《弯曲内力》PPT课件.ppt

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1、1 第十章 弯曲内力 2 10-1 弯曲的概念和实例 起重机大梁 1 3 镗刀杆 4 车削工件 5 火车轮轴 6 7 以弯曲变形为主的杆件通常称为 梁 8 q 1F 2F 3F 4F 5F 6F eM 1、弯曲受力特点 外力垂直于杆件的轴线或杆受 到位于杆轴平面内的外力偶作用。 轴线 2、弯曲变形特点 杆的轴线由直线变为曲线。 9 工程中常见的梁，其横截面均有 对称轴 ，例如： 对称轴 对称轴 10 11 轴线 纵向对称面 F q M 弯曲后梁的轴线 （挠曲线） 3、平面弯曲 梁的挠曲线与载荷作用线共面。 纵向对称面 通过梁轴线和截面对称轴的平面。 12 平面弯曲 具有纵向对称面 外力都作用在

2、纵向对称面内 弯曲变形后轴线变为对称面内的平面曲线 13 车床主轴示意图 1、支座的几种基本形式 向心推 力轴承 滚珠轴承 10-2 受弯杆件的简化 14 15 火车轮轴简化 16 17 18 吊车大梁简化 均匀分布载荷 简称 均布载荷 二、载荷的简化 19 非均匀分布载荷 20 梁的载荷与支座 集中载荷 分布载荷 集中力偶 固定铰支座 活动铰支座 固定端 2 21 简支梁 外伸梁 悬臂梁 FAx FAy FBy FAx FAy FBy FAx FAy MA 三、静定梁的基本形式 22 1、 静定梁 支座反力可由静力平衡方程确定的梁。 （ a）简支梁 （ b）悬臂梁 （ c）外伸梁 （ d）静

3、定组合梁 中间铰 23 2、 静不定梁 支座反力不能由静力平衡方程完全 确定的梁。 24 FS M 0yF 1AS FFF y 0CM )(1 axFxFM Ay FS剪力： 作用线相切 于截面的内力 M 弯矩： 作用面 垂直于截面的内力 偶矩 F By FS M 10-3 剪力和弯矩 3 FAy 25 FAy FS M FBy FS M 截面上的剪力对所选梁段上 任意一点的矩为 顺时针 转向时， 剪力为正； 反之 为负。 + _ 截面上的弯矩 使所选梁段呈 凹形 为 正； 反之 为负。 + _ 26 解： 1. 确定支反力 FAy FBy 0yF FFF ByAy 2 0AM aFFaaF

4、By 23 3 FF By 3 5 FF Ay 2. 用截面法研究内力 (设正法 ) FSE ME 0yF 352 FFF SE 0EM 233522 aFMaF E 3 FF SE 2 3 FaM E 例题 求图示简支梁 E 截面的内力 FAy 27 FBy FBy FAy FSE ME O 3 FF By 3 5 FF Ay 分析右段得到 (设正法 ) ： FSE ME O 0yF 0 BySE FF 3 FFF BySE 0oM FaaFM ByE 2 3 2 3 FaM E 28 FAy FBy 3 FF By 3 5 FF Ay 截面上的剪力等于截面任 一侧所有外力的代数和。 FAy

5、 FSE 3 5 FF SE 2F FSE F2 3 F 外力正负：左上右下为正， 左下右上为负。 简便法 求截面上的剪力和弯矩 29 FAy FBy 3 FF By 3 5 FF Ay 截面上的弯矩等于截面任 一侧所有外力对截面形心力矩 的代数和。 M E FAy 2 3 3 5 aFM E 22 aF Fa 2 3 2F ME 外力矩正负：左顺右逆为正， 左逆右顺为负。 简便法 求截面上的剪力和弯矩 30 AyF A B mKNM .80 1m 1m 1m 1m 2m q=2KN/m P=2KN E C D F ByF 解： 1、根据平衡条件求支座反力 0 AM KNF Ay 3 KNF

