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1、5-3-4.分解质因数教学目标1. 能够利用短除法分解2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为的结构，而且表达形式唯一”知识点拨一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：.其中2、3、5叫做30的质因数.又如，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮
2、助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法例如：，（是短除法的符号） 所以；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：其中为质数，为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：210=2357，可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解；.例题精讲模块一、分数的拆分【例 1】 算式“1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希望杯” 。【考点】分数的拆分 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第19题，6分【解析】 三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下
3、的两个数必有一个大于四分之一，即是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11【答案】【例 2】 个质数的倒数之和是，则这个质数之和为多少【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这个质数从小到大为、，它们的倒数分别为、，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为，求和得到的分数为,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为、或它们之间的积.现在和为，分母，所以一定是，检验满足.所以这个质数的和为【答案】【例 3】 一个分数，分母是，分子是一个质数现在有下面两种方法： 分子和分母各加一个相同的一位数； 分子和分母各减一个相同的一位数用其中一种方法组成一个新分数
4、，新分数约分后是那么原来分数的分子是多少 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为新分数约分后分母是，而原分母为，由于，所以分母是加上或者减去若是前者则原来分数分子为，但，不是质数；若是后者则原来分数分子是，而是质数所以原来分数分子为【答案】【例 4】 将1到9这9个数字在算式的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数? 【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【解析】 本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有，即有，那么很容易发现只有35-27=1。符合原式的填法为。【答案】【例 5】
5、 求满足条件的a、b的值(a、b都是四位数) 【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】解答【解析】 取1001的两个不同约数x、，得到：，因为x、y都是1001的约数，所以、都是整数所以只需令，就可以了而a、b都要大于1001，要保证a、b都是四位数，所以a、b的比值都要小于10，即x、y的比值小于10而1001的两个互质且比值小于10的约数有以下几组：、所以我们依次取x、y为上面所列的数对中的数，代入a、b的表达式，得到本题的答案：【答案】【巩固】 若，其中a、b都是四位数，且ab，那么满足上述条件的所有数对（a,b）是 【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 2004的
6、约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有：【答案】【例 6】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立（1）；（2）【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【解析】 单位分数的拆分，主要方法是从分母的约数中任意找出两个数和，有： ，从分母的约数中任意找出两个和 ()，有： 本题的约数有：，10，2，5例如：选1和2，有：；从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的和，它们的数值虽然不同，但是如果和的比值相同，那么最后得到的和也是相同的本题中，从10的约数中任取两个数， 共有种，但是其中比值不同的只有5组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，
7、10)；(2，5)，所以本题共可拆分成5组具体的解如下： 10的约数有1、2、5、10，我们可选2和5： 另外的解让学生去尝试练习【答案】（1） （2）【例 7】 如果，均为正整数，则最大是多少？【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【关键词】101中学，分班考试【解析】 从前面的例题我们知道，要将按照如下规则写成的形式：，其中和都是的约数。 如果要让尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的尽可能地小而尽可能地大，因此应当 取最大的约数，而应取最小的约数，因此，所以.【答案】【巩固】【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【解析】【答案】【例 8】 在下面的括号里填上不同的自然数，
8、使等式成立【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【解析】 先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式和连加式则：如果选10、5、2，那么有：另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了比如，要得到，根据前面的拆分随意选取一组，比如，再选择其中的一个分数进行拆分，比如，所以【答案】【例 9】 已知等式其中a，b是非零自然数，求a+b的最大值。【考点】分数的拆分 【难度】5星 【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第13题【解析】 易知，令（m，n）为互质的
9、一对数，现在要让分母为1，只需m，n是15的一对互质的约数即可。当(m，n)=（1，1）时，此时，a+b=60；当(m，n)=（1，3）时，此时，a+b=80；当(m，n)=（1，5）时，此时，a+b=108；当(m，n)=（1，15）时，此时，a+b=256；当(m，n)=（3，5）时，此时，a+b=64；所以，a+b的最大值为256。【答案】模块四、分解质因数的综合应用【例 10】 ，都是整数，大于，且,那么的最大值为 ，最小值为 。【考点】 【难度】 【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】最大值为最小值为【答案】最大为，最小为【例 11】 写出所有数字和为11，数字乘积为20
10、的四位偶数：_【考点】 【难度】 【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】 本题属于数字拆分，目的就是讲11拆成四个数字和，20拆成4个数字的乘积，需要确定的是个位数字为偶数。根据拆分的特点应该从20开始拆分。先将20分解质因数为：，所以各个数位数字乘积为20的数字有：2、2、5、1；4、5、1、1；数字和分别为10和11，符合条件的是4、5、1、1这四个数字组成的四位偶数，所以答案为1154、1514、5114这3个答案。【答案】1154、1514、5114【例 12】 在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872那么原来的乘积是多少?
