概率论与随机过程.pptx

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1、2.2 离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 布 律 通 常 分 为 两 类 ： 如 “ 取 到 次 品 的 个 数 ” ， “ 收 到 的 呼 叫 数 ” 等 .随机变量 离 散 型 随 机 变 量连 续 型 随 机 变 量 所 有 取 值 可 以 逐 个一 一 列 举如 ， “ 电 视 机 的 寿 命 ” ， 实 际 中 常 遇 到 的“ 测 量 误 差 ” 等 . 全 部 可 能 取 值 不 仅无 穷 多 ， 而 且 还 不 能一 一 列 举 ， 而 是 充 满一 个 区 间 . 这 两 种 类 型 的 随 机 变 量 因 为 都 是 随 机 变 量 ， 自 然 有 很多 相 同 或

2、相 似 之 处 ； 但 因 其 取 值 方 式 不 同 ， 又 有 其 各 自 的特 点 . 随机变量 连 续 型 随 机 变 量离 散 型 随 机 变 量 1 离 散 型 随 机 变 量定 义 设 X为 一 随 机 变 量 ， 如 X的 全 部 可 能 取 到 的 值 是 有限 个 或 可 列 无 限 多 个 ， 则 称 随 机 变 量 X为 离 散 型 随 机变 量 。定 义 设 X为 离 散 型 随 机 变 量 ， X的 所 有 可 能 取 的 值 为 xk (k=1, 2)， 记 X 取 xk 的 概 率 为 PX=xk=pk (k=1, 2, )，则 称 下 面 一 组 等 式 PX

3、=x k=pk (k=1， 2， )为 X的 分 布 律 ,简 写 为 d.l.。 2.2.1 离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 布 律2 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 律 （ 1） 分 布 律 可 以 用 表 格 的 形 式 表 示 ： xn一 般 从 小 到 大 排列 。 XP x1 x2 xn p1 p2 pn （ 2） 分 布 律 可 以 用 图 形 表 示 分 布 律 的 表 示 方 法 ：P Xx 1 x2 xn 例 袋 中 5个 球 编 号 1 5， 从 中 同 时 取 出 3个 ， 以 X表 示 取出 球 的 最 大 编 号 ， 求 X的 分 布 律 解 ： P

4、X=3=1/C35=1/10, PX=4= C23 /C35=3/10, PX=5= C24 /C35=6/10X的 分 布 律 为X P 3 4 51/10 3/10 6/10 由 概 率 的 性 质 可 知 分 布 律 具 有 下 述 性 质 （ 1） 非 负 性 ： pk0; k=1， 2， （ 2） 规 范 性 ： 11 i ip证 明 :设 离 散 型 r. v. X的 取 值 为 x1, xn, 则 事 件 组 X=x1， ， X=xn， 构 成 了 的 一 个 划分 。 1)( 111 k kk kk k xXPxXPp 分 布 律 的 性 质 ： （ 1） 已 知 随 机 变

5、量 X的 分 布 律 ， 可 求 出 X的 分 布 函 数 ： 设 一 离 散 型 随 机 变 量 X的 分 布 律 为 PX=xk=pk (k=1， 2， ) 由 概 率 的 可 列 可 加 性 可 得 X的 分 布 函 数 为 xx k xx kk kpxF xXPxXPxF )( )(即 这 里 的 和 式 是 所 有 满 足 xkx的 k的 求 和 。 分 布 函 数F(x)在 x=xk(k=1,2,)处 有 跳 跃 ， 其 跃 跳 值 为pk=PX=xk。 分 布 律 与 分 布 函 数 的 关 系 已 知 随 机 变 量 X的 分 布 律 , 亦 可 求 任 意 随 机 事 件 的

6、概 率 。 例 如 ， 求 事 件 X B （ B为 实 轴 上 的 一 个 区 间 ）的 概 率 P X B时 ， 只 需 将 属 于 B的 X的 可 能 取 值 找出 来 ， 把 X取 这 些 值 的 概 率 相 加 ， 即 可 得 概 率P X B， 即 Bx kk pBXP 因 此 ， 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 律 完 整 地 描 述 它 的 概率 分 布 情 况 。 设 一 离 散 型 随 机 变 量 X的 分 布 函 数 为 F(x)， 并 设F(x)的 所 有 间 断 为 x1,x2,， 那 么 ， X的 分 布 律 为 ,3,2,1)0()( kxFxFxXP k