6、By 7 0 BM 例 一外伸梁受力如图所示。试求 C截面、 截面和 上 的内力。 左B 右B 31 2、求指定横截面上的剪力和弯矩 C截面： )(左侧 ySC FF )(1 qF Ay ）（ KN123 )(左侧 CC MM 2 112 0 qMF Ay mKN .3 AyF A B mKNM .80 1m 1m 1m 1m 2m q=2KN/m P=2KN E C D F ByF 32 截面： 左B 左SBF 3 qF Ay KN3 左BM 2 334 0 qMF Ay mKN .5 AyF A B mKNM .80 1m 1m 1m 1m 2m q=2KN/m P=2KN E C D F

7、 ByF 33 右B 截面： 右SBF KN4 右BM mKN .5 亦可取梁的右侧的外力简化，但必须 注意外力的符号变化。 AyF A B mKNM .80 1m 1m 1m 1m 2m q=2KN/m P=2KN E C D F ByF ByAy FqF 3 02334 0 ByAy FqMF 34 10-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 35 在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截 面的位置而变化。 因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置 x 的函数，即 )(),( xMMxFF SS 称为 剪力方程和弯矩方程 A B mKNM .80 1m 1m 1m 1m 2m q=2KN/m

8、P=2KN E C D F 36 AyF A B mKNM .80 1m 1m 1m 1m 2m q=2KN/m P=2KN E D F ByF 因此，必须 分段 列出梁的剪力方程和弯矩方程， 各段的 分界点 为各段梁的 控制截面 。 * 控制截面： 外力规律发生变化的截面 集中力、集 中力偶、分布载荷的起点和终点处的横截面。 37 x SF x M (+) (+) (-) (-) 剪力图和弯矩图 用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿 梁轴线的变化情况。 注意： 必须标明控制 截面上的内力值 38 8/2ql q 悬臂梁受均布载荷作用 。 试写出剪力和弯矩方程 ， 并 画出 剪力 图 和弯矩 图

9、。 解： 任选一截面 x ， 写出剪力 和弯矩方程 x lxqxxF S 0 lxqxxM 02/2 依方程画出剪力 图 和弯矩 图 FS x M x ql 2/2ql l 最大剪力和弯矩分别为 qlF S m a x 2/2m a x qlM 4 例题 q x xM xFS 39 B A l FAY F BY 图示简支梁 C点受集中力作用 。 试写出剪力和弯矩方程 ， 并画 出剪力图和弯矩图 。 解： 1 确定约束力 00 ， BA MM FAy Fb/l FBy Fa/l 2 写出剪力和弯矩方程 x2 FS x M x lFb/ lFa/ lFab/ x1 AC axlFbxF S 11

10、0/ axlF b xxM 111 0/ CB lxalFaxF S 22 / lxalxlFaxM 222 / 3. 依方程画出剪力图和弯矩图 。 C F a b 例题 40 B A l FAY F BY 图示简支梁 C点受集中力偶作用 。 试写出剪力和弯矩方程 ， 并画 出剪力图和弯矩图 。 解： 1 确定约束力 00 ， BA MM FAy M / l FBy -M / l 2 写出剪力和弯矩方程 x2 lMa/ x1 AC axlMxF S 11 0/ axlMxxM 111 0/ CB bxlMxF S 22 0/ bxlMxxM 222 0/ 3. 依方程画出剪力图和弯矩图 。 l

11、M/ lMb/ C M a b 例题 41 32/3 2ql 32/3 2ql B A l FAY q FBY 简支梁受均布载荷作用 试写出剪力和弯矩方程 ， 并 画 出剪力 图 和弯矩 图 。 解： 1 确定约束力 00 ， BA MM FAy FBy ql/2 2 写出剪力和弯矩方程 y x C x lxqxqlxF S 02/ lxqxq l xxM 02/2/ 2 3. 依方程画出剪力图和弯矩图 。 FS x M x 2/ql 2/ql 8/2ql 例题 42 例 悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的 和 及其所 在截面位置。 maxS