11、【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 1872=22223313=口口口口，其中某个口为8，一一验证只有：1872=4839，1872=7824满足当为1872=4839时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是4539=1755当为1872=7824时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是7524=1800所以原来的积为1755或1800【答案】1755或1800【例 13】 两个学生抄写同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，于是得到两个不同的算式，但巧合的是，他们计算的结果都是936.如果
12、正确的乘积不能被6整除，那么它等于多少？ 【考点】分解质因数的综合应用 【难度】4星 【题型】解答【解析】 注意936中有质因数13，故易见将其分解成两个两位数相乘的形式有，这5种可能，由于两人各抄错了一个数字，因此两人的算式中应有两个位置上的数字相同.经枚举可知，他们所抄错的算式可能是(，)，(，)，(，)或(，).对于第一种情况，两人抄错的是第一个乘数的个位数字和第二个乘数的十位数字，正确的算式应是或，后者乘积是6的倍数，与题意不符，故原算式应为前者，正确的乘法算式是.对后三种情况作类似分析，可得出种可能的原乘法算式，但它们的结果都是6的倍数，不合题意.因此676即为所求.【答案】676【
13、例 14】 在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环求甲、乙的总环数各是多少？ 【考点】分解质因数的综合应用 【难度】4星 【题型】解答【解析】 应对应为5个小于10的自然数乘积通常我们会考虑将1764的6个质因数组合为5个因数，从而这5个因数一定都是大于1的，于是得到了如下几种分解情况1764=43377 =26377=22977但是发现其中任何两组的和的差均不是4.原因是我们忽略了在题目叙述实际环境中还会有1环存在，从而要考虑含有因数1的另外2种情况1784=166
14、77=14977所以总的情况对应的和依次为4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28对应的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7，乙的5箭环数为1、4、9、7、7所以甲的总环数为24，乙的总环数为28。【答案】甲的总环数为24，乙的总环数为28【例 15】 某校师生为贫困地区捐款1995元这个学校共有35名教师，14个教学班各班学生人数相同且多于30人不超过45人如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元? 【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 这
15、个学校最少有35+1430=455名师生，最多有35+1445=665名师生，并且师生总人数能整除19951995=35133，在455665之间的约数只有5133=665，所以师生总数为665人，则平均每人捐款1995665=3元【答案】3【例 16】 张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过10所以通过枚举法来解(注意人数是减去1后是3的倍数)：
16、，不是3的倍数；，不是3的倍数；，不是3的倍数；，不是3的倍数；，是3的倍数；，不是3的倍数；共有51个学生，每个人种了6棵树.【答案】共有51个学生，每个人种了6棵树【巩固】 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了1073棵，那么平均每人种了棵树？【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积，所以首先想到的是把1073数相乘，一个数为人数一个数为每人种的棵数，注意到人数是减去1是3倍数，所以人数是37均每人种了29棵。【答案】29【例 17】 幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正
17、好均分。但今天刚好又新人园一位小朋友，这样每个小朋友就要少分2个苹果。原来有 个小朋友。【考点】分解质因数的综合应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第8题，10分【解析】上式中只有1430=(14+1)(30-2)=1528符合题意，所以原有14个小朋友。【答案】【例 18】 2006个弹珠，平均分给若干个人，正好分完若有1人退出，不参加分球，并且弹珠增加10个，则每人可以多分8个原来有 人 【考点】分解质因数的综合应用 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第4题，8分【解析】 对2006进行分解质因式，得到2006=21759；对2016进行分解质因式得到， 2016=，发现只有16到17相差1人。经验证符合条件，所以原来有17人。【答案】人【例 19】 已知，、这个质数互不相同，并且符合下面的算式：，那么，这个数当中最大的数至多是 。【考点】分解质因数的综合应用 【难度】5星 【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第4题【解析】 ，所以、中只有一个偶数。如果、中没有，那么、均为偶数，矛盾，所以、中有一个为，不妨设，那么只能为或。如果，那么，而，由于、均大于，只有分解成才有可能，但此时，得为合数，与题意不符；如果，那么，可能为和。若为前者，将为合数，所以只能是后者，得，那么，、至少为，所以最大为。【答案】
小学奥数--分解质因数(二)-精选练习例题-含答案解析(附知识点拨及考点)
