第六章布莱克

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1、第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型一、 影响期权价值的主要因素由前面的分析知道决定期权价值（价格）V的因素是到期的C股票市场价格S和股票的执行价格X。但是到期S是未知的，它mm的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。1）标的股票价格与股票执行价格的影响。标的股票市场价格 越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执 行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。2）标的股票价格变化范围的影响。在标的股票价格变动范围增大的，虽然正反两方面的影响都会增大，但由于期权持有者 只享受正向影响增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变股票的价格由密度函数f （s ）变为f （s ），

2、SX的可能性增大，12买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。3）到期时间距离的影响。距离愈长，股价变动的可能性愈大。由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期权到期的时间越长，期权的价值就越高。4）利率的影响。利率越高，则到期 S 的现值就越低，使得 m买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。5）现金股利的影响。股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现 金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。二 、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定

3、价模型，它的假定 条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自 由借贷等）以外，还有：1 股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。2T时期内各时段的预期收益率r和收益方差o.保持ii不变。3 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即在t J I?时段内有:l ( S (t )In2I S(t ) J1N (p (t -1 ),2 (t -1 )2 1 2 1因为股票的价格可以用随机过程幺（t）|t = 1,2,.）表示，其中S （t）表示第 t 日股票的价格，它是一个随机变量. 则第 t 日股票的收益率（年收益率）为 R ：t空=1 +盒S (t -1)365股票的年

4、收益率（单利）R应该是:1 + R =沖=沖=(1 +(1 +电)(1 +人)S (0)S (0) S (1)S (364)365365365为了简化计算两边同时取自然对数可得：73In(1 + R) = W In(1 + 亠)365t=1r,r,r,，r为和R, R ,R ,，R相对应的连续复1 2 365 1 2 365利。则根据单复利之间的关系In(l+R)二r有：r = In(1 + R)=艺 In(1 + 巴)=1 艺 r365365 tt =1t =1同理，对任何时间间隔T都有：r = In(凹)=1 另 In(竺)=1 另 rS (0)T 0 S (t -1) T 1 t由中心极

5、限定理知In(竺)服从正态分布。即有: S (0)加議)N(“Q2T)式中 2分别为r的数学期望和方差S(T)令 y 二 In(d，贝N(MQ 2T),而 S(T) = S(0)ey 进行简 S (0)单的变量替换，可以求出S (T)的数学期望为:1E(S(T)二 S(0)eXP(“ + 22T)对于股票的二叉树定价来说，如果从t=0时刻到t=T,时刻, 所分的阶段数趋于无限大时，股票的价格也趋于对数正态分布。即股票的二叉树定价和对数正态分布定价是一致的。因为二叉树定价时股票的价格变化的规律是：S (t) Ju按照概率q而二ird按照概率1- q所以In( S)小u按照概率q所以 1 (S(F

6、-I) in d按照概率1-q即in(点*)t = 12 ,T服从两点分布且相互独立.S (t - 1)所以ln(滦)=ln(J2)服从二项分布.当T t ，二项 S (0)S (t 1)t=1分布趋近于正态分布。即在一定的条件下，股票的二叉树定价和 对数正态分布定价是一致的。B-S定价模型是二叉树定价模型的 极限式。三、布莱克-舒尔斯期权定价模型的直观理解 作为无现金股利的欧式买权定价模式是：C = S N(d )- Xe-rTN(d )0 1 2(S )(o 2 )+r +(X丿(2丿式中C是买权价格，S。是期初股票价格，N (是累计正态 分布函数，ind =1o TT=d o ；T1in

7、d =2o 2 r I 2丿o打为了更容易从经济意义上理解B-S定价模型，我们可以从现 实直观的角度来作一些解释：已知 C = max(S X,0)式中c为到期T时买权的价格，s为到期标的股票市场价格TTX为期权协定的执行价格。则有E(J) = Emax(Sf - X ,0)设到期s x的概率为P，此时max(S X,0) = S XT T T则有E(C ) = PE(S S X) X + (1 P) x0TT T=P x E (S S X) X T T考虑到期初的期权合理定价等于E(C )的现值而有TC = e-rtE(C )T=P x ert x E (S S X) X (1)T T式中c

