《微分方程作业解答》PPT课件.ppt

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1、1 2 2 0 , xy y y y x e 22 xxy x e x e 2 xy x e 1.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解 : 所以 不是所给微分方程的解 第七章 微分方程 作业题 解 (1) 因为 xxxx exxexeey 2222 xxx exxee 242 yyy 2 xxx exxee 242 xx exxe 224 xex 2 02 xe 2 121 1 2 2xxy C e C e 12221 1 2 2xxy C e C e 1 2 1 2()y y y 1 2 1 2221 1 2 2 1 2 1 1 2 2()x x x xC e C e C e C e

2、121 2 1 2xxC e C e0 1212xxy C e C e 所以 是所给微分方程的解 因为 解 0)( 2121 yyy xx eCeCy 21 21 3 (1)曲线在 的切线斜率等于该点横坐标的平方 ),( yx 曲线上点 处的法线与 轴的交点为 ,且线段 ),( yxP x Q 被 轴平分 . yPQ 20y y x 由已知所求微分方程是 则 处的法线斜率为 由条件， 点的坐标为 从而有 即 2yx 1 y ,0 x 01y x x y 解 设曲线为 解 设曲线为 2. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程 ),( xyy ),( xyy ),( yxP Q 4 ln (

3、ln ) ln lny x C 3 求下列微分方程的解 : 解 分离变量 两边积分 即 通解为 ln 0 x y y y 11dd ln yxy y x 11dd ln yxy y x cxye 2 ( )y x y a y y 2 2 11( 1 ) , d d 1x a y a y y xa y a x 解 分离变量得 两边积分得 1)1l n ( 1 Cax ay 即 Caxay )1l n ( 1 5 0 x y x x y ye e d x e e d y 解 分离变量得 即 两边积分 故通解为 1 d 1 dy x x ye e y e e x dd11 yx yx eeyx ee

4、 dd11 yx yx eeyx ee ln 1 ln 1 lnyxe e C 11xye e C 6 2 40y d x x x d y 4 1 1dd 4yxy x x 4l n l n l n ( 4 ) l ny x x C 4 ( 4 )y x C x 解 分离变量得 两边积分 故通解为 4 1 1dd 4yxy x x 7 s i n l n ,y x y y 2x ye tan 2xCye 2x ye tan 4Cee 1C t an 2xye 解 分离变量得 两边积分 即 或 由 得 故方程的特解为 : 11dd ln sinyxy y x 11dd ln sinyxy y x

5、 ln ( ln ) ln t a n ln2xyC 8 c o s 1 s in 0 xy d x e y d y 0,| 4xy s in dd c o s 1 x x yeyx ye sin dd c o s 1 x x yeyx ln c o s ln 1 lnxy e C c o s 1xy C 0| 4xy 0c o s 1 4 Ce 2 4C 2c o s 14 xye (6) 解 分离变量得 两边积分得 即 或 由 得 所以特解为 9 4. 镭的衰变有如下的规律 ：镭的衰变速度与它的现存 量 R 正比。 由经验材料得知，镭经过 1600年后，只余 原始量 R0的一半。试求镭的量

6、 R与时间 t的函数关系 d d R R t d dR t R 即 由题设知 解 1ln R t C 1CtR C e C e两边积分得 故 0t 0RR因为当 时 故 0 tR R e 即 00R Ce C 0 1 2RR 1600 00 1 2 R R e 1600t 又当 时 故 ln 2 1600 l n 2 0.000 4331600 00 t tR R e R e 从而 因此 10 yu x d ln d uu x u u x 11dd ( ln 1 ) uxu u x ln ( ln 1 ) ln lnu x C 1Cxue yu x 1Cxy xe 5 求下列齐次微分方程的解

7、: 解 此题是齐次方程 ,令 则原方程化为 即 两边积分得 即 将 代入上式得原方程的通解为 lnd y yxyd x x 11 y x y x e e y x y x 21 )1(2 d d ( 1 2 ) 2 ( 1 ) 0 xx yy xe d x e d y y 解 原方程变形为 令 xu y u u e eu y uyu 21 )1(2 d d 则上式化为 u u e eu y uy 21 2 d d 即 分离变量 y yueu e u u d1d221 两边积分得 即 Cyeu u lnln)2l n ( Ceuy u )2( xu y将 代入上式得原方程的通解 Ceyxy yx

