向量的概念及其线性运算

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1、平面向量的概念及其线性运算数学：安送杰 一、教学目标：1、知识与技能：掌握平面向量的相关概念，线性运算的规律与几何意义，理 解并熟练运用共线向量进行解题，体会数形结合的数学思想方法；2、过程与方法：在复习回忆之前学习的知识点的同时，通过习题巩固知识， 加强理解，掌握运用知识的技巧与方法；3、情感、态度与价值观：通过对一些实际问题的解答，体会知识与生活的紧密联系，学习与生活是密不可分的。二、重点与难点：重点难点三、教了解向量的实际背景；理解平面学向量的基本概念和几何表示；理解设向量相等的含义.运用向量加、减法、数乘运算计：1、掌握向量加、减法和数乘运算，进行解题，以及两个向量共线的充知理解其几何

2、意义；理解向量共线定要条件的运用.识理.了解向量的线性运算性质及其点几何意义.回顾：（1）、向量的概念及表示；（2）、和向量相关的一些概念： 、向量的模； 、零向量； 、单位向量； 、平行向量（共线向量）； 、相等向量和相反向量； 、一个规定；（3）、向量的线性运算： 、向量的加法运算； 、向量的减法运算； 、向量的数乘运算；2、复习知识，练习巩固：（1）、向量的概念及表示： 、定义：既有大小，又有方向的量叫向量。与数量相比，数量只有大小，可比大小；向量既有大小又有方向，无法比较大 小。 、向量的表示方法：A、几何表示法：用有向线段表示向量，三个要素：起点、方向和长度；B、字母表示法：手写使用

3、AB或方,b,?，印刷使用黑体小写字母。（2）、和向量相关的一些概念： 、向量的模：向量AB的模（或长度），就是向量AB的大小，记作：Ab，向量的模可以比较大小； 、零向量：长度为o的向量叫做零向量，记作：b，其方向是任意的； 、单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量； 、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也称为共 线向量； 、相等向量和相反向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量，长度相同方 向相反的向量叫做相反向量； 、一个规定：零向量与任一向量平行；习题一：1、给出下列六个命题： 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； 若两向量|a| = |b|,则a = b

4、; 若向量AB二DC,则A、B、C、D构成平行四边形； 在平行四边形ABCD中，一定有向量AB=DC； 若向量m=n, n二p,则m=p; 若向量a/b, b/c,则a/c;其中错误的命题为：（）解析：对而言，起点相同，终点相同的两个向量肯定相等，但反之不一定；对而言，向量是有方向的，模相等，方向不一定一样；对而言，向量相等可能会共线，共线则不能构成平行；对而言，若向量b为零向量，则不成立；2、设a为单位向量，判断下列命题为假命题的个数（3） 若b为平面内的某个向量，则b=|b|a； 若b与a平行，则b= |b| a； 若b与a平行且|b| =1,则b = a。 注意：向量的方向,两向量平行可

5、同向也可异向。(3) 、向量的线性运算：1、向量的加法： 、定义：求两个向量的和的运算叫做向量的加法; 、运算法则：三角形法则与平行四边形法则； 、运算律：交换律与结合律(1) 、a+b=b+a;(2) 、a+b+c=a+(b+c)2、向量的减法：、相反向量：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做向量a的 相反向量，记作-a。即有：a=-(-a),a+(-a)=(-a)+a=0、向量的减法：我们定义a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量。、几何意义：已知向量a与向量b, 则a-b可以表示为从向量b的终点指 向向量a的终点的向量。3、向量的数乘运算： 、定义

6、：我们规定实数入与向量a的积仍是向量，这种运算称为向量的数乘运 算，记作入a,它的长度与方向规定为：长度：|入a| = |入|a|;方向：当入0时，向量入a的方向与的方向相同；当入0时，向量入a的方向与 向量a的方向相反；当入=0时，入a=0。 、向量数乘的运算律：结合律与分配律；(3) 入(a + b) = Xa+Xb 、向量共线：向量a与b共线，当且仅当有唯一一个实数入，使b二入a。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。习题二：1、在厶ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设向量AB=a， 向量AC=b，试使用a、b表示向量AG。解法一：处=舐+甜=舐+入能

7、=舐+牛(成+酣)=b钟fe+牛(处一舐)2I 2 丿2=(1 一 入)舐+_2处=(1 一 入)a+b.又 AG=At + ct=At+m(=At+m(CA+cfe)=(1 m)At+2AlB=2a+ (1 m) b,入解得入=m =J 一二刁,1解析：因为处=殆+贰=殆+2舐=玄又恵=2代，所以a6=3aC=3 卜+2b=3a+3b3、已知点卩在厶ABC所在的平面内，若2PA+3PB+4PC = 3AB，则 PAB与PBC的面积的比值为答案：45解析：由 2PA+3Pfe+4Pt = 3Afe，得 2贰+4忧=3舐 + 3耶， 2pA+4PiC =3环，即 4pC=5AlP. |AlP|

8、=4 pAB=|=4両_5 両_5SPBC4.已知点G是AABO的重心，M是AB边的中点.求 gA+giB+giO；1 若 PQ 过AAB0 的重心 G,且1=a, OB=b, OlP=ma, OiQ = nb,求证：-+1=3.n 解：因为gA+gib=2GiM，又2giM=-(gO，所以gA+gib+(gO=-(gO+(gO=0.(2)证明：解法一：121因为oM=2(a+b)，且 6是厶AB0 的重心，所以OiG=3OlM=3(a+b).由 P、G、233Q三点共线，得pG#g(Q,所以有且只有一个实数入，使P|=XGlQ.又pG=o|-oiP(1 )(a+b) ma= 3m av3丿11,g6=qQQ_()G = nb_3(a+b)= 3_护+ ng b所3 I 3丿以可m a3丿= Xla+nlb又 a、b 不共线，所以11石=入n 消去入，整理得3mn=m+n,故-+-mn3丿=3.解法二：因为P、G、Q三点共线，所以0G=tOP+(1-t)OQ,再与G为重心结合即可得到方程组，求解化简即可。1解法二：点G为重心，所以AG=3 (AB+AC)；32.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点0,设AlD=a, AIB=b,若1 * 3 =2Dt,则1=.(用向量a和b表示)答案：ja+3b