7、kk例 1: 设 随 机 变 量 X的 分 布 律 为 XP -1 2 3 1/4 1/2 1/4 求 X的 分 布 函 数 ， 并 求 ,32 XP ,2523 XP 21XP解 : 由 概 率 的 有 限 可 加 性 ， 得 所 求 分 布 函 数 为 （ 2） 已 知 随 机 变 量 X的 分 布 函 数 ， 可 求 出 X的 分 布 律 ： 3412141 322141 2141 10)( xxxxxF 31 3243 2141 10)( xxxxxF即 F（ x） 的 图 形 如 下 图 所 示 ， 它 是 一 条 阶 梯 形 的 曲 线 ，在 x 1， 2， 3处 有 跳 跃 点

8、， 跳 跃 值 分 别 为 1/4， 1/2，1/4。 -1 0 1 2 3 xP1 4341213232 XPXPXP 2122523 XPXP 41121 XPXP 例 3 已 知 随 机 变 量 X的 分 布 律 为 X 2 0 3 5 P 1/4 a 1/2 1/12 试 求 （ 1） 待 定 系 数 a， （ 2） 概 率 PX 1/2。11212141 a 即 可 求 得 a=1/6。 431212161 53021 XPXPXPXP解 : （ 1） 由 分 布 律 的 性 质 可 知 (2) 伯 努 利 (Bernoulli) 概 型 考 虑 一 个 简 单 的 试 验 ， 它

9、只 出 现 （ 或 只 考 虑 ）两 种 结 果 ， 如 某 产 品 抽 样 检 查 得 合 格 或 不 合 格 ， 射击 命 中 或 不 命 中 ， 试 验 成 功 或 失 败 ， 发 报 机 发 出 信号 0或 1。 掷 一 次 骰 子 点 数 “ 6”是 否 出 现 。 一 般 地 ， 试 验 E只 有 两 种 结 果 A和 A, 而 P(A)=p（ 0p1） ,则 称 E为 伯 努 利 试 验 或 伯 努 利 概 型 。 设 E为 伯 努 利 试 验 ， 将 E独 立 地 重 复 进 行 n次 ， （ 这 里的 “ 重 复 ” 是 指 试 验 E在 相 同 条 件 下 进 行 ） 而

10、且 每 次 试验 中 结 果 A出 现 的 概 率 保 持 不 变 。 我 们 把 这 n次 独 立 重复 贝 努 利 试 验 总 起 来 看 成 一 个 试 验 ， 称 这 种 试 验 叫 n重伯 努 利 试 验 。 总 之 ， n重 伯 努 利 试 验 有 下 面 四 个 约 定 ： （ 1） 每 次 试 验 的 结 果 只 能 是 两 个 可 能 的 结 果 A和 A之 一 , （ 2） A在 每 次 试 验 中 出 现 的 概 率 p保 持 不 变 ,（ 3） 各 次 试 验 相 互 独 立 ,（ 4） 共 进 行 了 n次 . 定 理 1.4.3 对 于 n重 伯 努 利 试 验 ，

11、 事 件 A在 n次 试 验 中出 现 k次 的 概 率 为 pqnkqpCkP knkknn 1,1,0)( 证 明 ： 由 n重 伯 努 利 试 验 ， 事 件 A在 某 指 定 的 k次 试 验 中 出 现 ， 而 在 其 余 n-k次 试 中 不 出 现 的 概 率 为 pk(1-p)n-k = pkqn-k 而 在 n次 试 验 中 事 件 A发 生 k次 共 有 Cnk种 不 同 情 况 ， 对应 的 事 件 为 互 不 相 容 的 ， 由 概 率 的 可 加 性 .1,1,0)( pqnkqpCkP knkknn knkkn qpC 注 :由 于 恰 好 是 展 开 式 (p+q

