第六章向量空间

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1、第六章 向量空间一 综述向量空间是高等代数最基本的概念之一 ,它用公理化方法首次引进了一个代数系 ,而这种公理化方 法在高等代数以后各章以及在近世代数中将屡次遇到,它是近代数学研究的一个重要方法.本书以后各章如线性变换、欧几里德空间等概念都是直接建立在向量空间定义的基础上的.因此本 章内容又是以后各章学习的基础.二 教学目的 使学生在集合、映射概念的基础上,理解并掌握向量空间的定义、性质和构造,并培养学生用公理化 方法研究代数系的能力.三 重点、难点 教材重点：向量空间的定义、性质 教学难点：向量空间的定义6.1 定义和例子一 教学思考 向量空间的定义是本章的重点和难点,是学生首次接触的一个用

2、公理化方法引进的代数系 .这一节 的教学目的,不仅使学生正确理解和掌握向量空间的概念,而且应该使学生初步了解以集合论为基础运用 公理化方法从具体的代数系抽象出一般的代数系的方法和意义,对此要心中有数,以便在教学中把传授知 识与培养能力结合起来.二 内容和要求1内容：定义、例子及简单性质 2要求：掌握向量空间的概念及其简单性质,初步了解公理化的思想方法.三 教学过程1 引例 三维几何空间的实质及更多的类似结构的代数对象（略）. 2定义及例子定义1令F是一个数域,F中的元素用小写拉丁字母a,b,表示；令V是一个非空集合,V中元素用小写希腊字母a,卩,Y，表示我们把V中的元素叫做向量,F中的元素叫做

3、纯量若下列条件满足,就称V是F上的一个向量空间.1）在V中定义了一个叫加法，对V中任意两个向量a,卩都有V中唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做a与0的和，记为a +卩.2）有一个纯量乘法，对于F中的每一个数a和V中每一个向量a，有V中唯一确定的向量与它们对 应,这个向量叫做a与a的积，记为aa .3）向量的加法和纯量乘法满足下列算律：Va,卩,y g V;a,b g F有（1）a + 0 = 0 +a ；（2）（a + 0） + y =a + （0+y）；（3）在V中存在一个向量叫零向量，积作o ；它满足对Va g V有O+a=a ；（4）对Va g V , %g V使得a + a=o ；

4、这样的a 叫做a的负向量；（负向量的定义）(5) a(a + B) = ad + aP ；(6) (a + b)a = ad + ba ；(7) (ab)d = a (ba)；(8) la =d .3向量空间的简单性质1) 由于向量的加法满足结合律，所以任意n个向量相加有唯一确定的含义且可写为不加括号的和的 形式；再者由于加法满足结合律和交换律，所以在求任意n个向量的和时可以任意交换被加项的次序.2) 命题6.1.1 (零向量、负向量的唯一性)在一个向量空间V中，零向量是唯一的；对Va e V ,a的负向量是由a唯一确定的.(同一法，略)3) 命题 6.1.2 对 Va e V , Va e

5、F 有0a o, aO = o ；a (a) (a)a aa ；aa o n a 0 或 a =o .4介绍一种写法-(向量矩阵的记法)设a ,a，,a eV ,把它们排成一行写成一个以向量为元素的1 x n矩阵(ai , a2，,a ),设12 n12 nA=(a ) eM (F)；定义(a ,a，,a)A (P ,P，,P )，其中卩= a a ,(1 j 2）线性相关的充要条件是其中某个向量是其余向量的线性组 12r合.（证略）2向量组的等价、替换定理定义4设乞,a，,a 和$ ,0，,0 是V中的两个向量组,若每个a （i二1,2,r）都可以12 r 12 si由0 ,0，,0线性表示

6、,而每个0 （j二1,2,s）也可以由a ,a，,a线性表示，则称这两个向量组 12 sj12 r等价.定理6.36 （替换定理）设向量组乞,a，,a （1）线性无关,且每个a （i二1,2,r）都可以由12 ri吊,0，,0 / （2）线性表示.则12 sA）r s ；B）必要时对（2）中向量重新编号,使得用a ,a，,a替换0 , 0，0后得向量组12r12 ra ,a，,a ,0 ，,0 J（3）与（2）等价.12r r+1s推论6.3.7两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.3极大无关组（讨论一个非零向量组的一种部分组）定义5向量组a ,a，,a 是向量组& ,a，,a 的一个部

