北理工数值计算方法试题及答案

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1、数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17 分）1、如果用二分法求方程x3 + x- 4二0在区间1,2内的根精确到三位小 数，需对分（ ）次。2、迭代格式xk+ = xk +a（x2 - 2）局部收敛的充分条件是取值在 （ ）。X 30 X 1S (x) = 13、 已知I尹-1)3 + a(X -1)2 + b(X -1) + c ）时，必有分解式A = LLT， X 2时）。(x4 + x2 + 3)1 (x) =k kkk=05、设 f (x) = 6x7 + 2x4 + 3x2 +1 和节点 x = k /2,k = 0,1,2,则 f x , x ,x = k0 1 n和 f0

2、 =。6、 5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。7、b k（x）*0是区间0,1上权函数P （x） = x的最高项系数为1的正交多项kk =0式族，其中 9 0（ x） = 1，则4（x）dx =。（x - ax = bJ 1218、给定方程组-件+ x2= b2，a为实数，当a满足，且0 2时，SOR迭代法收敛。y = f (x, y)J的 改 进 欧 拉 法9 、 解初值问题y(x0)= y0 y0 = y + hf (x , y )n +1nn nJhy = y + - f (x , y ) + f (x , y )曰n+1n 2n nn+1n+

3、1 是阶方法。10、设La a10a其中l为下三角阵，当其对角线元素J/ -123)满足()条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题(每题2 分)1、解方程组Ax = b的简单迭代格式x(k+1)二Bx(k)+ g收敛的充要条件是 ( )。(1)P(A) 1,(2) P(B) 1,(4) P(B) 12、在牛顿-柯特斯求积公式丿V E(b -范V f (X) 中,当系数C( n)=0是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当( ) 时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1) n 8，(2) n 7，(3) n 10，(4) n 6，3、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.

4、75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是()1)二次； ( 2)三次； ( 3)四次； ( 4)五次hh4、若用二阶中点公式yn+1 = yn + hf (Xn + + 4求解初值问题y = -2y,y(0) = 1，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为 ( )。(1)0 h 2,(2)0 h 2,(3)0 h 2,(4)0 h 8时，Newtoncotes型求积公式会产生数值不稳定性。Jbf (x)dx q 工 A.f (x.)3、形如ai=1 11的高斯(Gauss)型求积公式具有最高代数精确度的次数为2n +1。()A=4、矩阵2a03A=5、设1 0、1 11 2

5、0、0a丿的 2范数IIA2 =9。(,则对任意实数a主0 ,方程组Ax = b都是病态的。6、7、(用 卜I) 设 A e Rnxn， ( 区间L,b上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的，且唯一。Q e Rnxn)，且有qtq = i (单位阵)，则有间2 = lQAll2 o()对矩阵 A 作如下的 Doolittle 分解：厂2:4 厂2(、填空题1、设 f (x) = 9x8 + 3x4 + 21x2 + 10，贝y 均差f 20,21,28 =，f 30,31,39 =。2、 设函数f (x)于区间b上有足够阶连续导数，P e，方为f (x)的xk ,. = xk -加 /(%k

6、)一个m重零点，Newton迭代公式/血)的收敛阶至少是 阶。3、区间la,b上的三次样条插值函数S(x)在la,b上具有直到 阶的连续导数。行 -2 0）的迭代公式为:x = （x + ） x 0 k = 0,1,2 k +12 k x 0证明：对一切k = h2，,xk a，且序列匕是单调递减的， 从而迭代过程收敛。f 33六、（9分）数值求积公式f 0f （x）dx ” 2f+ f （2）是否为插值型求积公 式？为什么？其代数精度是多少？七、（9分）设线性代数方程组AX = b中系数矩阵a非奇异，x为精确解，b丰0，若向量x是AX = b的一个近似解，残向量r = b- AX，n_n c

7、ond （A）牯帀证明估计式：llX外（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。八、（10分）设函数f （x）在区间丘3上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式H（x），并导出 其余项。i0x.0f (xi)-1八xi)3121213九、(9分)设b “(x)是区间a,b上关于权函数w(x)的直交多项式序 列，x (i 二 1,2,n,n +1)为p (x)的零点，in+1li (x)(i = h2,n,n +1)是以xi为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数，bf(x)w(x)dx型A)为高斯型求积公式，证明:k =11)(1)当 0 k, j n, k 丰

