习题课学案3__集合间的运算

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1、开始开始 1.一般地，由所有属于集合一般地，由所有属于集合A或属于集合或属于集合B的元素组成的集合，称为集合的元素组成的集合，称为集合A与与B的的 ，记作，记作 ，即，即AB=。2.一般地，由属于集合一般地，由属于集合A且属于集合且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合的所有元素组成的集合，称为集合A与与B的的 ，记作，记作 ，即，即AB=.3.（1）一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，）一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为那么就称这个集合为 ，通常记作，通常记作 .（2）对于一个集合，由全集）对于一个集合，由全集U中不属于集合中不属

2、于集合A的所有元素组成的集合称的所有元素组成的集合称 为集合为集合A相对于全集相对于全集U的的 ，记作，记作 ，即即 .并集并集ABx|xA或或xB交集交集ABx|xA,且且xB全集全集U补补 集集U返回返回 4.（1）1.并集并集ABx|xA或或xB对于任意的集合对于任意的集合A，B，有，有AA=，AA=，AB=,AB=.若若AB=B,则则A B；若；若AB=B,则则B A.（2）由补集的定义可知，对任意集合）由补集的定义可知，对任意集合A，有，有A(CUA)=,A(CUA)=.5.用集合语言描述下面几个图：用集合语言描述下面几个图：（1）A B,AB=,AB=；（2）A B,AB=,AB=

3、；（3）A=B，AB=,AB=.BAABA(B)A(B)AABABAU返回返回 学点一学点一 基本概念的考查基本概念的考查已知已知U=1,2,3,8,A=1,2,3,4,B=2,3,4,5.求求:（1）AB;（2）A(CUB);（3）(CUA)(CUB);（4）(CUA)(CUB)【分析分析】由集合的交、并、补概念直接求解由集合的交、并、补概念直接求解.【解析解析】U=1,2,3,8,A=1,2,3,4,B=2,3,4,5,CUA=5,6,7,8,CUB=1,6,7,8.（1）AB=1,2,3,42,3,4,5=2,3,4.（2）A(CUB)=1，2，3，41,6,7,8=1,2,3,4,6,

4、7,8.（3）(CUA)(CUB)=5，6，7，81,6,7,8=6,7,8.（4）(CUA)(CUB)=5，6，7，81,6,7,8=1,5,6,7,8.【评析评析】集合的简单运算可由基本概念直接求解集合的简单运算可由基本概念直接求解.返回返回 已知集合已知集合S=x|1x7,A=x|2x5,B=x|3x7.求：求：(1)(CSA)(CSB);（2）CS（AB）;(3)(CSA)(CSB);（4）CS（AB）.解解：AB=x|3x5,AB=x|2x7,CSA=x|1x 2x|5x7,CSB=x|1x37.（1）（）（CSA）(CSB)=x|1x2或或x=7.（2）CS（AB）=x|1x2或或

5、x=7.（3）（）（CSA）(CSB)=x|1x3或或5x7.（4）CS（AB）=x|1x3或或5x7.返回返回【解析解析】M=x|y2=x+1=x|x+10=x|x-1，P=x|y2=-2(x-3)=x|x3，MP=x|x-1，且，且x3=x|-1x3.故应选故应选C.学点二学点二 交交 集集【分析分析】由集合的定义由集合的定义,集合集合M表示方程表示方程y2=x+1中中x的范围的范围,集合集合P表示方程表示方程y2=-2(x-3)中中x的范围的范围,故应先化简集合故应先化简集合M,P.【评析评析】理解集合的表示形式理解集合的表示形式,掌握其意义掌握其意义,利用利用交交 集定义可解决所给问题

6、集定义可解决所给问题.已知集合已知集合M=x|y2=x+1,P=x|y2=-2(x-3),那么那么MP=()A.(x,y)|x=,y=B.x|-1x3C.x|-1x3 D.x|x3 C返回返回 设集合设集合A=(x,y)|2x+y=1,x,yR,B=(x,y)|a2x+2y=a,x,yR,若若AB=,求求a的值的值.解解：集合：集合A,B的元素分别是二元一次方程的元素分别是二元一次方程2x+y=1和和a2x+2y=a的解的解,因为两方程的公共解集因为两方程的公共解集AB=,所以方程组所以方程组无解无解.列方程组列方程组 得得(4-a2)x=2-a则则 即即a=-2.返回返回 学点三学点三 并并

7、 集集设设A=4,5,6,8,B=3,5,7,8,下列集合中与下列集合中与AB相等的集合相等的集合是是()A.4,5,6,7,8 B.3,4,6,7,10，16C.3,4,5,6,7,8,9 D.3,4,5,6,7,8【分析分析】注意到集合注意到集合A与集合与集合B的并集的定义中的并集的定义中:(1)集合集合AB中的元素必须是集合中的元素必须是集合A或集合或集合B的元素的元素,(2)集合集合AB包含集合包含集合A与集合与集合B中的所有元素中的所有元素.D返回返回 已知已知A=x|x-1或或x3,B=x|ax4,若若AB=R,则实数则实数a的的取值范围是取值范围是()A.3a4 B.-1a4 C