8、)2( 即 Cyex yx 2 12 22 0( 3 ) 2 0 , 1xy x d y x y d x y 2 2 2 2( 3 ) ( d d ) 2 d 0 x u x u x x u x u x 2 2 3y x y 解 这是齐次方程 2 3 31ddu ux u u x 即 则方程化为 3 1 1 1dd 11 uxu u u x 或 两边积分得 231u C x u即 yu x 2 2 3y x C y将 代入上式得原方程的通解为 由 0 1xy 1C得 故所求特解为 yu x y xu即 令 Cxuuu lnln)1l n ()1l n (ln3 13 1 , 2x xyyy y

9、x d1 d uu x u xu 21 ln 2 u x C 222 ( l n )y x x C 222 ( l n 2)y x x 解 1ddu u x x即 两边积分得 yu x将 代入上式得原方程的通解为 1 2xy 2C 由 得 故所求特解为 yu x 则原方程化为 令 14 )00( ,O )1,1(A , ),( yxP ,2x AO 6 设有联接点 和 的一段向上凸的曲线弧 对于 曲线弧 上任一点 与直线段 所围图形的面积为 求曲线弧 的方程 ,OA 曲线弧 OP OP 解 设所求曲线弧 的方程为 )( xyy )10( x 2 0 1( ) d ( ) 2 x y x x x

10、 y x x由题意得 两边求导得 11( ) ( ) ( ) 222y x y x x y x x 即 4yy x yu x令 d 4 d uu x u x 4ddux x则有 ,即 15 1C因而 从而所求方程为 在曲线上 ， 由于 (1,1)A 4 l ny x x C x yu x将 代入上式得方程的通解为 4 lnu x C 两边积分得 00 0ln4 x xxxxy 16 12 3y y x xx 11dd 2 3dxxxxy e x e x Cx d12 3x x x Cxx d21 32x x x Cx 3 2 21 1 3 1 322 3 2 3 2 Cx x x C x x

11、解 原方程变为 由通解公式 ,得 7 求下列微分方程的解 : 2 3 2x y y x x 17 2( 1 ) 2 c o s 0 x y x y x 22 2 c o s 11 xxyy xx 22dd11 2 c o s d 1 xxxx xx xy e e x C x 2 22 2 1 c o s ( 1 ) d 11 1 ( sin ) 1 x x x C xx xC x 解 原方程变形为 所以 18 ln ( ln ) 0y y d x x y d y d 1 1 d ln x x y y y y 11dd ln ln1 dyyy y y yx e e y C y 11 l n dl

12、n y y Cyy 21 1 1ln ln ln 2 2 ln Cy C y 解 原方程变形为 由一阶线性微分方程的通解公式 ,得 19 sin ,1 x d y y x y d x x x 11ddsin dxxxx xy e e x Cx 1 sin 1d ( c o s )x x x C x C x x x 1 ( 1 c o s )yx x 解 由一阶线性微分方程的通解公式 ,得 1xy 1C 由 得 故所求特解为 20 2 13 23 1 , 0 x d y x yy d x x 22 33 2 3 2 3dd 1d xxxx xxy e e x C 2 2 2 2 1 1 1 1

13、33 3 11d 2 x x x xx e e x C x e e C x 2 1 1 31 1 2 xy x e 解 由一阶线性微分方程的通解公式 ,得 故所求特解为 1 0 xy 1 2C e 得 由 21 5dy y xy dx dd54zyy xx d d 44 z zx x 44 41 ( 4 ) 4 d x d x xz e x e d x C x C e 4 4 11 4 xx Ce y 解 这是一个伯努利方程 . ,则 原方程可化为 由一阶线性微分方程的通解公式 ,得 通解为 0y（另有一特解 ） 4zy令 22 2()dy xy dx ar c t anx u C ar c

14、t an ( )x x y C 解 2 dd 1 ux u 即 两边积分得 u x y将 代入上式 ,得原方程的通解为 t a n ( )y x x C 即 2d 1 d u u x 则原方程化为 u x y令 23 ( ln ln )x y y y x y d 2 1d lnu u u uxu x x x x x 解 则原方程化为 Cxue即 Cxxy eu xy将 代入上式得原方程的通解 1 Cxye x即 u xy令 两边积分 ln ln ln lnx C u 即 11ddlnxux u u 24 2y x y 0 0 xy dd 2 d 2 dxx xxy e xe x C e xe