8、j 时,Ap (x )p (x ) = 0 i k i j ii=12)j bl (x)l (x)w(x)dx = 0(k 丰 j)a k j艺 j bl 2( x) w( x) dx = j bw( x) dxa kak =1(3)十、(选做题8分)若 f (x) = n+1( x) = (x - x0)( x - x1)(x - xn )，x (i = 0,1,n)互异,的值，其中 p n + 1 。数值计算方法试题三一、(24 分)填空题(1)(2分)改变函数f(x)E-三(x1)的形式，使计算结果较精确(2)(2分)若用二分法求方程fC)= 0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，

9、则需要对分次。(x2 + x2、fW =12/、(3)(2 分)设I x1 x2 丿，则 f*)=(4) (4)S Cx )=(3 分)设2x3, 0 x 1 x 3 + ax 2 + bx + c,1 x 2 是 3 次样条函数，a=, b=, c=(5) (5)(3分)若用复化梯形公式计算10exdx，要求误差不超过10 -6，利用余项公式估计，至少用个求积节点。J x +1.6 x 二 1(6) (6)(6分)写出求解方程组匸0-4x1 + x2二2的Gauss-Seidel迭代公式， 迭 代 矩 阵为，此迭代法是否收敛。(5 4)A =(7) (7)(4 分)设 & 3丿,则 |AL=

10、 ，Cond(A)二。g(8) (8)(2分)若用Euler法求解初值问题y =-10y, y(0)= 1，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为二. (64分)(1) (1)(6分)写出求方程4x = cos(x)+1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(2)(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算、币 的近似值，并利用余项估计误差。(3) (3)(10分)求f(x)= ex在区间0,1上的1次最佳平方逼近多项(4)(5)式。(4)似值，(5)（10分）用复化Simpson公式计算积分分 = 0啤的近要求误差限为0.5X10-5。（10分）用Gauss列主

11、元消去法解方程组:x + 4 x + 2 x = 24123| 3x + x + 5x = 341232 x + 6 x + x = 2723(6)(6)(13、(51(x )121=21丿1x丿2 1丿的最小二乘解。(7)(7)（8分）求方程组（8 分）已知常微分方程的初值问题1dy/dx = x/y,1 x 1.2I y =2用改进的Euler方法计算y（12）的近似值，取步长h = 0.2。（12 分，在下列 5 个题中至多选做3 个题）（1）（1）（6分）求一次数不超过4次的多项式p（x）满足：p（1）= 15， pG= 20， pG= 30， p（2）= 57， p（2）= 72（2

12、）（2）（6 分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：J 1 xf (x )dx q A f0011 + AfG12丿1(10 11A=（3） （3）（6分）用幕法求矩阵11 1丿的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值为G,0）t。(4) (4)（6 分）推导求解常微分方程初值问题y(x)= f (x, y(x), a x b, y(a)= y0的形式为y = y + h(卩 f +Bf ),i=1,2,Ni+1i0 i 1 i-1的公式， 使其精度尽量高， 其中 fi = f（xi,yi）, xi

13、=a+ih ,i=0,l,N,（5） （5）（6 分）求出用差分方法求解常微分方程的边值问题|y+p(x)y+q(x)y + r(x)= 0, a x 0ii-、1、（数值计算方法试题一答案 填空题（每空 1 分，共 17 分）2迈V）2、（x j )、 (8、）选择题3、a =( 3 ) ， b =( 3 )，c=x4 + x2 + 3)5、罟=94 = 236.256、a 19、2每题2 分）-、（2）三、1、（8 分）解：二 span1,x22、（1）3、（1）At 二1192解方程组i i 1 252312382AT AC = AT yyT = 119.032.3其中At A =C=

14、解得：10 、（）、4、（3）49.0 73.3433913391 35296030.92555770.0501025所以ATy 二173.6 179980.7a = 0.9255577,b = 0.05010252、（15 分）解：b 一 a12h 2 f(H ) -1 x x e o = = 0.00130212 82768T(8) = h f (a) + 込 f (x ) + f (b)2kk=1=召卩 + 2 x (0.8824969 + 0.7788008 + 0.60653066 +0.5352614+0.47236655+0.41686207)+0.36787947= 0.632