7、分组（r 0 01、-12丿=B 设B的列向量为01，0 2,0 3,0 4,这样a1，a 2,a 3,a 4与P1，02,03,04有相同的线性关系容易看出01，02,03线性无关，且04 = 01 -02 +；因此H，2,讥 线性无关且a =a -a + 2a .于是a ,a ,a是a ,a ,a ,a的一个极大无关组.412312312346.4 基与维数一 教学思考1向量空间的结构中基起着重要作用,那么基概念的引入及作用为重点.2从内容上本节在于给出了基与维数的概念后,解决基的存在性、个数及求法,要注意方法的总结归 纳,特别是生成子空间.3从定义上维数依赖于基,即要求一个向量空间的维数

8、须求一个基；但反过来从结果上看,若已知维 数n求基的话，即求一组n个线性无关的向量.4本节及以后主要讨论有限维向量空间,有所谓的维数公式,其反映有限维向量空间的两个子空间与 它们的和与交空间的维数之间的关系.在证明中,从“最小”的子空间的基出发逐步扩充为所出现的子空间 的基的方法是重要的.5基的存在性、个数、求法（生成子空间的基的求法）、余子空间等方法,注意总结归纳.二 内容要求 内容：向量空间的基与维数,有限维向量空间的维数公式,余子空间 要求：正确理解和掌握向量空间的基与维数的概念,余子空间的定义,了解基在向量空间的结构中的重要 作用,掌握求基、余子空间的一般方法和特殊方法.三 教学过程1

9、引言我们知道当V丰4 时,V有无穷多向量，那么它们之间的结构如何？具体地，我们能否用V中有限个向 量表示所有向量.下面讨论这个问题.2一类特殊子空间由一组向量生成的子空间定义1设巴茫,匕eV,那么由巴巴,巴的线性组合组成的集合W =； + a2a2 + +a a I a ef称为由这一组向量a1，a9，a生成的子空间.记为L（a1，a9，a ），其中巴，a2，,a叫做生成元.1 2 1 2 1 2例 1 尸中 8 = (1,0,.,0),., 8 = (0,0,),则l(8， , ) = Fn .1n1n例 2 Fx中 Q = 1,Q = x,Q= Xn，则 L（1,x, ，Xn） = F x

10、.12n+1n关于生成子空间有：定理641设Q ,Q，,Q eV ,且不全为零向量，Q ,Q，,Q为其一个极大无关组，则L 1 2 ni1i 2ir（Q ,Q，Q ） = L （ Q ,Q ，,Q ）.1 2 ni1i 2ir3基与维数1） 定义2设Q，Q，Q eV，若 1）Q，Q，,Q线性无关；2）Vq e V都可由Q，Q，,Q线12 n12 n12 n性表示.则称Q ,Q，,Q为V的一个基.12 n定义3 一个向量空间V的一个基所含向量的个数叫做V的维数；记为dimV.规定零空间的维数 为 0.2）定理定理64.2 （基的作用）设Q ,Q，,Q为V的一个基，则Vq e V都可唯一地由Q ,

11、Q，,Q线性12 n12 n表示.定理643 n维向量空间V任意多于n个向量的向量组一定线性相关.定理6,4,4设dim V二n , Q , Q，,Q eV线性无关（易知r n），则总可以添加n - r个向量12rQ ,Q，,Q，使得Q ,Q，,Q作为V的一个基.特别V的任意n个线性无关向量都可以取作基.r +1r + 2n1 2 n例 3 将Q = （1,2,0,1）,Q = （1,3,2,-1）扩充为 R4 的一个基.12解：（法一）思想方法：由定理的证明过程，取R4的一个基（如标准基 ,* ,* ,*），然后用Q ,Q123412代替其中某两个如* 1，* 2,使得Q1，Q 2, 3,

