《简单的优化模型》PPT课件.pptx

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1、3.1. 简 单 的 优 化 模 型 微 分 法 建 模 (一 ) 3.1.1. 生 产 者 的 决 策 3.1.2. 消 费 者 的 选 择 3.1.3. 森 林 救 火 问 题 3.1.4. 血 管 分 支 问 题 优 化 问 题 可 以 说 是 人 们 在 工 程 技 术 、 经 济 管 理和 科 学 研 究 等 领 域 中 最 常 见 的 一 类 问 题 . 然 后 用 数 学 工 具 （ 变 量 、 常 数 、 函 数 等 ） 表 示它 们 , 当 打 算 用 数 学 的 方 法 处 理 一 个 优 化 问 题 时 ， 要考 虑 如 下 几 个 方 面 ：要 确 定 优 化 的 目

2、标 是 什 么 ；寻 求 的 决 策 是 什 么 ；决 策 受 到 哪 些 条 件 的 限 制 ； 最 后 可 能 的 话 ， 要 对 结 果 做 一 些 定 性 、 定 量的 分 析 和 必 要 的 检 验 . 微 分 法 建 模 ， 就 是 利 用 微 积 分 中 讨论 函 数 极 值 的 方 法 建 模 ， 从 而 得 到 问 题的 优 化 结 果 . 问 题 : 如 果 企 业 的 领 导 有 权 根 据 产 品 的 成 本 和 销售 情 况 制 定 商 品 价 格 的 话 ， 他 当 然 会 寻 求 能 使 工厂 利 润 达 到 最 大 的 所 谓 最 优 价 格 . 试 根 据 产

3、 品 成 本 和 市 场 需 求 ， 在 产 销 平 衡 条 件 下建 立 确 定 商 品 价 格 的 数 学 模 型 ， 使 利 润 最 大 .3.1.1. 生 产 者 的 决 策 模 型 准 备 : 利 润 是 销 售 收 入 与 生 产 支 出 之 差 . 销 售 收 入 与 销 售 量 和 每 件 产 品 的 价 格 有 关 . 生 产 支 出 与 生 产 量 和 每 件 产 品 的 成 本 有 关 .模 型 假 设 及 符 号 说 明 : 产 品 的 生 产 量 与 销 售 量 相 同 ， 设 为 x . 每 件 产 品 售 价 为 p， 成 本 为 q. 于 是 ， 销 售 收 入

4、 I = p x , 生 产 支 出 O = q x . 模 型 构 成 : 总 利 润 U = I O = p x q x . 目 标 ： 求 p 取 何 值 时 U 达 到 最 大 值 ？ 在 市 场 竞 争 的 情 况 下 ， 销 售 量 x 依 赖 于 价 格 p， x(p) 是 关 于 p 的 减 函 数 . 假 设 x(p) = a b p , a, b 0 . 当 p = 0 时 ， a 可 理 解 为 这 种 产 品 免 费 供 应 时 的 社 会 需 求 量 . 于 是 ， 不 论 成 本 q 是 否 与 x 有 关 ， 收 入 和 支 出都 是 关 于 p 的 函 数 .

5、总 利 润 U(p) = I(p) O(p) = p x(p) q x(p) = (p - q) (a - b p). 目 标 ： 求 p 取 何 值 时 U 达 到 最 大 值 ？0 * ppdpdU * *p p p pdI dOdp dp 最 大 利 润 在 边 际 收 入 等 于 边 际 支 出 时 达 到 .边 际 收 入 边 际 支 出baqp 22* q / 2 : 成 本 的 一 半 . a : 产 品 免 费 供 应 时 的 社 会 需 求 量 由 x(p) = a b p , a, b 0， 则 b = dx / dp . b: 价 格 上 升 一 个 单 位 时 销 量

6、的 下 降 幅 度 (需 求 对价 格 的 敏 感 度 ， 称 为 “ 市 场 弹 性 系 数 ” )对 模 型 结 果 的 简 单 分 析 ： baqp 22* 思 考 ： 如何 得 到 参数 a, b?a p* b p* 问 题 : 消 费 者 对 甲 乙 两 种 商 品 的 偏 爱 程 度 可 以 用无 差 别 曲 线 族 表 示 . 问 消 费 者 如 何 分 配 一 定 数 量的 钱 ， 购 买 这 两 种 商 品 ， 以 达 到 最 大 的 满 意 度 .3.1.2. 消 费 者 的 选 择设 甲 乙 数 量 为 q1, q2, 消费 者 的 无 差 别 曲 线 族(单 调 减 、

7、 下 凸 、 不 相交 ） ， 记 作 U(q1, q2)=cU(q 1, q2): 效 用 函 数 已 知 甲 乙 两 种 商 品 的 价 格 分 别 为 p1, p2, 消 费 者 的 资 金 总 数 为 s，试 分 配 s， 购 买 甲 乙 数 量 q1, q2 ， 使 U(q1, q2)最 大 .模 型 准 备 ： 模 型 建 立 ： sqpqpts qqUZ 2211 21. ),(max 模 型 求 解 ： sqpqpts qqUZ 2211 21. ),(max 1 2 1 2 1 1 2 2( , , ) ( , ) ( )Lq q Uq q s pq pq )2,1(0 iq

