热力学与统计物理.pptx

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1、热 学 热 现 象 ：研 究 热 现 象 的 两 种 方 法1 . 热 力 学 宏 观 理 论 2 . 统 计 物 理 微 观 理 论 与 宏 观 物 体 的 冷 热 状 态 相 联 系 的自 然 现 象研 究 热 现 象 的 性 质 和 规 律 一 、 概 率 的 简 单 知 识伽 耳 顿 板单 个 粒 子 运 动大 量 粒 子 运 动遵 循 牛 顿 定 律大 量 偶 然 事 件 整 体 分 布 所 遵 从 的 规 律 -统 计 规 律(2) 存 在 起 伏 (涨 落 )(1) 对 大 量 偶 然 事 件 有 效 , 对 少 量 事 件 不 适 用 进 行 N次 随 机 试 验 , 出 现

2、结 果 A 的 次 数 NA 概 率 的 定 义事 件 A 出 现 的 概 率 NNANAP lim 11 ri iPP所 有 可 能 结 果 统 计 物 理 学 基 础 二 、 速 率 分 布 函 数d( ) dNf N 速 率 在 附 近 单 位 速 率 间 隔 内 的 分 子 数 占 总 分 子 数 的 比 率v vv( )d d d Nf N 速 率 在 间 隔 内 的 分 子 数v v v v v 2 1 21 ( )d = Nf N 速 率 在 内 的 分 子 总 数vv v v v vd( ) d Nf d N 速 率 在 间 隔 内 的 分 子 数 占 总 分 子 数 的 比

3、率v v v v v麦 克 斯 韦 速 率 分 布 23 2 22( ) 4 ( )2 mkTmf ekT vv v vv2vp vv+dv f (vp)o f (v) v1 三 种 速 率 ：vp vo f (v) 2vv (1).最 概 然 速 率 ：2 1.41p RT RTv (2).平 均 速 率 ：8 1.60RT RTv (3).方 均 根 速 率 ： 2 3 1.73RT RTv 四 .能 量 均 分 定 理1.内 容 ： 在 温 度 T的 平 衡 态 下 ， 粒 子 的 每 一 个 可 能 的 自 由 度 都 有 相 同 的 平 均 动 能 kT/2。2.内 能 ： 2M i

4、E RT 五 .分 子 碰 撞 的 统 计 规 律1.平 均 碰 撞 频 率 ： 22z n d v2.平 均 自 由 程 ： 212vz n d 三 、 理 想 气 体 的 温 度 和 压 强 23p n t21 32 2m kT t v 图 中 所 示 的 曲 线 分 别 是 氢 和 氧 同 温 度 下 的 麦 克 斯 韦 分 子 速率 分 布 曲 线 。 从 图 中 可 知 氢 气 分 子 的 最 概 然 速 率 为 ?氧 气 分 子的 最 概 然 速 率 为 ？ 氧 气 的 方 均 根 速 率 为 ？ 2f(v) v/(m s -1）O 11000气 体 分 子 最 概 然 速 率2

5、1.41p RT RTv 由 于 温 度 相 等 ， 差 别 在 于 摩 尔 质 量 ，所 以 2 2O Hp pv v 且 2 2/ 1/4O Hp pv v 所 以 2 1000Opv (m s-1）2 4000Hpv (m s-1） 22 2 31.73 /1.4141.23 10Opv RT RTv v (m s-1） 例 1 例 2： 在 半 径 为 R 的 球 型 容 器 里 贮 有 分 子 有 效 直 径 为 d 的 气 体 ， 试 求 该 容 器 中 最 多 可 容 纳 多 少 个 分 子 ， 才 能 使 分 子 之 间 不 至 相 碰 ，解 ： 为 使 气 体 分 子 之 间

6、 不 相 碰 ， 则 必 须 使 分 子 的 平 均 自 由 程 不 小 于 容 器 的 直 径 ， 必 须 满 足 ： 2R 212 d n 2 21 12 2 (2 )n d d R 2 23max 2 221 4 2 0.4832 3 2 R RN n V R d dd 8 热 力 学 基 础一 .热 力 学 基 本 概 念2 .功 ： 2 1VVA pdV 热 量 ：内 能 ：1 .准 静 态 过 程 ：3 .状 态 量 ： VMU C T VMdU C dT4 .热 容 量 ： 定 压 摩 尔 热 容 量 ： P PQC dT 定 容 摩 尔 热 容 量 ： V V VQ dUC d