12、4线性无关；而代替哪两个，可用逐步添加法使添在Q1，Q 2上 后线性无关.思想方法：可以从巴巴出发，利用巴巴为列再添上两个作成一个4阶方阵A，使得IAI丰0，如1201132-100100、001丿，取 Q 3 二（O,0，1，。），Q 广（O,0,0，1），则 Q1,Q 2,Q 3,Q 4 为 R 4 的一个基.定理645设W ,W是F上向量空间V的两个有限维子空间，则W + W也是V的一个有限维子空1 2 1 2间,且：dim（W + W ） = dim W + dim W - dim（W n W ）1 2 1 2 1 2推论对n维向量空间V的子空间气， 有:dim W + dim W =

13、 dim V o W n W = o 1 2 1 24余子空间(1)定义：设W是V的子空间,若存在V的子空间W满足：1) W + W = V ,2) W c W = o )；贝1称W是W的一个余子空间，且称V是W与W的直和，记为V二WW( 2)定理定理646设V二WW,则对Va e V有a可以唯一地表示成么=卩+卩，其中卩 e W, pre WI定理6.4.7 n维向量空间V的任一子空间W都有余子空间.若W是W的一个余子空间，则 dim W + dim W二 dim V .( 3)上述概念及结论可扩充至有限设W ,W，,W是V的子空间，若1)V二W + W ；1 2 t 1 t2)W c (W

14、 + + W + W + + W ) = (i 二 1,2,t),则称 V 是 W ,W，,W 的直和，记为i1i1i+1t12tV = WW .且有类似于定理6、7的结论. 1t6.5 坐标一 教学思考1. 对n维向量空间V取定基后，任意向量引入了坐标的概念后，可将抽象的对象用具体的形式(Fn中的向量)表示出来，为我们研究抽象的向量空间提供了方便如由此可建立V与Fn的同构，所以本节概 n念及结论在空间的讨论中有重要的作用.2. 注意坐标的概念依赖于基的选择,坐标变换依赖于相应的基变换；注意过渡矩阵的概念与性质以 及结论，其是下节建立V与Fn的同构的基础.n3. 具体方法有： 1)坐标的求法(

15、定义法、坐标变换法)； 2)过渡矩阵的求法； 3)过渡矩阵的性 质及由此反映的矩阵的运算的意义.二 内容要求1 内容：坐标、基变换、坐标变换、过渡矩阵；2 要求：掌握坐标的概念及其意义，基变换与坐标变换公式，过渡矩阵的概念和性质.三 教学过程(一) 坐标的概念1. 定义设dimV二n, x，,a 是V的一个基，对Vg e V有a a + a a，则称n元有1 n1 1n n序数组(a，a )为向量g关于基x，,a 的坐标；其中a叫做向量g关于基乞，,a 的第i个1 n1 ni1 n坐标.2. 定理651设dim V = n, x，,a 是V的一个基,g Re V关于此基的坐标分别为(x ,x

16、)1 n1 n和(y ,y )，则g +n, kg关于此基的坐标分别为：(X + y,x + y ),(ax,ax ).1 n11 n n 1 n（二）坐标变换1基变换设 dimV = n, ，,a 1鸟，,P 是V的两个基，则每个0 j （j二1,2,n）可由乞，,a 线性表示，设P022 2an1 n=a a + + a1 11 1=a a + + a a12 1n 2 n（1）,以p j关于基s,宀的坐标为列构成的矩阵Pn1ar 11ra21=a a + + a a1na12a221nna、1na2n称为由基乞，,a 到基玄，P 的过渡矩阵.1 n1 nI an1an2a 丿nn1n1）

17、2）；式可以写成矩阵等式（0，,0 ） = （a ,a ）T1 n 1 n称（1）或（2）为（由基乞，,a 到基$，,0 的）基变换.1 n1 n1X )1r y1万面(匕,a n )1 Xn丿（3）；另一方面g 二（0，,0 ）1n1儿丿1设g e V关于基&，,a 的坐标为（X，,X ），关于基命，,0 的坐标为（y，,y ），则一n1 n1 n14）；（2）代入（4）得(a，,a )T)1r y11= (a , a )(T1r y111n1n1儿丿1丿6）；于是得5）,比较（3）和（5）由坐标的唯一性得定理652设dimV = n, T由基x，,a 到基$，0 的过渡矩阵,则g e V关

