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1、2006年第7期 中等数学 2123 对两道国家集训队试题的探究 贺 斌 (湖北省谷城县第三高级中学,441700)1 题好解巧 易推难证下面两道国家集训队试题及其解答颇耐人寻味.题1 在首项系数为1的二次函数中，找出使取最小值的函数表达式.（1990，中国数学奥林匹克国家集训队试题）题2 记.当a、b、c取遍所有实数时，求F的最小值. （2001，中国数学奥林匹克国家集训队选拔考试） 注意到，题2可等价转化为题3。 题3 记.当a、b、c取遍所有实数时，求F的最小值. 文1对题1的解答为（表述略有改动）： 令，则 . 当且仅当,即时,上式等号成立. 故,此时,. 文2注意到了题2与题3的等价
2、性,并给出了题3的解答(表述有改动,并略去题2的解答): 令,则 . 当且仅当即时,上式等号成立. 故,此时,. 由题1及题3,通过类比,有如下推广. 题4 在首项系数为1的次实系数多项式中,找出使取得最小值的函数表达式,并求M的最小值. 题4在的情况下是否有解?在有解的情况下,如何找到满足题4要求的和M的最小值?仅仅通过简单模仿文1、2的解答难以奏效，它需要我们对文1、2的解法有实质性理解，并进行细致探究。2 以退为进 寻觅本质 反思文1对题1、文2对题3的解答过程，容易发现两文放缩成功的关键在于如下的两个恒等式成立： 对于任意首项系数为1的二次实系数多项式，有 对于任意首项系数为1的三次实
3、系数多项式，有 解决题4的困难在于：我们不知道对于一般的首项系数为1的n次实系数多项式，是否存在类似式、的恒等式？如果存在，又是什么样子？ 文1对题1、文2对题3的解答，使我们猜想恒等式、中所涉及的自变量的值1、0、-1及1、-、-1应该隐藏着某种特殊规律。仔细推敲后发现，如果令（因为，则1、0、-1及1、-、-1可分别写为及，而且满足题1、题3的多项式可分别写为此乃题1、题3之本质。于是，得到如下两个命题： 命题1 设.则对于任意首项系数为1的次实系数多项式，有 命题2 是使题4中的M取得最小值的唯一n次实系数多项式. 先证明命题1. 证明：设（其中），则式左边为 注意到的任意性，于是，只须证明 上式的证明见文3，故命题1成立.下面证明命题2. 证明：记由欧拉公式有 而,故 是首项系数为1的次实系数多项式. 对于任一首项系数为1的n次实系数多项式,据命题1有 当且仅当即时，上式等号成立. 而 故是使M取得最小值的多项式由于n次多项式的个系数由唯一确定，故是唯一的.综上，命题2获证.据命题1、2，题4的解答已无须赘言.参考文献：1 郝保国.怎样解复合最值问题.中等数学，1997（5）.2 杨日武.一道竞赛题的简解J.中等数学，2002（3）.3张树胜.一个条件等式有奖解题擂台(622)解答.中学数学教学,2005(3) 5
对两道国家集训队试题的探究