8、Li这 是 二 元 函 数 的 条 件 极 值 问 题 ， 可 以 利 用 拉 格 朗 日乘 子 法 求 解 ， 即 2121 ppqUqU 2121 ppqUqU 经 济 学 解 释 ： sqpqpts qqUZ 2211 21. ),(max 21 , qUqU 边 际 效 用消 费 者 的 均 衡 状 态 在 两 种 商 品 的 边 际 效 用 之 比恰 等 于 它 们 价 格 之 比 时 达 到 . s/p2 s/p1q2 U(q1,q2) = c q10 1l 2l 3l2121 ppqUqU 122 dqdqKl几 何 解 释 ： sqpqp 2211直 线 MN: 最 优 解 Q

9、: MN与 l2切 点21 / ppKMN 斜 率 M Q N21 / qUqU sqpqpts qqUZ 2211 21. ),(max 1 22 2 22 21 2 1 20, 00, 0, 0U Uq qU U Uq q q q 效用函数应满足的条件U(q1,q2) =c 所 确 定 的 函 数 q2=q2(q1)单 调 减 、 下 凸效 用 函 数 U(q1, q2)的 构 造 ： 0,)(.1 121 qqU 2121 ppqUqU 2122 11 ppqp qp 消 费 者 按 照 效 用 最 大 化 购 买 两 种 商 品 的 费用 之 比 与 二 者 价 格 之 比 的 平 方

10、 根 成 正 比 . U(q 1,q2)中 参 数 , 分 别 表 示 消 费 者 对 甲乙 两 种 商 品 的 偏 爱 程 度 . 1,0,.2 21 qqU 2121 ppqUqU 22 11qpqp 购 买 两 种 商 品 费 用 之 比 与 二 者 价 格 无 关 . U(q1,q2)中 参 数 , 分 别 表 示 对 甲 乙 的 偏 爱 程 度 . 问 题 : 森 林 失 火 后 ， 要 确 定 派 出 消 防 队 员 的 数 量 . 队 员 多 ， 森 林 损 失 小 ， 救 援 费 用 大 ； 队 员 少 ， 森 林 损 失 大 ， 救 援 费 用 小 .综 合 考 虑 森 林

11、失 火 产 生 的 损 失 费 ， 和 派 出 消 防 员 产生 的 救 援 费 ， 确 定 派 出 消 防 员 的 数 量 .3.1.3 森 林 救 火 问 题 模 型 准 备 : 损 失 费 ： 通 常 正 比 于 森 林 烧 毁 的 面 积 ； 森 林 烧 毁 的 面 积 与 灭 火 的 时 间 有 关 ； 灭 火 的 时 间 取 决 于 消 防 队 员 的 数 量 . 救 援 费 ： 分 为 两 个 部 分 ， 一 部 分 是 器 材 的 消 耗和 队 员 的 薪 金 ， 与 消 防 员 的 数 量 和 灭 火 时 间 有关 ， 另 一 部 分 是 运 送 队 员 和 器 材 等 的

12、一 次 性 支出 ， 只 与 消 防 员 的 数 量 有 关 . 模 型 假 设 ： 损 失 费 正 比 于 森 林 烧 毁 的 面 积 . 森 林 中 树 木 分 布 均 匀 ， 而 且 火 灾 是 在 无 风 的 条件 下 发 生 的 . 因 此 ， 可 以 假 定 火 势 以 失 火 点 为 中心 ， 匀 速 向 四 周 呈 圆 形 蔓 延 . 灭 火 速 度 不 变 ， 且 灭 火 速 度 必 须 大 于 火 势 蔓 延 的 速 度 . 符 号 说 明 ： 失 火 时 刻 t = 0, 开 始 救 火 时 刻 t1, 灭 火 时 刻 t2. 某 一 时 刻 t， 森 林 被 烧 毁 的

13、 面 积 为 B(t). 烧 毁 单 位 面 积 森 林 的 损 失 费 为 c1. 于 是 ， 总 的 损 失 费 为 ： c1B(t2) . 每 个 消 防 队 员 单 位 时 间 的 灭 火 费 用 为 c2, 每 个队 员 的 一 次 性 支 出 是 c3 . 消 防 员 的 数 量 为 x. 于 是 ， 总 的 救 援 费 为 ： c 3x + c2x(t2 t1) . 模 型 构 成 ： t1 t20 tBB(t2) 当 时 ， 火 势 越 来 越 大 ； 10 tt 21 ttt 当 时 ， 火 势 越 来 越 小 ；当 时 ， 火 势 停 止 蔓 延 . 2tt分 析 B(t)