8、.a-1 D.a-1解解：A=x|x-1或或x3,B=x|ax2m-1，即，即m2，此时总有此时总有AB=A =A成立成立.（2）若）若B ，则，则 解得解得2m3.综合综合(1)(2)知知,m的取值范围是的取值范围是m|m2m|2m3=m|m3.【评析评析】由由AB=A可得可得B A,而而B A包括两种情况，包括两种情况，即即B=和和B .本题常犯的错误是把本题常犯的错误是把B=漏掉而只讨论漏掉而只讨论B 这一种情况这一种情况.返回返回 设集合设集合A=a2,a+1,-3,B=a-3,2a-1,a2+1,AB=-3,求实数求实数a的值的值.解：解：AB=-3,-3B.a-3=-3或或2a-1

9、=-3,a=0或或a=-1.当当a=0时时,A=0,1,-3,B=-3,-1,1,此时此时AB=1,-3,与与AB=-3矛盾矛盾,故舍去故舍去.当当a=-1时时,A=1,0,-3,B=-4,-3,2,满足满足AB=-3,a=-1.返回返回 学点六学点六 VennVenn图的应用图的应用【分析分析】关于集合的交、并、补的问题关于集合的交、并、补的问题,通常可以由分析法通常可以由分析法找出集合中一定有或一定没有的元素找出集合中一定有或一定没有的元素,对它们逐一检验对它们逐一检验;或利用或利用Venn图图,把元素一一放入图中相应位置把元素一一放入图中相应位置,从而写出所从而写出所求集合求集合.【解析

10、解析】解法一：利用解法一：利用Venn图图,在图中在图中标出各个元素的相应位置标出各个元素的相应位置,可以直接写可以直接写出出A与与B,A=2,3,5,7,B=1,2,9.若集合若集合U=x|x是小于是小于10的正整数的正整数,A U,B U,且且(CUA)B=1,9,AB=2,(CUA)(CUB)=4,6,8,试求试求A与与B.返回返回 解法二：解法二：AB=2,(CUA)B=1,9,B=（AB）(CUA)B=1,2,9.AB=CU(CUA)(CUB)=1,2,3,5,7,9,又又B=1，2，9，AB=2,A=2,3,5,7.【评析评析】事实上事实上,在解决这类问题时在解决这类问题时,将将V

11、enn图的使用与分图的使用与分析法相结合更准确简捷析法相结合更准确简捷.返回返回 设设A，B都是不超过都是不超过8的正整数组成的全集的正整数组成的全集U的子集的子集AB=3,(CUA)(CUB)=1,8,(CUA)B=4,6,求集合求集合A，B.解解：U=1,2,3,4,5,6,7,8，在，在Venn图中将图中将1,2,3,4,5,6,7,8分别填入到相应的位置中去，分别填入到相应的位置中去，则由则由AB=3,CUACUB=1,8,(CUA)B=4,6得得A(CUB)=2,5,7.A=2,3,5,7,B=3,4,6.返回返回 学点七学点七 集合运算的应用集合运算的应用已知集合已知集合S=1,3

12、,x3+3x2+2x,A=1,|2x-1|,如果如果CSA=0,则这样的实数则这样的实数x是否存在是否存在?若存在若存在,求出求出x;若不存在若不存在,说明理说明理由由.【分析分析】解决此问题的关键是正确理解解决此问题的关键是正确理解CSA=0的意义的意义,它有两层含义它有两层含义,即即0S,但但0 A,这样解题思路就清楚了这样解题思路就清楚了.【解析解析】CSA=0,0S,但但0 A,x3+3x2+2x=0,即即x(x+1)(x+2)=0,解得解得x1=0,x2=-1,x3=-2.当当x=0时时,|2x-1|=1,A中已有元素中已有元素1,不满足集合的性质不满足集合的性质;当当x=-1时时,

13、|2x-1|=3,3S;当当x=-2时时,|2x-1|=5,但但5 S.实数实数x的值存在的值存在,且它只能是且它只能是-1.返回返回【评析评析】解答此题时解答此题时,我们由我们由CSA=0求出求出x1=0,x2=-1,x3=-2之后之后,验证其是否符合题目的隐含条件验证其是否符合题目的隐含条件A S是必要的是必要的,否否则就会误认为则就会误认为x1=0或或x3=-2也是所求的实数也是所求的实数x,从而得出错误从而得出错误的结论的结论.集合概念及其基本理论是近、现代数学的最基础集合概念及其基本理论是近、现代数学的最基础的内容之一的内容之一,学好这部分知识的目的之一就是在于应用学好这部分知识的目