12、F maxM P m=Pa A C B a a 取参考坐标系 Axy。 解： x y 1、列出梁的剪力方程和弯矩方程 AB段 : 0)( xF S )0( ax PamxM )( )0( ax x x 43 BC段 : P m=Pa A C B a a x x PxF S )( )2( axa )()( axPmxM )2( axa PxPa 2 2、作梁的剪力图和弯矩图 -P 图SF Pa 图M (+) (-) maxSF maxM 3、求 和 PF S m a x PaM m a x （在 BC段的各截面） （在 AB段的各截面） 44 例 外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩

13、 方程，作出梁的剪力图和弯矩图。 A B q F=qa C a 2a 解： x y 1、取参考坐标系 Cxy。根据平衡条件求支座反力 0 AM qaF By 2 1 0 BM qaF Ay 2 5 AyF By F x x 45 2、列出梁的剪力方程和弯矩方程 y A B q F=qa C a 2a x AyF By F qaxF S )( CA段 : )0( ax qaxxM )( x )()( axqFqaxF AyS AB段 : )3( axa qxqa 25 x )(25)( axqaqaxxM 2)( 2 1 axq )3( axa )0( ax 46 y A B q F=qa C

14、a 2a x AyF By F 3、作梁的剪力图和弯矩图 -qa 图SF (-) qaaxF S 23)( qaaxF S 21)3( qa21 qa23 (-) (+) 2qa (-) E ax E 23 )(25 axaqaqadxdM 0 ax 25 2 8 1) 2 5( qaaxM 281qa (+) )(xFS 47 10-5 载荷集度、剪力和 弯矩间的关系 48 q(x) 1F 2F 3F 4F 5F 6F eM 49 B A l FAY F BY 简支梁 C点受集中力作用 。 FS x M x lFb/ lFa/ lFab/ C F a b 从左到右，向上（下） 集中力作用处，

15、剪力图向上 （下）突变，突变幅度为集 中力的大小。弯矩图在该处 为尖点。 50 B A l FAY F BY 简支梁 C点受集中力偶作用 。 lMa/ lM/ lMb/ C M a b 从左到右，顺（逆）时针 集中力偶作用处，弯矩图向上 （下）突变，突变幅度为集中 力偶矩的大小。剪力图在该点 没有变化。 51 q(x) 1F 2F 3F 4F 5F 6F eM 考察受任意载荷作用的梁。建立 xy坐标系。 规定向上的 q(x)为正。 x y x dx 52 考察 dx微段的受力与平衡 )(xFS )(xM )()( xdFxF SS )()( xdMxM 53 0 yF 0)()()()( xd

16、FxFdxxqxF SSS )()( xqdx xdF S 由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相 应点处的载荷集度 q。 )(xFS )(xM )()( xdFxF SS )()( xdMxM 54 0 oM 0)()(2)()()( xdMxMdxdxxqdxxFxM S )()( xFdx xdM s 略去二阶微量 ，得： 2)( 2dx xq 由此式知： 弯矩图曲线上一点的斜率等 于梁上相应截面处的剪力 。 SF )(xFS )(xM )()( xdFxF SS )()( xdMxM 55 )()( xFdx xdM S )()( xqdx xdF S )()(2 2 xqdx

17、xMd 由此式知： 弯矩图曲线上某点处的凹凸方向由梁 上相应点处的载荷集度 q的符号决定。 56 载荷集度、剪力和弯矩关系： )()(2 2 xqdx xMd 1. q 0， Fs=常数， 剪力图为水平直线； M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。 2.q 常数， Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（ q 0），抛物线呈凹形； 分布载荷向下（ q 0），抛物线呈凸形。 3. 剪力 Fs=0处，弯矩有极值。 4. 集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变。 57 内力 FS 、 M 的变化规律 ,归

18、纳如下： 载荷 图SF 图M 0)( xq 0 Cq0 Cq F oM 水平直线 + - or or 上斜直线 上凸 抛物线 下凸 抛物线 下斜直线 F (剪力图 无突变 ) F处有尖角 oM 斜直线 )()(2 2 xqdx xMd 58 微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法： 根据载荷及约束力的作用位置 ， 确定控 制面 。 应用截面法确定控制面上的剪力和弯 矩数值 。 建立 FS一 x和 M一 x坐标系 ， 并将控制面上 的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中 。 应用微分关系确定各段控制面之间的剪 力图和弯矩图的形状 ， 画出剪力图与弯矩图 。 59 例 一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯

