运用公式法因式分解

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1、因式分解(公式法)一、学习指导1、代数中常用的乘法公式有：平方差公式：(a+b)(ab)=a2b2 完全平方公式：(a土b)2 = a22ab+b22、因式分解的公式：将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：平方差公式：a2b2=(a+b)(ab) 完全平方公式：a22ab+b2=(a土b)23、应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方 面掌握它们的特征。明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式。同时对相似的公式要避免发 生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只

2、有符合其 公式特点的多项式才能用公式法来分解。二、例题分析：例 1：分解因式：(1)4a2 9b2(2)25a2y4+16bi6解：(1) 4a2 9b2=(2a)2(3b)2=(2a+3b)(2a3b)解：(2)25a2y4+16bi6 =16b1625a2y4 =(4b8)2(5ay2)2 =(4b8+5ay2)(4b85ay2) 注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b8)2(5ay2)2例2:分解因式： (1) 36b4x89c6y10(2)(x+2y)2(x2y)2(3)81x8y8(4)(3a+2b)2(2a+3b)2分析：(1)题二项式有公因式9应该先提取公因式，再对剩余因式

3、进行分解，符合平方差公式。(2)题的 两项式符合平方差公式，x+2y和x 2y分别为公式中的a和b。(3)题也是两项式，9x4和y4是公式中的 a和b。(4)题也是两项式，3a+2b和2a+3b是平方差公式中的a和b。解：(1) 36b4x89c6yio=9(4b4x8c6y10)=9(2b2x4)2(c3y5)2=9(2b2x4+c3y5)(2b2x4c3y5) 注：解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。(2) (x+2y)2(x2y)2=(x+2y)+(x2y)(x+2y)(x2y)=(x+2y+x2y)(x+2yx+2y)=(2x)(4y)=8xy注：此例可以用乘法公式展开，再经过合

4、并同类项得到8xy，由本例的分解过程可知，因式分解在 某些情况下可以简化乘法与加减法的混合运算。(3) 81 x8 y8=(9x4)2(y4)2=(9x4+y4)(9x4y4)=(9x4+y4)(3x2)2(y2)2=(9x4+y4)(3x2+y2)(3x2y2) =(9x4+y4)(3x2+y2)(3x2y2) 注：第一次应用平方差公式后的第二个因式9x4 y4还可以再用平方差公式分解3x2 y2在有理数范围 内不能分解了，因为3不能化成有理数平方的形式。(4) (3a+2b)2(2a+3b)2 =(3a+2b)+(2a+3b)(3a+2b)(2a+3b) =(3a+2b+2a+3b)(3a

5、+2b2a3b)=(5a+5b)(ab)= 5(a+b)(ab)注：(5a+5b)这个因式里还有5可以再提取，应该再提取出来。例3、分解因式： (2mn)2121(m+n)24(m+n)2+25(m2n)2分析：(1)题的第二项应写成11(m+n)2就可以用平方差公式分解，2mn和ll(m+n)为公式中的a和b, (2)题中将这二项先利用加法交换律后再将每一项写成平方形式就找到公式中的a和b分别为5(m2n) 和2(m+n),再应用平方差公式分解。解：(1) (2mn”一121(m+n)2 =(2mn)211(m+n)2 =(2mn)+11(m+n)(2mn)11(m+n) =(2mn+11m

6、+11n)(2mn11m11n) =(13m+10n)(9m12n)=3(13m+10n)(3m+4n)注：(一9m12n)这项应提取公因式一3 (2)4(m+n)2+25(m2n)2=25(m2n)24(m+n)2 =5(m2n)22(m+n)2=5(m2n)+2(m+n)5(m2n)2(m+n) =(5m10n+2m+2n)(5m10n2m2n)=(7m8n)(3m12n) =3(7m8n)(m4n)注：利用平方差分解后的两个因式要进行整式的四则运算，并要注意运算时去括号法则的应用。例如 2(m+n) =2m2nM2m+2n例4.分解因式: (1) a5bab (2)a4(m+n)b4(m

