《外圆内方和外方内圆》

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1、研究主题杨冰飞教学内容教学年级外方内圆和外圆内方六年级课时安排 1外方内圆和外圆内方是人教版六年级上册第五单元圆新增内容，是 把 握 在学习了各平面图形的面积、圆的认识、圆的周长、圆的面积及圆环的面积的基 教 材 础上学习的。教材的文字和图片分析，由欣赏古代建筑物的图片引入，抽象出图 形提出问题：你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？针对圆内方的图形，书上 出现分割法，借助图形直观帮助学生突破“圆内方”难点。最后，在学生反思验 证过程中通过推理得到一般性规律，培养学生严谨的数学意识。前置学习单:1.痂字阪些乎面图形的面枳? 曲字过的平面图AS面积与圆關面积有1十2关至7说大正方托面枳是亦正方形面

2、积的几怡崛?你是塔久拾的?可画图表达想达“3 己知斤正殆的血辰為2 如” E1的吉桂是【j分来”回的周4是j丹卷” IS1的面积屋()平右如K ”国的絢珏:大正形的周任=1) !()(比的结果可LU保昌TT)4-在卞面的内.面一 锻大的正方形保留作圏痕迹.让别人看明削你屋怎金画出耳O课前有对学生进行访谈以及前测，95%的学生可以看出并且画图表达大正 方形面积是小正方形面积的2倍。100%的学生能理解圆的直径就是正方形的边 长并区分圆的周长和面积的计算方法。对于画圆内最大的正方形，约50%的学 生利用对折绘制；有30%的学生利用外切正方形绘制。可以看出，对于外方内 圆的面积，学生已经掌握，但是学

3、生对观察组合图形间的关系经验比较欠缺，认 识有限。整体教学目标上限目标下限目标适合学生1.结合具体情 境，学生通过画图、 分析、推理等活动 过程探究圆和正方通过画图、分析、 推理等活动，在探 究过程中掌握知 识，建立数学模型，能掌握计算此类图 形面积的方法，并 能准确计算。教学目标预设教学重、难点教学准备教学空间形式形的组合图形的面 积差和面积比的关 系，掌握计算此类 图形面积的方法， 并能准确计算。2、通过数学建 模的过程，得到一 般性结论，渗透分 割法，借助图形旋 转的动态方式帮助 学生积累经验，发 展几何直观，培养 学生发现问题、提 出问题、分析问题 和解决问题的能 力。灵活解决此类图形

4、计算问题。积累活动经验，发 展几何直观，串联 沟通已有的知识经 验和活动经验，能 方法迁移，解决类 似数学问题，可以 用动态的眼光看数 学图形。渗透数学文化，让 学生用数学的眼光 观察生活，提出有 价值的数学问题在小组讨论，全班 交流的过程中，推 理出一般性结论， 应用结论，解决简 单的外圆内方和外 方内圆的问题。体验数学与生活的 联系，感受学习数 学的乐趣。3、结合例题渗透传 统文化的教育，通 过体验图形和生活 的联系感受数学的 价值，提高学生对 数学的兴趣。教学重点：1. 认识外方内圆和外圆内方的组合图形的特征2. 掌握此类图形的面积方法教学难点：外圆内方的组合图形的特征分析随堂练习单，学

5、习课件等OOOO教学过程教学环节I教 师引领学 生活动设计意图及目标落实情一、问题导 入，明晰课 题（一）谈话引入，引发思考1. 学生前测作品呈现1 祢字密平面醉的面枳同学们，通过访谈和测试， 了解到你们都认为把圆平均分 成若干份，可以拼成近似的三 角形、梯形、长方形、平行四 边形，都可以推导出圆的面积 公式。不能拼成正方形。2. 思考：正方形与圆有什 么关系？3. 小结：看来正方形和圆 也有很亲密的关系。（二）图片欣赏，揭示课题1. 呈现图片：1. 全班学生分享 交流前测结果2. 学生交流圆与 正方形的关系。生1 :圆出于矩，?割圆术，其他图形没有这样的特 占。八、03. 在欣赏中国建 筑图

6、片中，感受 正方形与圆组合 的图形的特点： 外圆内方和外方 内圆的图形。4. 学生自主提问 生1 :两者面积比 的关系生2：两者面积差 的关系。板书：外方内圆和外圆1.学生前测单以及 访谈的问 题，找到学 生的学习1.圆与正方 形有亲密关 系，引导学生 思考：可以研2.中国建筑中经常见到这 样的设计，这两个图有什么相 同之处和不同之处？小结：我们把这样的设计 分别称为“外方内圆”和“外 圆内方”。究两者什么帧与学彎面縈关说系的想法：关 于圆与正方形的关3.学生提 出与价值 的数学问 题呢？面积不 相等，还可以 研究面积相差关系和倍数关系。激发 学生的好奇 心，培养学生发现问题和提出问题的能力。