15、x C 2 2 2 2x x x xe x e e C C e x 2 ( 1 )xy e x 解 由题意知 并且 根据一阶线性微分方程的通解公式得 0 0 xy 2C 由 得 故所求曲线的方程为 8. 求一曲线的方程 ,这曲线通过原点 ,并且它在 点 处的切线斜率等于 . 2xy),( yx 25 2 1( s in ) c o s2 xy x x d x x c 2 1 yy 1 1 2t a n d l n | c o s |y x C x x C C 12ln | c o s |y x C C 解 解 方程不显含 y yp ,令 1t a ny p x C ,即 1ar c t an

16、p x C两边积分得 原方程的通解为 9.求下列微分方程的解 : 21pp 则原方程化为 , 即 2 1 dd 1 pxp dxcxxy )c o s2( 1 2 21 3 s i n6 cxcxx siny x x 26 0 xy y 1 d ln 1 11 x xx Cp C e C e x 12lny C x C 0 x p p 则原方程化为 1 0pp x 即 由一阶线性齐次方程的通解公式得 1Cy x 即 1 12d ln Cy x C x C x 于是 原方程的通解为 yp 解 方程不显含 ,令 y 27 2 2 0y y y d , d 220py p p y dd .2py p

17、y ,121ln ln lnpCy 12Cy y 3 12y C x C 解 d d dd d dp y pypy x y 则 原方程化为 两边积分得 即 原方程的通解为 令 py 28 3 ( ) y y y 21 11 d l n si nt anx C y y CyC 21a r c s in xy C e C (5) 解 0p yC由 得 2d 10 d p p y 这是原方程的一个解 再由 1ar c t an p y C 1t a ny p y C 得 即 从而 故原方程的通解为 令 dd pyp y 则 py 原方程化为 3dd pp p py 即 2d 10 d ppp y 2

18、9 3 11 1 0 , 1 , 0 xxy y y y 3 d 10 d pyp y d3 1dp p y y 2 12 1pC y 2 11 Cyy y 2 dd1 y yx y 221 ( )y x C 21 ( 1 )yx 22y x x .2( 1 ( 1 ) , ( 1 ) 1 )y x y 舍 去 因 (6) 解 原方程化为 或 两边积分得 ，两边积分得 从而原方程的特解为 py dd pyp y 则 令 21 y y y 111 , 0 xxyy 由 ,得 , 11 C 1 1xy 由 得 , 12 C 30 1 si n ,yx 21 c o s ,yx 2 c os , 2

19、1 s in , 2 2 211 c o s c o s 0 ,y y x x 2 2 222 s in s in 0 ,y y x x 1 2 c ot ,y xy 1 c osyx 2 s inyx 12c os si ny C x C x 11 的两个线性无关的特解，并写出该方程的通解 . 并且 不恒为常数 所以 与 是方程的线性无关解 解 因为 1 c osyx 2 si nyx 20yy及 是方程 验证 从而方程的通解为 31 2 2 3 4 51 1 13 5 2 0 3 5 5 0 x y x y y x x x x x 22 2 2 2 32 2 1 13 5 3 5 0 x

20、y x y y x x x x x 2 * 3 * 5 *x y x y y 2 222 1 2ln 3 ln 5 ln ln 9 3 9 9 9 x x xx x x x x x x 因为 2 3 5 0 x y x y y 的线性无关解 解 51 ,yx 2 1 ,y x 2* ln . 9 xyx 令 12 的通解 . 2 5 2 1 ln9 cxy c x x x 22 3 5 l nx y x y y x x 是方程 验证 又因为 5 2 1 CY C x x是齐次方程的通解 . 从而 61 2 y x y 且 不恒为常数 所以 与 是齐次方程 1y 2y 32 2 20rr , 1

21、212rr 212 xxy C e C e 4 0yy 2 40rr 1204rr， .412 xy C C e 解 特征根是 故方程通解为 特征方程为 特征根是 故方程通解为 特征方程为 13 求解下列微分方程 : 解 的通解 2 5 2 1 ln9 Cxy C x x x 22 3 5 l nx y x y y x x 是方程 因此 22 3 5 l nx y x y y x x 所以 是方程 的特解 . *y 2 0y y y 33 6 13 0y y y 2 6 1 3 0rr 1 , 2 32ri 3 12( c o s 2 s in 2 )xy e C x C x 4 5 0y y

