单向拉伸时的极限应力，n：安全系数。1) 最大拉应力理论(第一强度理论)r2=Q1+)3，一般：口=2nt=Gbgr1=g1，一般：n2) 最大伸长线应变理论(第二强度理论)3) 最大剪应力理论(第三强度理论)=G +Gr31 3 ，G=G一般： n4) 形状改变比能理论(第四强度理论)r42_G1 2_o23_G)315) 莫尔强度理论n，：材料抗拉极限应力ky(5M=g _ r +g1la3_，强度理论的选用：1) 一般，脆性材料应采用第一和第二强度理论； 塑性材料应采用第三和第四强度理论。2) 对于抗拉和抗压强度不同的材料，可采用最大拉应力理论3) 三向拉应力接近相等时，宜采用最大拉应力理论； 三向压应力接近相等时，宜应用第三或第四强度理论。18、超静定问题：拉压压杆的超静定问简单超静定梁问题 力力总结：分析步骤 关键点：变形协调条件求解简单超静定梁主要有三个步骤：1) 解得超静定梁的多余约束而以其反力代替；2) 求解原多余约束处由已知荷载及“多余”约束反力产生的变形 由原多余支座处找出变形协调条件，重立补充方程。