7、T dT 对 于 理 想 气 体 ： 2V iC R 22P iC R 2PVC iC i Q 二 .热 力 学 定 律1 .热 力 学 第 零 定 律 ： 如 果 两 个 热 力 学 系 统 中 的 每 一 个 都 与 第 三 个 热 力 学 系 统 处 于 热 平 衡 ， 则 它 们 彼 此 处 于 热 平 衡 。2 .热 力 学 第 一 定 律 ： 2 1U U U A Q 3 .热 力 学 第 二 定 律 开 尔 文 表 述 ： 不 可 能 从单 一 热 源 吸 取 热 量 ， 使之 完 全 变 为 有 用 功 而 不引 起 其 它 变 化 。克 劳 修 斯 表 述 ： 不 可 能 把

8、热 量 从 低 温 物 体 传 到 高 温物 体 而 不 引 起 其 他 变 化 。克 劳 修 斯 开 尔 文热 力 学 第 二 定 律 的 实 质 自 然 界 中 ， 一 切 与 热 现 象 有 关 的 宏 观 过 程 都 是 不 可 逆 的 4 、 熵 的 计 算(1) d QS T 不 能 用 于 不 可 逆 过 程(3) 熵 是 状 态 的 单 值 函 数(2) 理 想 气 体 可 逆 过 程 T EVPS ddd 熵 变 取 决 于 始 、 末 两 态 ， 与 过 程 无 关(4)可 逆 过 程 (2) (1)Q S ST 可 逆 过 程 不 可 逆 过 程 )1()2(d SSTQ

9、 不 可 逆 玻 耳 兹 曼 熵克 劳 修 斯 熵 只 对 系 统 的 平 衡 态 才 有 意 义 玻 耳 兹 曼 熵 对 非 平 衡 态 也 有 意 义 ， 更 普 遍 微 观宏 观lnS k W 1 1四 .重 要 原 理1 .卡 诺 定 理 ：(1 ).工 作 在 两 个 恒 温 热 源 之 间 卡 诺 热 机 的 效 率 最 高 。(2 ).工 作 在 两 个 恒 温 热 源 之 间 的 所 有 卡 诺 热 机 的 效 率 相 等 ， 只 与 温 度 有 关 ， 与 工 作 物 质 无 关 。 211 TT 三 .热 机 效 率 致 冷 系 数1 .循 环 过 程 ： 2 .热 机 效

10、 率 ： 211 QAQ Q 3 .致 冷 系 数 ： 2 21 2Q QA Q Q 2 .熵 增 加 原 理对 于 孤 立 系 统 、 自 发 过 程 0S孤 立 系 自 发 过 程 的 方 向 总 是 沿 着 熵 增 加 的 方 向 进 行 . 1 2 五 .几 个 过 程特 点 状 态 方 程 系 统 吸 热 外 界 做 功 内 能 改 变等温 dT=0 pV=C 21lnVM RT V 21lnVM RT V 0 熵 变 21lnVM R V等容 dV=0 P CT VM C dT 0 VM C dT 21lnV TM C T等压 dP=0 V CT PM C dT VM C dTM

11、RdT 21lnP TM C T绝热 0Q 1PV C 1 2P T C 1 3TV C 0 VM C dTVM C dT 0 1 3 例 3 ： 摩 尔 的 理 想 气 体 其 定 体 摩 尔 热 容 为 CV ,该 气 体 所 经 历 的 x 过 程 如 图 所 示 。若 在 p -V 图 上 把 上 述 x 过 程 向 下 平 移 p0 ,则 所 得 的 曲 线 刚 好 是 该 理 想 气 体 温度 为 T0 的 等 温 过 程 。 试 求 ： x 过 程 中 摩 尔 热 容 Cx 与 压 强 p 的 定 量 关 系 。 VPO P0 P0MN VX 过 程 解 ： （ 1 ） 在 过

12、程 曲 线 上 任 取 一 点 M, 其 压 强 为 P， 体 积 为 V,向 下 作 垂 线 与 等 温 线 相 交 于 N， 该 点 的 压 强 为 p p0 。 有 ：0 0( )p p V RT 由 理 想 气 体 状 态 方 程 ， 得 ： 0 0( )/pV RTV R T T p 1 4 在 x 过 程 中 取 一 微 小 过 程 ， 根 据 可 得 ：0 0( )/V R T T p 0RdV dTp（ 2 ） 根 据 热 力 学 第 一 定 律 ， 有 ：x VC dT C dT pdV x V p dVC C dT 0 x V Vp dV RC C C pdT p 1 5