14、比 较困 难 ,转 而 讨 论森 林 烧 毁 的 速度 dB/dt. 0 t t1, 森 林 烧 毁 的 速 度 dB/dt 与 t成 正 比 .rB火 势 以 失 火 点 为 中 心 ，匀 速 向 四 周 呈 圆 形 蔓 延 ，扩 散 半 径 r与 t 成 正 比面 积 B与 t2成 正 比 ， dB/dt与 t成 正 比 .设 系 数 为 ， 即 dB/dt = t ， 称 为 火 势 蔓 延 的 加 速 度 . t1 t t2,森 林 烧 毁 的 速 度 dB/dt = ( -x)t， 其中 为 队 员 的 平 均 灭 火 能 力 . 显 然 有 x .dtdBb0 t 1 t t2x

15、22 0( ) t dBB t dtdt 212 bt总 的 损 失 费 为 ： c1B(t2) . 1 212 ttdtdBb 0 t1 t t2x 总 的 救 援 费 为 ： c3x + c2x(t2 t1) . 总 的 费 用 为 ： 1 2 3 2 2 11( ) ( )2C x tt c x c x t t dtdBb 0 t1 t t2x t2 是 关 于 x的 函 数 ！ ！ ！ xbtt 12 2 10 ( )( )b x t t 由 于 1tx 0dxdC xcx xtcx tctcxC 3122121211 )(22)( 目 标 ： 求 x使 C(x)最 小 . 23 12

16、211 2 2 c tctcx 其 中 c1,c2,c3, t1, ,为 已 知 参 数 .总 的 费 用 为 ： 23 12211 2 2 c tctcx / 是 为 了 把 火 扑 灭 所 必 需 的 最 少 队 员 数 .对 模 型 结 果 的 简 单 分 析 ：dtdBb0 t 1 t t2x 问 题 : 血 液 在 动 物 的 血 管 中 不 停 流 动 ， 为 了 维 持 血液 循 环 ， 动 物 的 机 体 需 要 给 自 己 提 供 能 量 . 能 量 的 一 部 分 用 于 供 给 血 管 壁 以 营 养 ， 另 一 部 分 用来 克 服 血 液 流 动 受 到 的 阻 力

17、. 动 物 在 长 期 进 化 过 程 中 ， 血 管 的 几 何 形 状 应 该 向 消耗 能 量 最 小 的 方 面 转 变 . 事 实 上 ， 有 研 究 发 现 ， 动 物 的 血 管 分 支 角 度 几 乎 是固 定 的 . 研 究 在 能 量 消 耗 最 小 原 则 下 ， 动 物 血 管 分 支 处 粗 细血 管 半 径 的 比 例 以 及 分 岔 的 角 度 .3.1.4 血 管 分 支 问 题 模 型 假 设 ： 一 条 粗 血 管 在 分 支 点 处 分 成 两 条 细 血 管 ， 分 支 点 附 近 三 条 血 管 在 同 一 平 面 ， 有 一 对 称 轴 . (不 在

18、 同 一 个 平 面 内 ， 血 管 总 长 度 必 然 增 加 ) 几 何 上 的 假 设 血 液 流 动 近 似 于 粘 性 流 体 在 刚 性 管 道 中 的 运 动 .粘 性 流 体 在 刚 性 管 道 中 流 动 受 到 的 阻 力 f 与 流 量 q 的 平 方 成 正 比 ， 与 半 径 r 的 4次 方 成 反 比 ， 即 f = k q2 / r4 ,其 中 ， k 是 比 例 系 数 . 物 理 上 的 假 设r r 1 血 液 对 血 管 壁 提 供 的 能 量 随 管 壁 的 内 表 面 积 及管 壁 所 占 体 积 的 增 加 而 增 加 . 管 壁 的 厚 度 近

19、似 与 血 管 半 径 成 正 比 . 生 物 上 的 假 设对 于 半 径 为 r, 长 度 为 l 的 血 管 ，管 壁 内 表 面 积 : 2rl .管 壁 体 积 : ( (r + d)2 - r2) l = (d 2 + 2rd) l. lr设 管 壁 厚 度 为 d，综 合 考 虑 ， 单 位 长 度 血 管 壁 提供 营 养 的 能 量 为 ： , 1 2br 模 型 构 成 ： q q 1q1A BBC HLl l1r r1 考 察 血 管 AC 与 CB、CB. ACB的 水 平 距 离 和 竖直 距 离 是 分 别 为 常 数 L 和 H. 设 血 液 在 粗 细 血 管

20、中单 位 时 间 的 流 量 分 别是 q 和 q1. q q1q1A BBC HLl l1r r1 血 液 克 服 阻 力 消 耗 的 能 量 ：2 4 2 41 1 1( / ) 2( / ) .kq r l kq r l 血 液 提 供 营 养 消 耗 的 能 量 ：1 1( ) 2( ) .br l br l 机 体 为 血 流 提 供 的 总 能 量 ：2 4 2 41 1 1 1( / ) 2( / ) .kq r br l kq r br l q1 = q / 2 ,/ .l L H tg 1 /sin ,l H q q1q1A BBC HLl l1r r1 sin/2)/( )tan/)(/(),( 14121 421 Hbrrkq HLbrrkqrrE sin/2)/( )tan/)(/(),( 14121 421 Hbrrkq HLbrrkqrrE 0,0 1 rErE 411 4 rr0E 4 12cos rr442cos (1 2) 0 037 49