18、于基r y )1=T :联系着.1 n1 n乞，,a 的坐标与关于基$，0 的坐标为（y ,，y ）由等式 1 n1 n13过渡矩阵的性质设 dim V = n, ，,a 、1n（1）基变换的传递性，0 、务，,Y 都是V的基,且由基&，,a 到基1 n 1 n1 n命，,P 的过渡矩阵为A ,基玄，,P 到基务，,Y 的过渡矩阵为B ,即1 n 1 n 1 n(P，,P ) = ,a )A、1 n 1 n(丫，,y ) = (p，,p ) B，则(丫，,y ) = (a，,a )A B，即由基，,a 到基务，,y 的过1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 渡矩阵为 AB .(2)定

19、理6.5.3设dim V二n,由基(X，,a 到基$，p 的过渡矩阵为A，那么A是一个可1 n1 n逆矩阵反过来，任意一个n阶可逆矩阵A都可以作为n维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵.且若由基乞，,a 到基玄，p 的过渡矩阵为A，则由基玄，p 到基&，,a 的过渡矩1 n1 n1 n1 n阵为A-1.6.6 向量空间的同构一 教学思考 1向量空间的本质是一个带有加法和数乘的代数系，我们研究向量空间着眼点主要在于运算，至于元 素是什么无关紧要.把具有某种关系的向量空间作为本质上没有区别的加以研究，从而取出其代表加以研 究讨论以达到目的，本节正是解决这样一个问题.2. “同构”是这种关系的体

20、现，在此关系下，同构的向量空间可以不加区别,因而维数就成了数域F上 有限维向量空间的唯一本质特征.3. 注意“同构”映射的概念，向量空间同构的概念及各自的性质，以及有限维向量空间同构的判定. 二 内容要求1、内容：同构映射、向量空间同构的概念及各自的性质，有限维向量空间同构的判定.2、要求：理解向量空间同构的概念及性质，有限维向量空间同构的判定.三 教学过程1. 同构的概念和性质( 1)概念1)同构映射设V和W是数域F上两个向量空间,V到W的一个映射f叫做一个同构映射；若A) f是V到W的一个双射；B)对 vg ,n g v n f(g+耳)二 f (g) + f (n)；c)对Va g F,

21、vg g V,f (ag) = af (g).(2)定理661数域F上任一n维向量空间V都与Fn同构.( 3)性质1)同构映射的性质定理662设V和W是数域F上两个向量空间，f是V到W的一个同构映射，则：A) f () =o；B)对 Va g V, f (-a) = -a ；C) f (a a hf a a )二 a f (a ) hf a f (a )，其中 a e F,a e V ；1 1 n n 1 1 n n i iD) a，,a (e V)线性相关o f (a ),/(a )(e W)线性相关；1 n 1 nE） f的逆映射f -1是W到V的一个同构映射.2）同构关系的性质（等价关系

22、）A）反身性：V二V ；B）B）对称性：若V二W，则W二V ；C）传递性：若V二W, W二U，则V二U .（由双射性质及定义易证）2有限维向量空间同构的充要条件定理663数域F上两个有限维维向量空间V和W有：V 二 W o dim V 二 dim W .67 矩阵的秩,齐次线性方程组的解空间一 教学思考 1矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论,本节运用向量空间的有关理论重新认识矩 阵的秩的几何意义,讨论线性方程组解的结构.2. 注意：齐次线性方程组（含n个未知量）的解的集合构成Fn的子空间，而非齐次线性方程组的解的集合非也.3. 注意具体方法： 1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；

23、 2）求齐次线性方程组的基础解系. 二 内容要求1、内容：矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的解空间.2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的基础解系的求法.三 教学过程1.矩阵的秩的几何意义/ a11a、1n几个术语：设 A e M(F), A 二mxn,A的每行看作Fn的一个元素，叫做A的行I am1amn向量，用a （i二1,2,m）表示；由a ,（i = 1,2,m）生成的Fn的子空间L（a，,a ）叫做矩阵A的行空 ii1m间.类似地,A的每一列看作Fm的一个元素，叫做A的列向量；由A的n个列向量生成的Fm的子空间叫做矩阵A的列空间.引理6.7.1 设A e M（F）,