15、9434f 1一2四、1、(15 分)解：(1)沁x)= 3(x +),(15)1 = 0181，故收敛; 申(x)= 一一| 12x讨1 + x，(15)| = 0.17 1，故发散。1)： x =1.5， x =1.3572， x =1.3309， x = 1.3259 ， x =1.3249，234x = 1.324726(P(x ) x )2一kkk P (P (x ) 2p (x ) + xkkk(3；x +1 一 x )2kk 2）3）选择x = -.5 ， x 0x = -.32476 ，5xSteffensen 迭代： k+1计算结果： x0 = 1.5 ，3 3 (k+1)

16、= (24 + x(k)342k = 0,1,2,3,k +1 +1 - 2v x 丘 +1 +1=1.324899, x2 = 1.324718有加速效果。1x( k+1)= _ (24 一 3 x (k)142x(k+1)=丄(30 - 3x(k) + x(k)2、（8分）解：Jacobi迭代法:1 2413=-(24 - 3 x( k)42Gauss-Seidel 迭代法：x(k+1)1x(k+1) =1 (30 3x(k+1) + x(k) 1 2413x(k+1) = (24 + x(k+1)42k = 0,1,2,3,B =- D -i( L + U)=J0-3400340P (J

17、 =、*（或晋）=0.790569SOR迭代法：1、（15 分）五、x(k+i)= (1 )x(k)+(24 3 x(k)1142x(k+1) = (1 )x(k)+(30 3x(k+1) + x(k)22413x(k+1) = (1 )x(k)+(24 + x(k+1)3342k = 0,1,2,3,解：改进的欧拉法：y(o)= y + hf(x , y ) = 0.9y + 0.1n n n n,y ) + f (x , y (0) = 0.905y + 0.095 n nn+1 n+1nVy ,n+1所以 y(0.1) = y1 = 1； 经典的四阶龙格库塔法：hy = y + k +

18、2k + 2k + k n+1n 6 123k1 = f ( x , y )k = f ( x2=y +nk = f ( x3nk = f ( x4nnnhh+ 才,y + k)2 n 2 1,y + k )2 n 2 2 + h, y + hk ) n3k1 = k2 = k3 = k4 = 0,所以y(0.1) = y1 =1。H (x ) = f (x ) V3 i2、(8 分)解：设H3(x)为满足条件 1H3(x) = f (x) = 0,1 的 Hermite33 ii插值多项式，则 p(x) = H (x) + k(x x )2(x x )2代入条件p(x ) = f (x )得

19、：30122f (x ) H (x )232 一k =(x x )2 (x x )2六、(下列 2 题任2选一0 题，2 4 1分)1、解：将f (x) = 1, x, x 2, x 3分布代入公式得:3711A = , B = , B =, D =-20203020I H (x ) = f (x ) V3 i构造Hermite插值多项式H3(x)满足1H3(x)= f(x)33 iix = 0, x = 1 01i = 0,1 其中则有：卩xH3(x)dx = S(x),R(x) = J1 xf (x) S(x)dx = J1 f)x3(x 1)2dx004!=J1 x 3( x 1)2 d

20、x =f42 =4!04!x601440f (4)化)f (x) H 3( x)=今 x 2( x - 1)22、解：h 2h3R = y(x ) - y = y(x ) + hy(x ) +yff(x ) + yfff(x ) + n ,hn+1n+1nn2!n3!nh2h3 a y(x )-a (y(x ) - hy(x ) + -yff(x ) - yw (x ) + )0 n 1 nn 2! n 3!nh2h3-h0y (x ) + (1 -0)(y (x ) - hy (x ) +y (x ) - y(4)(x ) + n n n 2! n 3! n=(1a a ) y(x ) +