19、矩图。 解： 1、根据平衡条件求支座反力 0 AM KNF Ay 2.7 KNF By 8.3 0 BM A B mKNM .60 1m 1m 4m F=3KN C D q=2KN/m AyF ByF 校核无误。由 0 yF 60 A B mKNM .60 1m 1m 4m F=3KN C D q=2KN/m 2、由微分关系判断各段的 形状。 MF s , 载荷 图SF 图M CA DB AD 0q 0 Cq 0q 斜直线 斜直线 KNF Ay 2.7 KNF By 8.3 AyF ByF 61 A B mKNM .60 1m 1m 4m F=3KN C D q=2KN/m 3、作 -图。 s

20、F 4、作 M-图。 mx 1.3 CA段： KNF SC 3右 图SF (-) AD段： AySASA FFF 左右 KN2.4 -3KN 4.2KN KNFF BySD 8.3左 -3.8KN (+) (-) DB段： KNFF SDSD 8.3 左右 -3KN.m (-) E x 0)1(2.73 xqF SE 21.2 2 11.21.3 qFFM AyE mKN .41.1 mKNM D .2.2左 -2.2KN.m (-) 3.8KN.m (+) (+) mKN .41.1 AyF ByF 62 B A 1.5m 1.5m 1.5m F AY FBY 1kN.m 2kN 例题 简支

21、梁受力的大小 和方向如图示 。 试画出其剪力图和弯矩图 。 解： 1 确定约束力 00 ， BA MM 求得 A、 B 二处的约束力 FAy 0.89 kN , FBy 1.11 kN 根据力矩平衡方程 2 确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力 内侧截面均为控制面 。 即 A、 C、 D、 E、 F、 B截面 。 E D C F 63 （ -） （ +） FAy 0.89 kN FFy 1.11 kN 3 从 A截面左侧开始 画剪力图 。 Fs（ kN） 0.89 1.11 B A 1.5m 1.5m 1.5m F AY FBY 1kN.m 2kN E D C F 64

22、（ -） （ -） 4 从 A截面左侧 开始画弯矩图 。 M（ kN.m） 从 A左到 A右 从 C左到 C右 从 D左到 D右 从 A右到 C左 1.330 0.330 从 C右到 D左 1.665 从 D右到 B左 从 B左到 B右 0.89 （ -） （ +） Fs（ kN） 1.11 B A 1.5m 1.5m 1.5m F AY FBY 1kN.m 2kN E D C F FFy 1.11 kN F Ay 0.89 kN 65 q B A D a 4a FAy FBy 例题 试画出梁剪力图和 弯矩图 。 解： 1 确定约束力 根据梁的整体平衡 ， 由 00 ， BA MM 求得 A、

23、 B 二处的约束力 qaFqaF ByAy 4 3 4 9 , qa 2 确定控制面 由于 AB段上作用有连续分布载荷 ， 故 A、 B两个截 面为控制面 ， 约束力 FBy右侧的截面 ， 以及集中力 qa 左侧的截面 ， 也都是控制面 。 C 66 （ +） （ -） qaFqaF ByAy 4349 , 3 从 A截面左侧 开始画剪力图 。 Fs 9qa/4 7qa/4 qa q B A D a 4a FAy FBy qa C 67 （ +） M 4 求出剪力为零的 点到 A的距离 。 B点的弯矩为 -1/2 7qa/4 7a/4 +81qa2/32=qa2 AB段为上凸抛物线 ， 且有 极大值 。 该点的弯矩为 1/2 9qa/4 9a/4 =81qa2/32 5 从 A截面左侧 开始画弯矩图 81qa2/32 qa2 q B A D a 4a FAy FBy qa C 9qa/4 （ +） （ -） Fs 7qa/4 qa 4/9a qa49 qa43 68