7、+n)(3) am+i + am_i16注意要分解到不能分解为止。分析：这三道题都有公因式，应先提取公因式再应用平方差公式 解：(1) a5b ab=ab(a41) =ab(a2+1)(a21) =ab(a2+1)(a+1)(a1) 注：a2+1在有理数范围不能分解，a21可以分解。(2)a4(m+n)b4(m+n) =(m+n)(a4b4) =(m+n)(a2+b2)(a2b2)=(m+n)(a2+b2)(a+b)(ab)3)116am+1 + am 一1116am1 (a216)116am1(a+4)(a4)注：提取分数公因式一丄便于后面用公式法分解。16例 5、计算 1.22222X9

8、1.33332X4 分析:这是数字的计算问题，若按运算顺序一步步做很繁，我们认真观察，寻求简便算法，发现题中的两 项，每一项都可以写成一个数的完全平方，再可以用平方差公式进行因式分解，这样可以使计算简化。解：1.22222X9 1.33332X4=(1.2222X3)2(1.3333X2)2 =(1.2222X3+1.3333X2)(1.2222X31.3333X2)=(3.6666+2.6666)(3.66662.6666)=6.3332X1=6.3332 例6、若(2481)可以被60和70之间的两个数整除，求这两个数。 分析：首先应分析2481的特殊形式为平方差，由题意2481能被两个数

9、整除说明2481能分解成哪两个 数与其它因式的积，并将2481进行因式分解。并注意这两个整数的取值范围是大于60且小于70。 解：2481=(224)212=(224+1)(224 1)=(224+1)(212+ 1)(212 1)=(224+1)(212+1)(26+1)(261)26+ 1 =65为整数，26 1 =63为整数，224+ 1和212+ 1都为整数-T =(224+1)(212+1)(26 1)为整数。65-= (224+1)(212+1)(26+1)也为整数。632481被60和70之间的两个数整除，这两个数为65和63。 说明：此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是248

10、1是因式分解的平方差公式的基本形式。将其进行 等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现26+1的因式，26+1=65，及出现261=63。因为23+1=9， 231=8，这两个数已经不符合本题的要求了。例 9、分解因式：(1) x2+6ax+9a2(2)x24y2+4xy(3) 9(ab)2+6(ab)+1分析：这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式。(1)题的X2=(x)2, 9a2=(3a)2,且这两项的符号相同，可写成平方和。这样x和3a就为公式中的a和b 了。另外6ax正好是2 (x) (3a)即公式中的2ab项，这样这题就可用和的完全平方公式分解

11、。 解：(1) x2+6ax+9a2=(x)2+2(x)(3a)+(3a)2=(x+3a)2注：再写第一步的三个项的和时实际上先写x2和(3a)2项，再写固定的“2”常数再将公式中的a、b数即x和3a写进二个括号内；计算出来为6ax，即原题中的中间项。分析：(2)题中的一x24y2，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和，即一x24y2= x2+(2y)2，4xy正好是2 (x) (2y)是公式中的2ab项，此题可用完全平方公式。注意提取负号时4xy要变号为 4xy。解：(2)x24y2+4xy=(x24xy+4y2)=x22(x)(2y)+(2y)2=(x2y)2分析：(3)题9 (ab)

12、2+1可写成平方和3 (ab) 2+12，就找到公式中的a和b项为3 (ab) 和1, 6 (ab)正好是2X3(ab)X 1为公式中的2ab项，符合完全平方公式。解：(3) 9 (ab) 2+6 (ab) +1=3(ab)2+2X3(ab)X1+12=3(ab)+12=(3a3b+1)2例 10、分解因式:(1) a4X2 4a2X2y+4x2y2(2)(x+y)212(x+y)z+36z2(3)(x2+4x)2+8(x2+4x)+161(4) 2(x2 2y2)2 2 (x2 2y2)y2+2y4分析：(1)题有公因式X2应先提取出来，剩余因式(a44a2y+4y2)正好是(a2 2y)2

