FIR数字滤波器的设计.ppt

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1、Down 2021/1/27 Main 2021/1/27 Down Up Main Return 引言： 无限长单位冲激响应（ IIR）滤波器的 优点 是可以用模拟滤 波器设计的结果来实现，且可用较少的阶数达到所要求的 幅度特性，实时所需的运算次数及存储单元都比较少，十 分适用于对相位要求不严格的场合。 但 图像处理 以及 数据传输 要求信道具有 线性相位特性 ，而 有限长冲激响应（ FIR）滤波器很容易做成严格的线性相位 特性，且 h(n)是有限长的，可用 FFT算法来实现过滤信号， 从而大大提高效率。 主要不足之处：其较好的性能是 以较高的阶数为代价 换来 的。（ IIR的设计中各种变换

2、对 FIR滤波器不适用。） 2021/1/27 Down Up Main Return 7.1线性相移 FIR数字滤波器的特性 实际应用中的 FIR总是具有 线性相位 特性的，对非线性的 FIR滤波器，一般用 IIR滤波器实现（阶数少，运算次数少， 存储单元少等）。 一、 线性相位 FIR滤波器条件 FIR滤波器的频率响应： )(1 0 |)(|)()( jjN n jnj eeHenheH 要使 ()=argH(ej)满足线性相位，要从 恒时延 考虑。 （ h(n)为实序列） 2021/1/27 Down Up Main Return )()( p 群延时为 d )(d)(g 所谓 恒延时滤

3、波 就是要求 p()或 g()是不随 变化的常量。 2、 相位条件推导 有两类准确的线性相位，分别满足要求： ()= ，（同时满足恒相延时与恒群延时） ()=b ，（只满足 恒群延时） 1、 恒时延滤波 定义：滤波器的相延时为 2021/1/27 Down Up Main Return 1 0 1 0 s inc o s)()()( N n N n jnj njnnhenheH 故有 0 () 1 0 1 0 c os)( s in)( ar c t an)(ar g N n N nj nnh nnh eH c os s i n c os)( s i n)( )t an ( 1 0 1 0 N

4、 n N n nnh nnh )( 、 ()= 图像是经过原点的一条斜线。 2021/1/27 Down Up Main Return 1 0 1 0 s inc o s)(c o ss in)(N n N n nnhnnh 0)(s in)(1 0 N n nnh 式 7.1是使 FIR滤波器具有 ()= 线性相位的 必要且充分条件 。 可以证明，要使上式成立，必须满足 10 )1()( 2/)1( NnnNhnh N 式 7.1 2021/1/27 Down Up Main Return h(n)以 (N-1)/2为轴呈偶对称 n N-1 0 (N-1)/2 h(n) N为偶数 N为奇数

5、n N-1 0 (N-1)/2 h(n) h(n)=h(N-1-n)称为 偶对称序列 。 要求 h(n)序列以 n=(N-1)/2为偶对称中心，时间延时 =(N-1)/2 个抽样周期。（无论 N为奇数或偶数都应满足 h(n)以 n=(N-1)/2 轴为偶对称中心。） 2021/1/27 Down Up Main Return 0)(s in)(1 0 b N n nnh 式 7.2是使 FIR滤波器具有 ()=b （ b= p/2）线性相位 的 必要且充分条件 。 可以证明，要使上式成立，必须满足 式 7.2 pb 10 )1()( /2 2/)1( NnnNhnh N /2 -/2 、 ()

6、=b 图像为不过原点的一条斜线 按方法做同样推导，得 0 () 2021/1/27 Down Up Main Return 要求 h(n)序列以 n=(N-1)/2为奇对称中心，时延 =(N-1)/2个 抽样周期。 当 n=(N-1)/2时代入式 7.2 h(n)以 (N-1)/2为轴呈奇对称 0)2 1()2 11()2 1( NhNNhNh h(n)= h(N-1-n)称为 奇对称序列 。 N为偶数 n N-1 0 (N-1)/2 h(n) N为奇数 n N-1 0 (N-1)/2 h(n) 2021/1/27 Down Up Main Return 1 0 )()( N n nznhzH