14、的之一就是在于应用.因此，一定要学会读懂集合的语言和符号因此，一定要学会读懂集合的语言和符号,并能运用集合并能运用集合的观点研究、判断和处理简单的实际问题的观点研究、判断和处理简单的实际问题.返回返回 解解：（：（1）如）如A=1,2,3,B=2,3,4,则则A-B=1.（2）不一定相等，由（）不一定相等，由（1）知）知B-A=4，而，而A-B=1，B-AA-B.再如再如A=1，2，3，B=1,2,3,A-B=，B-A=,此时此时A-B=B-A.故故A-B与与B-A不一定相等不一定相等.（3）因为）因为A-B=x|x6,B-A=x|-6x4,A-(A-B)=x|4x6,B-(B-A)=x|4x

15、4,B=x|x|6，求，求A-（A-B）及）及B-（B-A），由此），由此你可以得到什么更一般的结论？（不必证明）你可以得到什么更一般的结论？（不必证明）返回返回 1.1.在解题时如何用好集合语言在解题时如何用好集合语言?解集合问题解集合问题,不仅仅是运用集合语言不仅仅是运用集合语言,更重要的是明确集合语言更重要的是明确集合语言所蕴含的真实的数学含义所蕴含的真实的数学含义,集合语言的转换过程集合语言的转换过程,实质就是在进实质就是在进行数学问题的等价转换时行数学问题的等价转换时,向着我们熟悉的能够解决的问题转向着我们熟悉的能够解决的问题转化化.2.2.在学习时应注意什么问题在学习时应注意什么问

16、题?(1)(1)对于交集、并集、全集、补集等概念的理解对于交集、并集、全集、补集等概念的理解,要注意教材中要注意教材中的实例和的实例和VennVenn图的直观作用图的直观作用.(2)(2)要善于将三者进行比较记忆要善于将三者进行比较记忆,找出它们之间的联系与区别找出它们之间的联系与区别.返回返回(3)(3)注意在集合运算中注意在集合运算中,运用运用VennVenn图图,借助于数轴等几何方借助于数轴等几何方法直观理解法直观理解.(4)(4)学会集合语言的运用学会集合语言的运用,并逐渐学会用集合的观点研究并逐渐学会用集合的观点研究事物的内涵与外延事物的内涵与外延.3.3.怎样理解全集和补集？怎样理

17、解全集和补集？全集并非包罗万象，含有任何元素的集合，它仅仅含有全集并非包罗万象，含有任何元素的集合，它仅仅含有我们所要研究的问题中所涉及的所有元素，如研究方程我们所要研究的问题中所涉及的所有元素，如研究方程实根，全集取为实根，全集取为R;R;研究整数，全集取为研究整数，全集取为Z Z，同时，要理，同时，要理解补集的定义的解补集的定义的 用法用法.返回返回 1.1.交集与并集是集合的两种不同运算交集与并集是集合的两种不同运算,对它们概念的理对它们概念的理解要特别注意解要特别注意“且且”与与“或或”的区别的区别.交集和并集的交集和并集的符号符号“”“”“”“”既有相同的地方既有相同的地方,但又完全

18、不同但又完全不同,不不要混淆要混淆.2.2.对于交集对于交集“AB=AB=x|xAx|xA,且且xBxB”,”,不能简单地认不能简单地认为为ABAB中的任一元素都是中的任一元素都是A A与与B B的公共元素的公共元素,或者简单地或者简单地认为认为A A与与B B的公共元素都属于的公共元素都属于AB,AB,这是因为并非任何两这是因为并非任何两个集合总有公共元素个集合总有公共元素.3.3.对于并集对于并集“AB=AB=x|xAx|xA,或或xBxB”,”,不能简单地理不能简单地理解为解为ABAB是由是由A A的所有元素与的所有元素与B B的所有元素组成的集合的所有元素组成的集合,这是因为这是因为A

19、 A与与B B可能有公共元素可能有公共元素返回返回 4.Venn4.Venn图在研究集合与元素、集合与集合关系中有广图在研究集合与元素、集合与集合关系中有广泛的应用泛的应用,它主要体现在用图示帮助我们加强问题的理它主要体现在用图示帮助我们加强问题的理解解,是数形结合在集合中的具体体现是数形结合在集合中的具体体现,特别是在解决列特别是在解决列举法给出的集合运算中应用广泛举法给出的集合运算中应用广泛.5.5.解决集合问题解决集合问题,应从元素入手进行分析处理应从元素入手进行分析处理.在顺向在顺向思维受阻时思维受阻时,改用逆向思维改用逆向思维,可能可能“柳暗花明柳暗花明”,从这个从这个意义上讲意义上讲,补集思想具有转换研究对象的功能补集思想具有转换研究对象的功能,这是转这是转化思想的又一体现化思想的又一体现.返回返回