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1、 例 1.6-1 在下列系统中 ， f(t)为激励 ， y(t)为响应 ， x(0-)为 初始状态 ， 试判定它们是否为线性系统 。 (1) y(t)=x(0-)f(t) (2) y(t)=x(0-)2+f(t) (3) y(t)=2x(0-)+3|f(t)| (4) y(t)=af(t)+b 判断是否为线性系统例题 解 由于系统 (1)不满足分解性； 系统 (2)不满足零输入线性； 系统 (3)不满足零状态线性 ， 故这三个系统都不是线性系统 。 对于系统 (4)， 如果直接观察 y(t)f(t)关系 ， 似乎系统既不满 足齐次性 ， 也不满足叠加性 ， 应属非线性系统 。 但是考虑到令 f
2、(t)=0时 ， 系统响应为常数 b, 若把它看成是由初始状态引起的零 输入响应时 ， 系统仍是满足线性系统条件的 ， 故系统 (4)是线 性系统 。 通常 ， 以线性微分 (差分 )方程作为输入输出描述方程 的系统都是线性系统 ， 而以非线性微分 (差分 )方程作为输入输 出描述方程的系统都是非线性系统 。 例 1.6-2 试判断以下系统是否为时不变系统 。 (1) yf(t)=acos f(t) t0 (2) yf(t)=f(2t) t0 输入输出方程中 f(t)和 yf(t)分别表示系统的激励和零状 态响应 ， a为常数 。 判断时不变例题 解 (1) 设 )()( )(c os )(c
3、 os )( )()( )(c os )()( 1 11 1 dff df d f ttyty ttfatfaty ttftf tfatytf dtt 则其零状态响应 故该系统是时不变系统。 (2) 这个系统代表一个时间上的尺度压缩 ， 系统输出 yf(t)的 波形是输入 f(t)在时间上压缩 1/2后得到的波形 。 直观上看 ， 任 何输入信号在时间上的延迟都会受到这种时间尺度改变的影响 。 所以 ， 这样的系统是时变的 。 设 )()(1 dttftf dtt 相应的零状态响应为 )()( )22()(2)( )2()2()( 1 11 dff dddf df ttyty ttfttftt
4、y ttftfty 图 1.6-2 例 1.6-2图 2 0 2 1 f ( t ) 0 4 1 f 1 ( t ) f ( t 2) 1 0 1 1 y f ( t ) t t t 0 2 1 y f 1 ( t ) t ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) 例 1.6-3 对于以下系统： k i f f f ifky tdftcfty btafty )()( )1()()( )()( 由于任一时刻的零状态响应均与该时刻以后的输入无关 ， 因此都是因果系统 。 而对于输入输出方程为 )1()( tfty f 因果性例题 其任一时刻的响应都将与该时刻以后的激励有关 。 例如 ， 令 t=1时 ， 就有 yf(1)=f(2)， 即 t=1时刻的响应取决于 t=2时刻的激 励 。 响应在先 ， 激励在后 ， 这在物理系统中是不可能的 。 因此 ， 该系统是 非因果 的 。 同理 ， 系统 yf(t)=f(2t)也是 非因果系统 。 在信号与系统分析中 ， 常以 t=0作为初始观察时刻 ， 在当前 输入信号作用下 ， 因果系统的零状态响应只能出现在 t0的时 间区间上 ， 故常常把从 t=0时刻开始的信号称为 因果信号 ， 而把 从某时刻 t0(t00)开始的信号称为 有始信号 。
判断是否为线性系统例题