7、2具体的情 境创设，让学 生抽象出图 形，有前面的内方积累，可以帮助学生提出 有价值的数学问题3.你想研究圆和正方形面 积的什么关系呢？4揭示课题：今天我们就 一起研究外方内圆和外圆内方 的面积。二、合作交 流，探究新 知（一）探究外方内圆1明确问题，正方形和圆 之间部分的面积是多少？2这个问题，你最少需要 知道几个数据？补充条件：圆的半径是1 米3.当圆的半径是r,外方 内圆的面积差是多少？讨论交 /流0汇报如下4反思验证：r可以表示 数字几呢？验证一下，当r是1时， 面积差成立。（二）探究外圆内方1呈现学生外圆内方作品2. 说一说，你是怎么画 的？3. 明确问题，正方形和圆 之间部分的面积

8、是多少？4解决这个问题，你最少 需要知道几个数据？5挑战一下，只给一个条 件：圆的半径是1米6仔细观察画的图，有什（一）1. 学生独立尝 试，汇报解释每 一步算式的意 义。2. 小组讨论，交 流字母r,外方内 圆的面积差是多 少？3. 过渡到字母 时，抽象成推理 过程，得到一般 性的规律，学生 在这个过程中积 累一般性的问题 解决经验。4反思验证，再 由一般性回到特 殊性，培养学生 反思严谨的数学 习惯。（二）1.学生画法： 方法1:利用对 折，画两条互相 垂直的直径，连 接交点绘制 方法2：利用外切 正方形，连接交 点绘制。1. 基于学 情前测分 析，该问题 简单，学生 已经掌握。2. 给小

9、组 充分交流 的时间，部 分思维弱 的学生推 理一般化 的规律时， 可能不知 道怎么表 达，多给学 生一些时 间自我梳 理，同时要 不断鼓励 表达自己 的想法。3突破重 难点时，利 用好画图 过程中的 直观图，学1.经过观察、 分析、推理获 得一般性的 规律，积累一 般性的问题 解决经验，反 思验证再由 一般性回到 特殊性。2通过学生 的画图过程， 知道外圆内 方的画法，为 下面探究小 正方形的面 积提供直观 图形，通过学 生的对折方 法，可以明显 看出作图痕 迹，根据痕 迹，学生可以 自然地联想 到分割法和 其它方法，进 行推理探究， 为突破难点 提供经验积么发现？独立思考后，同桌互 相交流

10、。(三)合作交流，深入探究1.分割法探究外圆内方根据画法一，想到分割法。(1 )分割成两个三角形结合学生回答课件展示。(2)分割成四个小三角形2.外切大正方形，旋转法根据画法二，想到旋转法。图(1) 图 图 (3)借助课件，观察图1和图2,有什么相同点和不同点吗？(1) 图1是怎么变成图2 呢？动画演示明确：图1中的圆和小正 方形通过旋转得到图2,图形 形状大小不变，面积不变。(2) 观察图2，思考小正 方形面积还可以怎么计算？(3) 根据学生的回答，呈 现图(3)交流汇报如下：Xl=4平方米対醉d-2：2少IE万駆施刊廖-3 =1. Id平冇* 槪S囲田虫I却硏(4)改变数据，圆的半径 是2

11、、3、4米，计算出外圆内 方面积差。请任意选择一个数据计生有脚手 架。4.旋转动 态法，也是 沟通学生 的知识和 经验，动态 看图。5要充分 给学生交 流方法和 算式的意 义的时间， 让学生在 经验的基 础上去推 理，在反思 验证中得 到一般化 结论。累和方法。2.学生观察画的 图，根据痕迹， 学生可以自然地 联想到分割法和 其它方法。(三)1讨论交流，分 享想法生1 :小正方形看 成两个三角形 追问：三角形的 底和高分别是多 少？相当于什 么？(底和高相当于 圆的直径和半 径。) 结合学生回答课 件展示。生2：分割成四个 小三角形。追问：每个三角 形的底和高各是 多少呢？相当于 什么？(底和

12、高相当于 圆的半径。)借助 课件，呈现动态 旋转图，帮助学 生理解切割的三 角形的底和高。2.在多个例子中 计算，学生在汇 报中解释每一步 算式的道理，帮3.分割的方 法可以很好 地解决，但是 旋转的方法， 圆外接大正 方形，打开学 生的思维，沟 通联系之前 学过的知识 和经验：如前 测的大正方 形面积是小 正方形面积 的2倍，学生 自然可以突 破难点，化未 知为已知。算，汇报交流，具体说一说用 的是什么方法。（5）当圆的半径是r，外 圆内方的面积差是多少？讨论 交流。3.汇报整理，交流验证（1）分割2个三角形方法小结梳理：它们的面积比 分别是多少？: Isi:小IE方莎 q ： tt ：卩助