13、解：(1) a4X24a2X2y+4x2y2=x2(a44a2y+4y2)=x2(a2)22(a2)(2y)+(2y)2=x2(a22y)2分析：(2)中可将(x+y)看作一个整体，那么这个多项式就相当于(x+y)的二次三项式，并且降幕 排列，公式中的a和b分别为(x+y)和(6z),中间项一2ab为一2 (x+y) (6z)，正好适合完全平方公式。解：(x+y) 212 (x+y) z+36z2=(x+y)22(x+y)(6z)+(6z)2= (x+y6z) 2 注：此题中的多项式，切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察、分析，根据多项式本身的形 式特点，善于将多项式中的某一项(或一部分

14、)作为整体与因式分解公式中的字母对应起来。如此题中将(x+y)代换完全平方公式中的a, 6z换公式中的b。分析：(3)的题型与(2)题相同，只不过公式中的a和b为x2+4x和4,分解为(x2+4x+4)2后再将 x2+4x+4再用一次完全平方公式分解，分解到不能分解为止。解：(x2+4x) 2+8 (x2+4x) +16= (x2+4x) 2+2 (x2+4x)X4+42=(x2+4x+4) 2=(x+2)22=(x+2)4分析：(4)题把x2 2y2和y2看作为一个整体，那么这个多项式就是关于x2 2y2和y2的二次三项式， 但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，

15、但注意把首项系数1提出后，2 括号里边实际上就是一个完全平方公式。注意分解到不能分解为止。解：丄(x2 2y2)2 2 (x2 2y2)y2+2y42=丄(x2 2y2)2 4 (x2 2y2)y2+4y42=丄(x2 2y2)2 2 (x2 2y2)(2y2)+ (2y2)22=2 (x22y2 2y2)2=2 (x24y2)2=丄(x+2y) (x 2y) 22=2 (x+2y) 2 (x 2y) 2例 11、分解因式：(1) 9 (ab) 2+12 (a2b2) +4 (a+b) 2(2) 3a46a2+3 (3) an+i+ani 2an(4) (m2+n2+1) 24皿2少分析：(1

16、)题中的9 (ab) 2= 3 (ab)2,4 (a+b) 2= 2 (a+b)上而中间项12 (a2b2)=12 (a+b) (ab)=2X3(ab)X2(a+b)正好是公式中的2ab项。 解：(1) 9 (ab) 2+12 (a2b2)+4 (a+b) 2=3(ab)2+12(a+b)(ab)+2(a+b)2 =3(ab)2+2X3(ab)X2(a+b)+2(a+b)2=3(ab)+2(a+b)2 =(3a3b+2a+2b)2=(5ab)2分析：(2)此题的三项式可看作a2的二次三项式，且应先提取公因式3,再用公式进行分解。 解：(2) 3a4 6a2+3=3(a42a2+1) =3(a2

17、1)2 =3(a+1)(a1)2=3(a+1)2(a1)2注：应用完全平方公式后注意再将因式a2 1再用平方差公式分解。注意用积的乘方法则。 分析：(3)题有公因式an-：，先提取公因式再用公式。注意先按降幕排列好顺序。解：(3) an+i+anT 2an=an+12an+an1 =an1(a22a+1)=an1(a1)2分析：(4)题是一个二项式，符合平方差公式。用平方差公式分解后的两个多项式的因式都可再用平方差公式。解：(4) (m2+n2l) 24m2n2= (m2+n2l+2mn) (m2+n2l 2mn)= (m2+2mn+n2)l (m22mn+n2)1 =(m+n)212(mn)

18、212=(m+n+1)(m+n1)(mn+1)(mn1)例 12：分解因式：(m2l) (n21) +4mn.分析：将(m2 1) (n2 1)展开得 m2n2m2n2+1=(m2n2+1) (n2+m2)可将 皿2少+1 与 m+m2均配成 完全平方则可用平方差公式分解。解：(m21) (n2 1) +4mn=(m2n2m2n2+1)+4mn=(m2n2+1)(n2+m2)+4mn=(m2n2+2mn+1)(m22mn+n2)=(mn+1)2(mn)2=(mn+1+mn)(mn+1m+n)在线测试A组、选择题。1、下列各式从左到右的变形错误的是( )。(A)(yx)2=(xy)2(B)ab=