22、 y 2 4 5 0rr 2ri 2 12( c o s s in )xy e C x C x (3) 特征方程为 特征根是 故方程通解为 (4) 特征方程为 特征根为 故微分方程的通解为 解 解 34 ( 4 ) 0yy 4 10r 1 2 3 ,41 , 1 ,r r r i 1 2 3 4c o s s inxxy c e c e c x c x ( 4 ) 5 3 6 0y y y 425 3 6 0rr 1 2 3 ,42 , 2 , 3r r r i 221 2 3 4c o s 3 s in 3xxy c e c e c x c x (5) 特征方程为 特征根是 , 故方程通解为

23、 (6) 特征方程为 特征根是 , 故方程通解为 解 解 35 00 4 3 0 , 6 , 1 0 xxy y y y y 2 4 3 0rr 121 , 3rr 312xxy C e C e 12 12 6 3 10 CC CC 1 2 4 2 C C 342xxy e e 特征方程为 解之得特征根 故方程通解为 代入初始条件得 解得 因而所求特解为 (7) 解 36 22 1 0rr 12 1 ,1 2rr 1 212x xY C e C e 2 , 1xf x e A xye 22x x x xA e A e A e e 1A * xye 1 212x xxy C e C e e 方程

24、的特征方程为 特征根为 故对应的齐次方程的通解为 因为 所以设原方程的特解为 代入原方程得 解得 从而 因此 原方程的通解为 14 求解下列微分方程 : 2 2 xy y y e 解 不是特征方程的根 , 37 5 4 3 2y y y x 2 5 4 0rr 121 , 4rr 412xxY C e C e 03 2 3 2 , 0 xf x x x e *y A x B 4 5 4 2 3A x A B x 1 1 1, 28AB 1 1 1* 28yx 4 12 1 1 1 28 xxy C e C e x 方程的特征方程为 特征根为 故对应的齐次方程的通解为 因为 不是特征方程的根 代

25、入原方程得 比较系数得 , 从而 因此 原方程的通解为 (3) 解 设原方程的特解为 38 22 5 5 2 1y y x x 22 5 0rr 12 50, 2rr 5 212 xy C C e 2y x A x B x C 221 5 1 2 1 0 4 5 5 2 1A x A B x B C x x 1 3 7 ,3 5 2 5A B C 321 3 7* 3 5 2 5y x x x 5 322 12 1 3 7 3 5 2 5 xy C C e x x x 特征方程为 ,特征根为 齐次方程的通解为 因为 是特征方程的单根 ,代入得 比较系数得 ,从而 因此 原方程的通解为 (2)

26、解 设原方程的特解为 25 2 1 , 0f x x x 39 c o sxy y e x 2 10r ri 12c os si nY C x C x * ( c o s s i n )xy A e x B x C x 2 2 c o s 2 s i n c o sxxA e C x B x e x 11, 0 , 22A B C 1* sin 22 x xy e x 12 1c o s sin sin 22 x xy C x C x e x 特征方程为 , 特征根为 齐次方程的通解为 故原方程的特解设为 代入原方程得 比较系数得 ,从而 因此 原方程的通解为 (4) 解 c osy y x

27、( c os sin )x B x C x具有 方程 形式的特解 方程 xy y e具有 形式的特解 xAe 40 s i n 2 0 , 1xxy y x y y 2 10r ri 12c os si nY C x C x 0s in 2 0 c o s 2 s in 2xf x x e x x 2ii * c o s 2 s i n 2y A x B x 10, 3AB 1* sin 2 3yx 12 1c o s sin sin 2 3y C x C x x 1 , 1xxyy12 11, 3CC 11c o s sin sin 2 33y x x x 特征方程为 , 特征根为 齐次方程的通解为 因为 不是特征方程的根 ,设原方程的特解为 代入原方程得 从而 原方程的通解为 由 得 故满足初始条件的特解为 (5) 解 41 00 3 2 5 , 1 , 2xxy y y y y 2 3 2 0rr 121 , 2rr 212xxY C e C e 5* 2y 2 12 5 2 xxy C e C e 12 12 5 1, 2 22 CC CC 12 75, 2CC 2755 22 xxy e e 特征方程为 ,特征根为 齐次方程的通解为 容易看出 为非齐次方程的一个特解 , 001 , 2xxyy由 得 解之得 因此满足初始条件的特解为 (6) 解 故原方程的通解为