24、mxn1）若B二PA , P是一个m阶可逆矩阵，则B与A有相同的行空间；2）若C二AQ,Q是一个n阶可逆矩阵，则C与A有相同的列空间.定理6.7.2矩阵A e M（F）的行空间的维数等于列空间的维数，等于这个矩阵的秩.mx n定义矩阵A的行（列）向量组的极大无关组所含（行（列）空间的维数）向量的个数，叫做矩阵A- 10 -的秩.2线性方程组的解的结构1）再证线性方程组有解的判定定理：“数域 F 上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增 广矩阵的秩相同.”2）齐次线性方程组的解空间a x + a x = 011 11n n（3）是数域F上一个齐次线性方程组，令A为其系数矩阵，则（3）a x

25、+ a x = 0(x )10、可写为 A1二:.x ,0,m1 1mn n（4）或AX =o ；（3）的每一个解都可以看作Fn的一个向量，叫做（3）的一因。g S，所以S工；=o，即 ag + bq g S .因此S作成Fn的一个n个解向量.令S表示（3）的全体解向量构成的集合；首先: 其次： Vg，耳 g S, Va, b g F，有 A(ag + bq)二 aAg + bAq子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组（3）的解空间.重新回顾解线性方程组的过程：设（3）的系数矩阵A的秩为r（ n），则A可经过一系列（行）初等变换化为romr,Cr,nromr,n，与此相应的齐次线性方程组为：（5

26、）y + c y + c y = 01lr+1r+11n n+ c y + + c y = 0 rr +1 r +1rn n ，0 = 0 ，(1,0,0),(0,1,0),，(0,0,，1)可 得 （5） 的 nr 个 解 向 量q r+1 =首先：kr+1(c )1r+1(c )1r+2(c )1ncrr+110qr+1crr+201crn00 ， q 线 性 无 关 . 事 实 上 设n二 k 二 0.n.下面证其是（5）的解空间的一个基.q + k q =o ,由下面n r个分量易得r +1 r +1nnr +1n这里y ,，y是x，,x的重新编号.（5）有n r个自由未知量y ，y，

27、依次让它们取其次：设（k1，k 2,kn ）是的任一解，代入得:k = c k 一c k1 lr+l r+1In nk = c k c k2 2r+l r+l2n nk = c k c krrr +l r +lrn nk 二 kr +lr +l又有恒等式：k 二 knn此 n 个等式即为二k耳r +1 r +1+ k n，即（5）的每个解向量都可以由耳，,耳线性表示,n nr +1n故n ，,n 为（5）的解空间的一个基.注意到（5）与（4）在未知量重新编号后同解,所以重新编排r +1nn ，,n的次序可得（4）的解空间的一个基，从而解决了齐次线性方程组的解的构造问题.并且上述r +1n讨论也

28、给出了求解空间的具体方法：即通过解方程组的允许变换得到等价组,在等价组中自由未知量是 清楚的,给其一组线性无关值,便得等价组的一组解向量,其构成等价组的解空间的一个基,再调整解向量 的次序便得.上述讨论得：定理6.7.3数域F上一个n元齐次线性方程组的一切解作成Fn的一个子空间，称之为这个线性方程组的解空间若所给方程组的系数矩阵的秩为r，则解空间的维数为n - r . 定义 一个齐次线性方程组的解空间的一个基,叫做这个方程组的一个基础解系.3）非齐次线性方程组的解的结构1 x )11 b)1设A.x丿.b丿,(A e M(F)mxnnm（6）是数域F上一个n元线性方程组.问题当（6）有无穷解17) ，时，解的结构如何？为此先引入：把（6）的常数项都换成0,便得一个齐次线性方程组A齐次线性方程组（7）叫做方程组（6）的导出齐次线性方程组.定理 6.7.4若（6）有解，则（6）的任一解都可以表示为（6）的一个固定解与（7）的一个解的和.