13、学生积累经 验，发现规律。3学生通过推 理，得到一般性 规律。学生梳理圆，小 正方形，大正方 形的面积比的关 系三、巩固练习，强化认识3）反思验证：当r=2、3、4，时，成立。（四）认识联系，完善脉络是三角形的底,r角形的高,2）旋转法三、应用新 知，解决生 活问题。（一）基本过关I一一百删慨聊彌気筑SS紬敢牺瞬箱 的止方枷曲腰$舛（二）巩固提高（三）拓展延伸学生梳理 知识的叙 述，根据什 么方法知 道的，完善 脉络体系。1解决方 法多样，让 学生能灵 活应用所 学知识来 解决。2.学 生由内接 正方形与 外切大正 形面积探 究，将方法 迁移到正 方形的内1.基础练习 学生直接应 用外圆内方面

14、积 差的公式，也可 以自己用方法推 理出。2巩固提高学生1:通过 外面画出整个大 正方形后，可以 知道大正方形的 面积，通过面积 比来算出圆的面 积学生2：小正 方形的面积就是分层练习，发 展学生的数 学思维。发散 思维，通过图 形不断地延 伸，学生由欣 赏数学图形 美上升到数 学思维美，发 现一般性规 律，拓展学生 的思维1. 正方形的面积是2平 方米，小圆和大圆的面 积比是多少？2. 动画演示：如果不停地 画下去，你发现什么规 律？r 2推理出圆的 面积。3.拓展延伸 联系比的知识。 结论：正方形的 面积从内到外依 次扩大2倍，圆 的面积从内到外 也是依次扩大2 倍。接圆和外 接圆的面 积

15、探究，并 通过图形 不断地延 伸，发现一 般性规律， 拓展学生 的思维。四、全课总 结，畅谈收 获请看黑板回顾一下，通过本节 课的学习，你有什么收获？谁-U 、/、/来说一说。学生自由总结。谈感想，总 结、提升， 激发学生 进一步学 习的欲望。学生回顾学 习过程，对知 识和方法的 梳理，形成系 统的知识体 系。板书设计外方内圆和外圆内方大右形的面积是現I 2当圆的半径是时園葩面积是玄鸡小EE方形的面积是定r 2大正方形:圆：小正方形=4 r 11 : 2设计说明一、基于学情，以生为本，培养问题能力本堂课的每个环节学生是主体，坚持“以生为本”的教学理念，根据前测问题的精心设 计，分析学情，准确把

16、握教学重难点。由数学文化，圆出于矩及中国建筑图片欣赏，抽象出 图形，引发学生思考，发展学生发现问题、提出有价值的数学问题的能力，借助几何直观， 培养学生分析问题、解决问题的能力。二、重视方法，积累经验，寻求解决路径1追本溯源，动手操作搭支架学生第一次来研究不同图形间的面积关系，分析圆和内接正方形之间的联系是有一定的 困难的。追本溯源，图形是如何产生的？通过动手画外圆内方的过程，学生借助直观图形的 作图痕迹，自然联想到分割法。2沟通联系，动态眼光看图形借助旋转的图形，研究圆内方，是在联系外切正方形和内切正方形的面积关系，可以很 好的转化成前测已经解决的问题，串联学生已有的知识经验来突破难点，并且

17、打开学生的思 维方式，让学生感受到数学的趣味。三、精选习题，思维提升，体会数学的美分层练习是小班化的特色，在学生想清和说清的基础上，为了让学生进一步内化知识，形 成扎实的转化，发展能力，同时体现新课标倡导的“人人学有价值的数学；人人获得必需的 数学；不同的人在数学上得到不同的发展”的新理念，我设计了基础性练习、形成性练习、 综合性的练习和拓展训练四个层次的练习，为每一位学生配备了合口的“自助餐”，让每一个 学生都能收获到成功的果实。练习层层递进，学生在方法的感悟上灵活解决问题。学生对正 方形的内接圆和外接圆的面积探究，发散思维，通过图形不断地延伸，学生由欣赏数学图形 美上升到数学思维美，发现一般性规律，拓展学生的思维。班中有近5名同学基础比较差，上课注意力不够集中，需要教师经常提醒、提问，一些简 单的题目让他们回答，调动积极性；班中有近8名学生思维比较敏捷，在一些实际应用中应 该让他们发挥主体引导作用，能在他们思路的启迪下进行模仿性学习，然后进行创造性学习。