8、：期初期权合理价格，r：无风险连续复利率，t到期时间 长度 这里关键的问题，要找出P和E(S S X)的表达式。T T(S X )Y 一I S S丿、0 0 yo1) 由于P(S X)等价P收益率二O 2)TTXln( - ) (r =1 N ln( So) + (r 02 )T =n -F = N(d )2其中 S 服从对数正态分布T这是由于正态分布的对称性兰服从对数正态分布(S为常数)S0m In(兰)服从正态分布。收益率平均为u0*，o2而且r和c2是以年为基础计算的，但期权通常不超一年。T为分数，应用rT,c 2T代替和2。即(r -卞为新正态分布的期望值。、汀为新分布的标准差。2)由

9、干 ES S X = J S f (S )dS1_由于t tTTTX其中 f (S )为对数正态分布密度函数1 g 1J S e區 TSX T(lnS-u)2牙厂dS其中u为inS的均值，c 2是lnS的方差TT令 In S = STJ eSein x(S-u )21 g s _( S-u)22c 2 dS 二 J e2c 2 ds 二 S ert2兀c0in xN (d )1-N (d )2中注意到：S-(S u )22c 2S-(u-c 2)+u+5!2c 22c2u +o并且，e 2 二 S 0 er=d c yjtln(江)+ (r + SI) t 式中d二 X2, d1c五2将以上计

10、算结果代入(1)式，得C = N (d ) x e - rt x S ert20=S N(d ) Xe-rtN(d )0 1 2这便是有名的 Black-Scholes 期权定价公式。 举例：已知股票期初市价S 0 = 50 ,协议执行价X=45,距到期 日时间t=3个月=0.25年无风险利率 r=10%, 2=0.16, an）.4则有：d/ （詩 + 小 + 丁）5 = 0.75201a/t0.4 x J0.25d = d -a 扌=0.7520-0.4Xp025 = 0.5520查正态分布表：N（d ） =N（0.7520）=0.77401N（d ） =N（0.552）=0.70952C

11、 = 50 x 0.7740 - 45e -0.1x0.25 x 0.7095 = 7.56一般地，期权交易市场上买入的价格即由B-S公式定价，如果实际市场价格比计算的价值低,说明期权的价格被低估,存在套利机会,可以买入期权。四、B-S期权定价模型微分方程推导的基本思路随机方程（某变量以某种不确定的方式随时间变化） 马尔可夫过程（随机过程变量的未来预测值只与该变量的当前值有关,而与该变量的过去值无关时,该随机过程称为马尔可夫过程） 基本维纳过程（在心内变量Z的变化满足：AZ =,心，其中满足标准正态分布N（0, 1）的一个随机值。且两个不同的At,AZ的值相互独立） 一般维纳过程（变量 X 满

12、足： dx 二 adt + bdz 二 adt + b J At ）如图： 伊腾过程(S遵循ITO过程，即有dS = a(S,t)dt+b(S,t)dZ 变量G是S、t的函数，G=F(S, t),则G也是ITO过程，并且 有：dGdG 1 d2GQGdG 二(a +b2)dt +bdZQSQt 2 QS 2QS股票价格的ITO过程(股价S的变动可用瞬时期望漂 移率为：us，瞬时方差率为 2s 2的ITO过程，即dS = uSdt +& Sdz， 即dS=udt + b dzS其中当股价的方差率恒为0时，则有dS = uSdt，得S二S eut说0明当方差率为0时，股价得单位时间为u的连续复利方

13、式增长。五、关于对数正态分布 我们已经知道很多独立同分布的随机变量之和趋于正态分布。那么许多独立同分布随机变量的连乘积便服从于对数正态分 布，即x二lim n x对数正态分布n th i = 1 i因为令y = ln x贝【Jy = ln x = ln n x =ln x这是n个随机变数之和，根据中心极 iii=1i=1限定理，y趋于正态分布，如图：设s = 100，每年增长10%则有 0对数正态分布的密度函数100 |110 I 12|1 | |200Xx = S (1 + r) t0而且ln x =ln ert = rt | 1| 2| 3n lnx对数正态分布的密度函数：(In x u )2e 26v 2兀x0其中u为lnx的均值，b 2为lnx的方差b 2注意到：EX = er = S eu+ 20所以 rb2b2丁考虑r常指年利率，而期权利率常是几个月，如三个月t 0.25，b2u = ( r 一) t2