12、)n中 的 第 k项 ，所 以 常 称 为 二 项 概 率 公 式 。 ( ) k k n kn nP k C p q 例 1: 对 某 种 药 物 的 疗 效 进 行 研 究 ， 假 定 这 药 对 某 种 疾病 的 治 愈 率 0.8， 现 有 10个 人 患 此 病 的 病 人 同 时 服 用此 药 ， 求 其 中 至 少 有 6个 病 人 治 愈 的 概 率 。解 : 假 定 “ 病 人 服 用 此 药 后 治 愈 ” 为 事 件 A， 按 题 意 P(A)=0.8， 2.0)( AP 10人 同 时 服 用 此 药 可 视 为 10重 伯 努 利 试 验 ， 因而 由 公 式 所 求

13、 的 概 率 为 .97.02.08.0)( 106 1010106 10 k kkkk CkPp 例 2: 某 厂 生 产 的 过 程 中 出 现 次 品 的 概 率 为 0.002， 求 在该 厂 生 产 的 1000件 产 品 中 恰 好 有 10件 次 品 的 概 率 。 解 : 设 A表 示 事 件 “ 该 厂 生 产 的 一 件 产 品 为 次 品 ” ， 则 P（ A） =0.002， 依 题 意 所 求 的 概 率 为 990101010001000 998.0002.0)10( CPP 例 2 重 复 独 立 地 进 行 伯 努 力 试 验 ， 直 到 事 件 A出 现 r

14、(r1)次 为 止 ， 求 试 验 次 数 X 的 分 布 律 . rkrrkrkrrk qpCpqpCkXP 11111 k= r, r+1,称 X 服 从 Pascal分 布 。 当 r=1时 ，,2,1 1 kpqkXP k 称 X服 从 几 何 分 布 。 解 ： 设 每 次 试 验 事 件 A 出 现 的 概 率 为 p,若 当 第 k 次试 验 时 ， 事 件 A出 现 r次 ， 则 前 k -1次 试 验 事 件 A恰 出 现r -1次 ， 于 是 1.（ 0 1） 分 布 ： 设 随 机 变 量 X只 可 能 取 0与 1两 个 值 ， 它 的 分 布 律 为 PX=k=pk(

15、1-p)1-k , k=0， 1. (0p1)则 称 X服 从 （ 0 1） 分 布 ,记 为 X（ 0 1） 分 布 。 （ 0 1） 分 布 的 分 布 律 用 表 格 表 示 为 ：X 0 1P 1-p p易 求 得 其 分 布 函 数 为 ： 1 101 00)( xp xp xxF2.2.2 几 种 常 用 的 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 2.二 项 分 布 ：定 义 ： 若 离 散 型 随 机 变 量 X的 分 布 律 为 nkqpCkXP knkkn ,1,0 其 中 0p0是 一 常 数 ， n是 任 意 正 整 数 ， 设npn=， 则 对 于 任 一 固 定 的

16、 非 负 整 数 k， 有 !1lim keppkn kknnknn 证 明 ： 由 pn=/n有 knk knkknnkn nnnknnk nnk knnnppkn 111121111! 1! )1()1(1 对 于 任 意 固 定 的 k， 当 n 时 ,11121111 nknn 11,1 kn nen ,!)1( keppkn kknnkn 故 有 意 义 ： 定 理 的 条 件 npn= （ 常 数 ） 意 味 着 当 n很 大 时 ， pn必 定 很 小 。 因 此 ， 上 述 定 理 表 明 当 n很 大 、 p很 小 时 有以 下 近 似 式 !)1( keppC kknkkn

17、 其 中 =npn 从 下 面 的 表 格 可 以 直 观 地 看 出 上 式 的 近 似 程 度 ,k按 二 项分 布 公 式 直 接 分 别 计 算 按 泊 松 近 似 公 式 计 =np=1： n=10 n=20 n=40 n=100 =np=1p=0.1 p=0.05 p=0.25 p=0.010 0.349 0.358 0.369 0.366 0.3681 0.385 0.377 0.372 0.370 0.3682 0.194 0.189 0.186 0.185 0.1843 0.057 0.060 0.060 0.061 0.0614 0.011 0.013 0.014 0.01