13、例 4. ： 如 图 所 示 ， 有 一 除 底 部 外 其 余 部 分 均 为 绝 热 的 气 筒 ， 被 一 固 定 且 导热 的 板 隔 成 A,B 两 部 分 ， 两 部 分 分 别 盛 有 1 mol 理 想 气 体 的 氮 和 1 mol理 想气 体 的 氦 ， 将 3 3 4 J 的 热 量 从 底 部 供 给 气 体 ， 气 筒 活 塞 上 的 压 强 始 终 保 持 等压 。 试 求 过 程 中 A部 和 B部 各 吸 收 的 热 量 及 温 度 的 变 化 。 （ 导 热 板 的 热 容 量可 以 忽 略 ） AN2 BHe 解 ： 由 于 隔 板 导 热 ， A,B两 部

14、 分 气 体 的 温 度 增 量 也 相 等 。整 个 过 程 中 系 统 对 外 界 作 的 功 为 ：B BA p V 由 B部 气 体 的 状 态 方 程 可 得 ： TRTRVpA BBB TRTCTC AEEQ VBVA BA 1 6 RCRC VBVA 2325 KRRR QRCC QT VBVA 04.82325 A部 气 体 经 历 的 是 等 体 过 程 ： 5 1672 A VAQ C T R T J B部 气 体 吸 收 的 热 量 为 ： JTRTRTCAEQ VBBB 16725 1 7 例 5 ： 如 图 所 示 在 刚 性 绝 热 容 器 中 有 一 可 无 摩

15、擦 移 动 且 不 漏 气 的 导 热 隔 板 ， 将 容 器 分 A,B为 两 部 分 ， A,B 各 有 1 mol 的 He气 和 O2 气 的 温 度 分 别 为 TA=3 0 0 K , TB=6 0 0 K ,压 强 pA=pB=1 .0 1 3 1 0 5 Pa。 试 求 ： （ 1 ） 整 个 系 统 达 到 平 衡 时 的 温 度 T,压 强 p. (2 )He 气 和 O2 气 各 自 熵 的 变 化 。 AHe BO2隔板解 ： （ 1 ） 将 He气 和 O2 气 作 为 一 个 系 统 ， 则 整 个 系 统 与 外 界 没 有 热 交 换 ， 且 对 外 不 作 功

16、 。 系 统 的 总 内 能 始 终 不 变 。( ) ( ) 0VA A VB BC T T C T T KRR RTRT CC TCTCT BA VBVA BVBAVA 5.4872523 2523 1 8 设 状 态 A,B两 部 分 初 态 的 体 积 为 VA, VB ， 末 态 的 体 积 为 VA， VB。BABA VVVV pRTVVpRTVpRTV BABBAA , 00 pRTpRTpRT BA 200 502 1.094 10A BTp p PaT T 2( )1 1 VV V TdS dE pdVC dT pdVRTC dT pd pC dT p RdT pRT dpp

17、 p 2 21 1 212 21 2 21 11 1( )/ln lnVT pVT pp S dSC dT p RdT pRT dp Tp pC dT RdT RdpT pT pC RT p 2 1 （ 2 ） 由 理 想 气 体 的 克 劳 修 斯 熵 变 公 式 ： 00 lnln ppRTTCS P He气 的 熵 变 ： 0ln ln 9.45 /He PA AT pS C R J KT p O2 气 的 熵 变 ：2 0ln ln 6.68 /O PB BT pS C R J KT p 系 统 的 熵 变 ： 0/77.268.645.9 2 KJSSS OHe 例 6. 如 图 所

18、 示 的 p-V图 中 ， 曲 线 bca为 理 想 气 体 的 绝 热 过 程 ， 曲 线b1 a和 曲 线 b2 a是 任 意 过 程 ； 则 b1 a和 b2 a两 个 过 程 中 ， 气 体 作 功 与 吸 收 热 量的 情 况 是 VPO a b1 2cb1 a过 程 吸 热 ， 作 负 功b2 a过 程 放 热 ， 作 负 功设 计 acb1 a循 环 ， 在 这 个 循 环 中 A0 , 所 以 ， 而 在 acb1 a循 环 中 （ 图 中 曲 线 bca为 绝 热 线 ） ， 所 以 ， 即 b1 a过 程 吸 热 0E 0Q A E 0 acbQ 1 0b aQ 设 计 a