21、h(1 1 + a ) y (x )01 n1 n1 a1 a 1-0+ h2( - 1 +10)y (x ) + h3( + 1 -)y (x ) + O(h4)2 2 n 6 6 2 na 二 10a 二 0130 二 321a a = 00 1 a = 0所以12 2 主项：11h 3 y(xn)-翌 +1 -0 = 0该方法是二阶的。数值计算方法试题二答案一、判断题：(共10分，每小题2分) X ) 2、( V ) 3、( X )X ) 6、( V )7、( X ) 8二、填空题： (共10分，每小题2分)1、9 x 8!、02、3、4、_16 、905、7、三、1、2、0三、简答题：

22、(15分)1、 解：迭代函数为9 (x)二 ln(4-x)/ln2x丄 12 ln2答：Gauss消去法能进行到底的条件是各步消兀的主-1 11屮(x)x x 2 x五、五、证明：k+12 k xk 2-故对一切k = h2xk。4 =丄(1 + ) i(1 +1) = 1； I又xk2x22所以x中 xk，即序列g是单调递减有下界， 从而迭代过程收敛。六、 六、 解：是。因为 f(x) 在基点 1、 2 处的插值多项式为x - 2 x - 1 p (x)=x f (1) + 一 x f (2)1 - 2 2 -13 ?(皿=尹* f。其代数精度为1。七、七、证明：由题意知： AX =b,AX

23、 =b-rX - X A-1 |r|A(X - X) = r n X - X = A-1r n又 AX = b n Ibll = | IAXI | |州凶|八、解：设H(x)二 N2(x) + ax(x-1)(x- 2)1N 2( x) = f (0) + f 0,1( x - 0) + f 0,1,2( x - 0)( x -1) = 1 - 2 x -牙(x - 0)( x -1)22所以 H(x)二 1 -2x- 2x(x-1) + ax(x-1)(x-2)由 H (0)二 3 得:15H (x) = x 3 - x 2 + 3x -1 所以44令R(x)二 f (x) H(x)，作辅助

24、函数g(t)二 f (t) -H(t) -k(x)t2(t- 1)(t- 2) 则g(t)在0,3上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：t = x,0,l,2 反复利用罗尔定理可得：k(x) = (*4!，( g* )二0)所以R( x) = f (x) H (x)=k (x) x 2( x 一 1)( x 一 2)=1)b f (x)w(x)dx q 艺 A f (x ),九、 九、证明：形如ak=1 11k的咼斯(Gauss)型求积公式具有最高代数精度2n+1次，它对f (x)取所有次数不超过2n+1十、10 i 丰 jl.(x .) = 5因为-(x)是n次多项式，且有z j 1 i =

25、 jbl (x )l (x) w( x)dx = Al (x )l (x ) = 0所以 a k ji k i j i (k 丰 j )i=1取f (x) = li2(x)，代入求积公式：因为li2(x)是2n次多项式,bl (x)w(x)dx = 所以 a x iSf bl 2( x) w( x) dx = =1 a k故结论成立。十、解：2)3)ak迟 A l (x )2 = Aj i j iA k k=1=J bw( x) dxa次的多项式均精确成立f x ,x，x = Y2=0 p n01ppi=0 11 (x - x )ijj=0j知f x0, 1，,xn J =f( n W ) =

26、 1(n +1)!数值计算方法试题三答案一.(24 分)(1) (2 分)f(X)=1TxTTx(2) (2 分)10(2 x2 x 1 2x x 丿21x (k+l) = 1 - 1.6 x a)(4) (3 分) 3 -31 (5) (3分) 47712 ， k = 0，1， (6) (6 分) x(k+1) = 2 + 0.4x(k+1)(7) (4分) 991(8) (2 分) h0.2收敛. (64 分)(1) (6 分)xn+1= Q(x )= 11 + COS(x )n=0,l,2,n 4n ，） = 4血） 4 1对任意的初值x0 e 0,1，迭代公式都收敛。（2） （12 分

27、） 用 Newton 插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.0000941136115 沁 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.72275553!15 一10%5 一121)(15 一144) 13100-2 x 15 x 6 x 29 沁 0.00163 68(10 分)设 eC )= c e (x)+ c e C)(e ,e ) (e ,e )1叭1)G1, e2 )12 1 2 2(c 11人c2丿1 1 2 2(f,e )1=c + c x12=（f,门,q,