18、5 0.0154 0.004 0.003 0.005 0.003 0.004 由 泊 松 近 似 公 式 计 算 上 题 ： 9973.091!18!0812 88180 eeeXP分 析 结 果 ： 不 能 忽 视 小 概 率 事 件 ， 迟 早 会 发 生 。 3.泊 松 分 布 ：(1)设 离 散 型 随 机 变 量 X的 分 布 律 为,1,0! kkekXP k 其 中 0是 常 数 。 则 称 X服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 ，记 为 X()。 显 然 0! kekXP k 1! 00 eekekXP k kk 历 史 上 ， 泊 松 分 布 是 作 为 二 项 分 布

19、的 近 似 ， 于1837年 由 法 国 数 学 家 泊 松 引 入 的 . 近 数 十 年 来 ， 泊 松 分 布 日 益 显 示其 重 要 性 ,成 为 概 率 论 中 最 重 要 的 几 个 分 布 之 一 .在 实 际 中 ， 许 多 随 机 现 象 服 从 或 近 似 服 从 泊 松 分 布 . 由 泊 松 定 理 ， n重 贝 努 里 试 验 中 稀 有 事 件 出 现 的 次 数近 似 地 服 从 泊 松 分 布 . 我 们 把 在 每 次 试 验 中 出 现 概 率 很 小 的 事 件 称 作 稀 有 事 件 .如 地 震 、 火 山 爆 发 、 特 大 洪 水 、 意 外 事

20、 故 等 等 (2) 泊 松 分 布 背 景 ： 例 如 ， 在 一 个 时 间 间 隔 内 某 电 话 交 换 台 收 到 的 电 话的 呼 唤 次 数 、 一 本 书 一 页 中 的 印 刷 错 误 数 、 某 地 区 在 一天 内 邮 递 遗 失 的 信 件 数 、 某 一 医 院 在 一 天 内 的 急 诊 病 人数 、 某 一 地 区 一 个 时 间 间 隔 内 发 生 交 通 事 故 的 次 数 、 在一 个 时 间 间 隔 内 某 种 放 射 性 物 质 发 出 的 、 经 过 计 数 器 的 粒 子 数 等 都 服 从 泊 松 分 布 ， 泊 松 分 布 也 是 概 率 论 中

21、 的一 种 重 要 分 布 。 在 自 然 界 和 人 们 的 现 实 生 活 中 ,经 常 要 遇 到 在 随 机 时 刻出 现 的 某 种 事 件 .我 们 把 在 随 机 时 刻 相 继 出 现 的 事 件 所 形 成的 序 列 ,叫 做 随 机 事 件 流 . 若 事 件 流 具 有 平 稳 性 、 无 后 效 性 、 普 通 性 ， 则 称 该 事 件流 为 泊 松 事 件 流 （ 泊 松 流 ） .(3) 泊 松 分 布 产 生 的 一 般 条 件下 面 简 要 解 释 平 稳 性 、 无 后 效 性 、 普 通 性 .平 稳 性 : 在 任 意 时 间 区 间 内 ， 事 件 发

22、 生 k次 (k0)的概 率 只 依 赖 于 区 间 长 度 而 与 区 间 端 点 位 置 无 关 .无 后 效 性 : 在 不 相 重 叠 的 时 间 段 内 ， 事 件 的 发 生 是 相互 独 立 的 . 普 通 性 : 如 果 时 间 区 间 充 分 小 ， 事 件 出 现 两 次 或 两 次以 上 的 概 率 可 忽 略 不 计 . 因 此 ： 泊 松 分 布 在 管 理 科 学 、 运 筹 学 以 及 自 然 科 学的 某 些 问 题 中 都 占 有 重 要 的 地 位 . 例 1 有 300台 机 器 ， 工 作 相 互 独 立 。 发 生 故 障 概 率 为 0.01，通 常

23、 ， 一 台 机 器 的 故 障 可 由 一 人 来 修 理 （ 一 人 修 一台 ） ， 问 至 少 需 要 多 少 工 人 ， 才 能 保 证 当 设 备 发 生 故障 但 不 能 及 时 修 理 的 概 率 小 于 0.01。解 ： 设 需 要 配 备 修 理 工 人 数 为 N个 ， 设 备 同 时 发 生 故 障 的台 数 为 X台 ， 由 题 知 求 最 小 的 N为 多 少 ， 即 使 PXN=0.99) 因 为 Xb(300 , 0.01)， 由 于 n很 大 ， p很 小 ,故 用 泊 松分 布 近 似 kkkCkXP 300300 )99.0()01.0(查 表 可 得 :