19、(a+b)(C)(ab)3=(ba)3(D)m+n=(m+n)2、下列各式是完全平方式的是( )。(A) x2+2xy+4y2 (B) 25a2+10ab+b2 (C) p2+pq+q2 (D) m22mn+ n243、(x+y) 2+6(x+y)+9的分解结果为(A)、(x+y3) 2(B)、(x+y+3) 2(C)、(xy+3) 2(D)、(xy3)24、一1+0.09x2分解因式的结果是()(A)(1+0.3x)2(B)(0.3x+1)(0.3x1)(C)不能进行(D) (0.09x+1)(0.09x1).5、49a2112ab2+64b4 因式分解为()(A) (7a8b) 2(B)

20、(7a8b2)(7a+8b2)C)(7a8b2) 2D)(7a+8b2)2B.因式分解1.2.3.45.6.7.8、10、1112、 13、答案：1、D2、B3、B. 4、B5、C8.2 运用公式法考题例析1、（2000 贵阳市） 因式分解：x24y2 =.考点：公式法因式分解评析：要正确使用公式，注意先将多项式转化为公式并分解，即x24y2 = x2（2y）2=（x+2y）（x2y）。2. （1999 福建）x4xy3=.考点：提公因式法和运用公式法分解因式 评析思路：先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，然后尝试选择因式分解的方法，此题根据题目 的特点，首先要采用提公因式法，然后利用公

21、式法进行最后分解。3、（2000 长沙市）分解因式：ma2+2ma+m=.考点：提公因式，公式法分解因式。评析：对于三项式的因式分解，首先观察有无公因式，提出公因式后，再观察是否符合完全平方公式 或十字相乘法，直至不能再分解为止。4、（2000 年 河北省）分解因式：2x3y + 8x2y2 + 8xy3 =。考点：提公因式、公式法因式分解评析思路：先提出公因式2xy,剩下的是符合完全平方公式的二次三项式，然后利用完全平方公式可 分解彻底。5、（2001 北京市东城区）分解因式：2a3b+8a2b2+8ab3=；考点：公式法分解因式评析思路：因多项式是三项多项式，所以若有公因式先提公因式，剩余

22、的三项可用完全平方公式或十字相 乘法分解，此题用完全平方公式法分解。6.（1998 辽宁）方程 2x（x 3）=5（x 3）的根为（）x= 5B x=3；C x =3, x =-；D x= 51 2 22考点：因式分解，解方程评析：此题是一道解一元二次方程的问题，在解方程的过程中，如果用因式分解来解的话，会很容易求出解的。具体步骤如下：解：因为 2x(x 3) =5(x 3)所以 2x(x 3)5(x 3)=0即(x 3)(2x5) =0解得：x =3, x = 51 2 2真题实战1、（2000 苏州市）分解因式：ma24ma+4m=。2、（2000扬州市）分解因式：X5 - X3 =。3、

23、（2000石家庄市）等式a2 + b2 = （a + b）2成立的条件 4、(2000 山西省)下列各式中，正确的是( )11A. a2+2ab+4b2=(a+2b”B. (0.1)-i+(0.1)o =-10Ca + bD. a3+b3= (a+b)(a2+ab+b2)cc5、（2001 昆明）x2x+= （x一丄）2。26、（1999 石家庄）分解因式：a2+4b24ab c27、（1998河北省）选择题：分解因式X4 1的结果为（）A、（x21）（x2+1）B、（x+1）2（x1）2C、（x 1）（x+1）（x2+1） D、（x 1）（x+1）38、（1998 石家庄）分解因式：x2+2x+1 y49、（1998 四川省）分解因式：x3 6x2+9x10、（1998 广西）分解因式： a2a2+a311、（1998 黄山市）分解因式：a2b2 2b 112、（1999安徽）分解因式：x24=.13、（1999福州）分解因式：x24y2 =