28、%）d203，(f,e )= I1exp(x)dx=e-11 0 ，(f,e )= I1 xexp( x)dx = 120(12(e-1、(0.8731、(c 11Ic丿2e (x) = 4e - 1 0 + (1 8 - 6e)x =0.873 1 27+ 1 .6903 1 x1/2 13丿(c 11Ic丿211.690 丿,憑)=0.8731 + 1.690x(4) (i0 分)=6f (o)+4 f 2 卜f )二 0.94614588(11f(1)1丿二 0.946086931F- S2 卜 15S2-S | 二 0.393 x 10-5=0.94608693或利用余项：f (x )

29、=旦x 6x8=1 - 乂 + M -+-3!5!7!9!f (4) (X)= 一x2x4+57 x 2!9 x 4!f (x ) 5R=蠡2880 x 5n4 2, I S2(5) (10 分)3.00001.00005.000034.00000.00005.3333 -2.33334.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.00000.0000 1.93759.6875x 二(2.0000,3.0000,5.0000X(6) (8 分) Cta2 = ATb ,6 Y x 14(-1.3333I 2.000

30、0 丿若用 Householder 变换，则：-1.73205 - 3.464104.61880 (A, b )t0- 0.36603 -1.52073、0-1.36603 - 2.52073丿(-1.73205 - 3.46410 - 4.61880、T 01.414212.82843、000.81650 丿最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T.(7) (8 分)k 二 f (x , y )= 0.5 , k 二 f (x , y + hk )= 1.1(2 + 0.2x 0.5)= 0.52380951 0 0 2 1 0 1y = y + -( + k )= 2 + 0.

31、1 x(0.5 + 0.5238095)= 2.10714291 0 2 1 2三. (12 分)(1) 差分表11520157111520228其他方法：设 P C)= 15 + 20 (x -1)+ 15(x -1)2 + (x -1)3 (ax + b) 令p(2)= 57 , P(2)= 72，求出 a 和 b 取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：11 1 1 1A + A =A + A = A = A =-01 2 ， 2 01 30 3，1 6f(x)=x2时，公式左右=1/4; f(x)=x3时，公式左=1/5,公式右=5/24公式的代数精度=2(3) = Av01 0.05

32、u = Av 32(2)1九=C ,v )= 10.001 1 0九=C ,v )= 10.1081 2 110.05 I102丿九 13)=(u 35 V 2 )= 10.110(3)| = 0.002 0.05v1uv2uv3u0.9950 、0.09950丿0.9941、0.1083丿0.9940、0.1090丿0.9940、x 局部截断误差=y(+1)- yi+1=y(x )+ hy(x )+ 与 y(x )+ O(h3)i(x )+ O(h3)i一 L(x )+0 hy(x )+0 hy(x )-0 h2y(x )+ OC i0i1i1=(1 - 0 - 0 )hy (x )+ f

33、+ 0 h 2 y01i121 丿131令 1-卩。-卩=0, 2 + 01 = 0得00 = 2,卩 1 =-2,计算公式为yi+1二yi + 2fi 一几丿,i=0,1,2,(局部截断误差=12巧)+o)(5) i己h = (b - a)/N , x 二 a + ih , p = p(x ), q = q(x ), r - r(x),y 二 yC),i=O.Nii右(yi-1 - 2 yi + yi+1)+ pi(yi+1 一 yi-1)+ qiyi =-ri, i=1.N-11 一匚p y + J 2 + h2q )y + 1 +匚p yiii-12，i丿=一 h 2 r屮 i, i=l.N-l (1)3yo + 4y1 -y2 = 0,与取i=1的方程联立消去y2得(- 2 - 2 p )y + (2 + h2q + 2hp )y = -h 2r1 0 1 1 1 1(2)fl - & pI 2 “ -2 丿与取i=N-1的方程联立消去yN得 y +( 2 + h 2 q= - h 2 rN-2N -1 N-1N-1(3)所求三对角方程组：方程(2),方程组(l)(i=l.N-2),方程(3)x 2( x -1)( x - 2) 4!迟 A Q (x )Q (x ) = Jb Q (x)Q (x)w(x)dx =0i k i j ikja i=1