7、 1 1 2 1 2 112 1 0 )() 2 1()( N Nn n N N n n znhzNhznh 直接画网络结构，有 N次乘法与 N-1次加法 总体来说，当 FIR滤波器的冲激响应 h(n)为 偶对称或奇对称 时， 此滤波器的 相位 特性是 线性 的，且群时延恒定 =(N-1)/2。 二、 线性相位 FIR数字滤波器的网络结构及其频率响应 (由于 h(n)有奇对称、偶对称以及 N为奇数、偶数区别， 故分为 4种情况讨论。 ) 1、 偶对称， N为奇数 h(n)=h(N-1-n) 网络结构 将其分解 2021/1/27 Down Up Main Return 1 12 1 )( N

8、Nn nznh 令 n=N-1-m 12 1 0 )1()1( N m mNzmNh 将 m换成 n 12 1 0 )1()1( N n nNznNh 则 12 1 0 )1(2 112 1 0 )1()2 1()()( N n nN N N n n znNhzNhznhzH 2 112 1 0 )1( ) 2 1()()( N N n nNn zNhzznhzH 由于 h(n)=h(N-1-n) 经化简后的 H(z)共有 N次加法， (N+1)/2次乘法。 （可减少约一半乘法器） 2021/1/27 Down Up Main Return 图 7.3 线性相位 FIR滤波器网络结构（直接型）

9、 h(n)为偶对称， N为奇数 y(n) x(n) z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 )2 1N(h h(0) h(1) h(2) )2 3N(h )2 5N(h 2 112 1 0 )1( ) 2 1()()( N N n nNn zNhzznhzH 画出网络结构图 2021/1/27 Down Up Main Return 2 112 1 0 )1( ) 2 1()()( N N n nNn zNhzznhzH )2 1()( 12 1 0 )2 1(2 12 1 Nhzznhz N n nNnNN 将 z=ej 代入，并利用欧拉公式 )2 1

10、()2 1c o s (2)()( 12 1 0 2 1 NhnNnheeH N n Nj j 令 m=(N-1)/2-n，则 )2 1(c o s2)2 1()( 2 1 1 2 1 NhmmNheeH N m Nj j 提出因子 21Nz 频率响应 2021/1/27 Down Up Main Return )2 1(c o s2)2 1()( 2 1 1 2 1 NhnnNheeH N n Nj j 其中 0 ) 2 1 (2 0 ) 2 1 ( )( nn N h n N h na )()()( jj eHeH与 比较 幅度函数 相位函数 2 1 0 c o s)()( N n nna

11、H 2 1)( N 将 m换成 n 2 1 0 2 1 c o s)()( N n Nj j nnaeeH 2021/1/27 Down Up Main Return 2 0 H() )( 2 0 -(N-1) 可看出当 h(n)为 偶对称、 N为奇数 时： 由于 cos(n)对于 =0、 p、 2p皆为偶对称， 所以 H()对 =0、 p、 2p，也呈偶对称。 2021/1/27 Down Up Main Return 1 0 )()( N n nznhzH 1 2 1 2 0 )()( N Nn n N n n znhznh 直接画出网络结构，有 N次乘法与 N次加法 12 0 )1()1

12、( N m mNzmNh 将 m换成 n 12 0 )1()1( N n nNznNh又由于 h(n)=h(N-1-n) 12 0 )1( )()( N n nNn zznhzH 经变化后 H(z)共有 N次加法， N/2次乘法（可减少一半乘法器） 2、 偶对称， N为偶数 ， h(n)=h(N-1-n) 网络结构 令 n=N-1-m 2021/1/27 Down Up Main Return 图 7.4 线性相位 FIR滤波器网络结构 h(n)为偶对称， N为偶数 x(n) y(n) z-1 h(0) z-1 z-1 h(1) z-1 z-1 h(2) z-1 z-1 z-1 z-1 )12

13、N(h )22N(h 12 0 )1( )()( N n nNn zznhzH 2021/1/27 Down Up Main Return 12 0 )1( )()( N n nNn zznhzH 提出因子 21Nz 频率响应 2 1 2 1 )21c o s ()()( N n Nj j nnbeeH 并将 z=ej 代入，并利用欧拉公式， 以及进行变量代换，得 )2(2)( nNhnb )()()( jj eHeH与 比较 幅度函数 相位函数 2 1 )21c o s ()()( N n nnbH 2 1)( N 2021/1/27 Down Up Main Return 注意： 这种滤波