24、 (0.9962 p. 383)N=8（ 最 小 的 ） 。 例 2 在 上 例 中 ， 由 一 个 人 负 责 维 修 20台 设 备 。 （ 1） 求 设 备 发 生 故 障 ， 而 不 能 及 时 修 理 的 概 率 ； （ 2） 又 若 由 三 个 人 共 同 负 责 维 修 80台 ， 求 设 备 及 时 修理 的 概 率 。解 ： （ 1） 设 X为 发 生 故 障 的 机 器 数 ,Xb(20， 0.01) X取 值 为 0,1,2,20. 因 为 一 人 只 能 修 一 台 机 器 ， 故 所 求 概 率 为 ： 0175.0!)2.0( !)2.0( )99.0()01.0(

25、2 2.02202 2.0 2020202 ek ek CkXPXP k kk k kkkk （ 2） 设 X为 发 生 故 障 的 机 器 数 ， Xb(80， 0.01) X取 值 ： 0， 1， 2， ， 80。 0091.0!)8.0( !)8.0()09.0()01.0(4 4 8.0804 804 8.08080 k kk k kkkk ek ekCXP结 论 ： （ 1） （ 2） ， 说 明 尽 管 情 况 2任 务 重 了 （ 一 个 人修 27台 ） ， 但 工 作 质 量 提 高 了 ， 也 说 明 ， 概 率 方 法 可用 来 讨 论 国 民 经 济 中 某 些 问 题

26、 ， 以 使 达 到 更 有 效 地 使用 人 力 、 物 力 、 资 源 的 目 的 ， 这 是 运 筹 学 的 任 务 ， 概率 论 是 解 决 运 筹 学 问 题 的 有 力 工 具 。 例 5 在 保 险 公 司 里 有 2500辆 车 参 加 抢 盗 保 险 ， 设 在 一 年里 一 辆 车 被 抢 盗 的 概 率 为 0.002， 每 辆 参 加 保 险 的 车 在一 月 一 日 付 12元 保 险 费 ， 而 被 抢 盗 时 车 主 可 由 保 险 公司 领 2000元 。 （ 1） 求 公 司 亏 本 的 概 率 （ 2） 求 获 利 不小 于 10000元 的 概 率 。解

27、； （ 1） 公 司 一 年 总 收 入 2500*12=30000， X： 一 年 中 被 抢 盗 的 车 数 。 Xb(2500 , 0.002),要 2000X30000 )5(000069.0!5 )998.0()002.0(1516 5 250016 25002500 k k k kkbke CXPP 公 司 亏 本 986305.0 !5 101000020003000010000 100 5 k kke XPXPP 获 利(2) （ ） 超 几 何 分 布 设 一 堆 同 类 产 品 共 N件 ， 其 中 有 M个 次 品 ， 现 从 中任 取 n个 (为 方 便 计 算 。 假

28、 定 n N-M)， 则 这 n个 中 所 含的 次 品 数 X是 个 离 散 型 随 机 变 量 ， X的 分 布 律 为 lmCCCmXP n N mn MNmM ,1,0 其 中 l=min(M， n) ,这 个 概 率 分 布 称 为 超 几 何 分布 。 三 、 其 它 常 见 的 分 布 ( )几 何 分 布 在 独 立 重 复 试 验 中 ， 设 A在 每 次 试 验 中 发 生 的 概 率均 为 p， 记 X为 A首 次 发 生 时 的 试 验 次 数 。 则 不 难 验 证 ，X具 有 如 下 分 布 律 pqkpqkXP k 1,2,1 1 这 个 概 率 分 布 称 为 几 何 分 布 。 （ ） 巴 斯 卡 分 布 在 独 立 重 复 试 验 中 ， 若 记 X为 A在 第 r次 发 生 时 的 试 验 次 数 ,则 X的 分 布 律 为 pqrrkpqCkXP rrkrk 1,1, 11 这 个 分 布 称 为 巴 斯 卡 分 布 。 分 布 函 数离 散 型 r.v.的分 布 律 连 续 型 r.v.的分 布 密 度分 布 函 数的 性 质 分 布 律与 分 布 函 数的 关 系 概 率 密 度与 分 布 函 数的 关 系