19、cb2 a循 环 ， 在 这 个 循 环 中 A0 , 所 以 ， 而 在 acb2 a循 环 中 （ 图 中 曲 线 bca为 绝 热 线 ） ， 所 以 ， 即 b2 a过 程 放 热 0E 0Q A E 0acbQ 2 0b aQ 2 3 例 7. 1 mol 双 原 子 分 子 理 想 气 体 作 如 图 的 可 逆 循 环 过 程 ， 其 中 1 -2 为 直 线 ，2 -3 为 绝 热 线 ， 3 -1 为 等 温 线 ， 已 知 T2 =2 T1 ,V3 =8 V1 。 求 （ 1 ） 各 过 程 的 功 ， 内 能 增 量 和 传 递 的 热 量 ； （ 2 ） 此 循 环 的

20、 效 率 。 Vp0p1p2 V 1 V2 V31 2 3解 ： （ 1 ） 1 2 过 程 有1 1 12 2 21 2 1 2 2 11 2 (1)(2), (3)pV RTp V RTp p pV p VV V 系 统 对 外 做 功1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 11 1( )( ) ( )2 2A p p V V pV p V pV p V 将 （ 1 ） ， （ 2 ） ， （ 3 ） 式 代 入 ： 1 1 1 11 122 2A RT RT RT 内 能 增 量 1 2 1 15 5( )2 2U R T T RT 2 4 气 体 吸 热 ： 1 1 13Q A

21、 U RT 3 1 等 温 过 程 ： 3 3 1 1 1pV pV RT pV 外 界 对 气 体 做 功 ： 3 31 1 32 1 1 11ln 2.08V VV V VdVA pdV RT RT RTV V 系 统 放 热 2 2 12.08Q A RT 内 能 增 量 2 0U 2 3 绝 热 过 程 ： 吸 热 Q3 =0 , 内 能 增 量 3 3 2 1 2 15 5 5( ) ( )2 2 2U R T T R T T RT 系 统 对 外 做 功 3 3 152A U RT （ 2 ） 此 循 环 的 效 率 211 30.7%QQ 例 8 ： 把 1 千 克 2 0 C的

22、 水 放 到 1 0 0 C的 炉 子 上 加 热 ， 最 后 达 1 0 0 C。 水 的 比 热 是 4 .1 8 1 0 3 J/kgK ， 分 别 求 水 和 炉 子 的 熵 变 。解 ： 水 被 炉 子 加 热 是 不 可 逆 过 程 设 计 一 个 可 逆 过 程 水 依 次 与 温 度 为 T1， T1+dT， T1+2dT， ， T2的 热 源 接 触 ， 每 次 吸 热dQ经 准 静 态 可 逆 过 程 缓 慢 升 温 至 T2 BA TQS d1 21 dTT T Tm c12lnTTm c J/K101.01 3水 吸放 QQ )( 12 TTm c B A TQS d2

23、 2 12 )(T TTm c J/K109.01 2021 SSS 整 个 系 统 熵 增 加 例 9 两 个 相 同 的 物 体 (其 定 压 热 容 Cp为 为 常 量 )温 度 同 为 Ti,今 用 一 制 冷 机 在 这两 个 物 体 之 间 的 工 作 (压 强 保 持 不 变 )， 使 其 中 之 一 温 度 降 为 Tf。 证 明 ： 这 一 过程 所 需 的 最 小 功 量 为 2minA ( 2 )ip f ifTC T TT 以 表 示 另 一 物 体 最 后 的 温 度 ， 则 由 致 冷 机 工 作 的 能 量 关 系 可 得 fT A+ ( ) ( ) p i f

24、p f iC T T C T T 由 此 得 2f i fpAT T TC 这 一 制 冷 过 程 引 起 的 总 熵 变 为 2ln ln lnf f f fp p pi i iT T T TS C C CT T T 由 熵 增 加 原 理 ， 可 得0S 2 1f fiT TT 2f i fpAT T TC 结 合 可 得22 ii fp fTA T TC T 由 此 可 得 2min ( 2 )ip f ifTA C T TT 例 10： 容 器 内 有 11kg的 二 氧 化 碳 和 2kg 的 氢 气 ， 已 知 混 合 气 体 的内 能 是 8.1106J,求 ： 两 种 气 体 分 子 的 平 均 动 能 。解 ： 2 22 2 2 26 52 2CO HCO H CO HM ME E E RT RT 2 22 2 3005(3 )2co HCO HET kM M R 2 206 1.24 102CO kT J 2 205 1.04 102H kT J