14、器不能用于 高通与带阻 ， 因为 H(p)=0 ，而以上二者在 =p处不为 0。 )( 2 0 -(N-1) 2 0 H() 可看出当 h(n)为 偶对称、 N为偶数 时， H()的特点如下： 当 =p时， cos(n-1/2)p=0，故 H(p)=0 即 H(z)在 z=-1处有一零点。 由于 cos(n-1/2)对 =p奇对称，对 =0、 2p偶对称， 所以 H()对 =p呈奇对称，对 =0、 2p呈偶对称 2021/1/27 Down Up Main Return 2 112 1 0 )1( ) 2 1()()( N N n nNn zNhzznhzH 此时 0)2 1( Nh 12 1

15、 0 )1( )()( N n nNn zznhzH 3、 奇对称， N为奇数 h(n)= h(N-1-n) 网络结构 化简方法同偶对称， N为奇数 2021/1/27 Down Up Main Return 图 7.5 线性相位 FIR滤波器网络结构 h(n)为奇对称， N为奇数 12 1 0 )1( )()( N n nNn zznhzH -1 -1 -1 -1 x(n) y(n) z-1 h(0) z-1 z-1 h(1) z-1 z-1 h(2) z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 )2 3N(h )2 5N(h -1 2021/1/27 Down Up Main Return 1

16、2 1 0 )1( )()( N n nNn zznhzH 进行化简 提出因子 21Nz jje j pp p )2s in()2c o s (2 频率响应 p 2 1 1 )2 12( s in)()( N n Nj j nnceeH )2 1(2)( nNhnc 幅度函数 相位函数 2 1 0 s in)()( N n nncH p 2 12)( N 注意： 2021/1/27 Down Up Main Return 注意： 这种滤波器同样不能用于 高通与带阻 滤波器。 )( 2 0 p )23N( /2 2 0 H() 可看出当 h(n)为 奇对称、 N为奇数 时， H()的特点如下：

17、sin(n)在 =0， p， 2p处都为 0，因此 H()在 =0， p ， 2p 处也都为 0，即 H(z)在 z= 1处有零点。 sin(n)在 =0、 p、 2p处都呈奇对称，故 H()对 =0、 p 、 2p也呈奇对称。 2021/1/27 Down Up Main Return 12 0 )1( )()( N n nNn zznhzH 图 7.6 线性相位 FIR滤波器网络结构 h(n)为奇对称， N为偶数 x(n) y(n) z-1 h(0) z-1 z-1 h(1) z-1 z-1 h(2) z-1 z-1 z-1 z-1 )12N(h )22N(h -1 -1 -1 -1 -1

18、 4、 奇对称， N为偶数 h(n)= h(N-1-n) 网络结构 化简方法同偶对称， N为偶数 2021/1/27 Down Up Main Return p 2 1 )2 12( ) 2 1s in ()()( N n Nj j nndeeH )2(2)( nNhnd 幅度函数 相位函数 2 1 )21s in ()()( N n nndH p 2 12)( N 可看出当 h(n)为奇对称、 N为偶数时， H()的特点如下： sin(n-1/2)在 =0， 2p处为 0，故 H()在 =0， 2p处也为 0，即 H(z)在 z=1处有零点。 频率响应 2021/1/27 Down Up M

19、ain Return 任何一种线性相位 FIR滤波器的群时延恒定。 )( 2 0 p )23N( /2 2p p 0 H() 2 1)()( N d d sin(n-1/2)在 =0、 2p处呈奇对称，在 =p呈偶对称 故 H()在 =0、 2p 处呈奇对称，在 =p呈偶对称。 2021/1/27 Down Up Main Return 则 1 0 1 0 )1()()( N n nN n n znNhznhzH 令 m=N-1-n，则 1 0 )1()()( N m mNzmhzH 1 0 )1( )()( N m mN zmhzzH 三、 线性相位 FIR滤波器的零极点分布 在第五章介绍过

20、， FIR滤波器系统函数 H(z)在 z=0处有 N-1 阶极点 ，在有限 z平面上有 N-1个零点 ，那么如果滤波器是 线性相位的，则此 N-1个零点的分布是有规律的。 一个线性相位 FIR滤波器有 h(n)= h(N-1-n) )( 1)1( zHz N 2021/1/27 Down Up Main Return )()( 1)1( zHzzH N )()( )1(1 zHzzH N 或 若 z=zi 是 H(z)的零点，即 H(zi)=0，则 H(zi-1)=0 即 z=1/zi=zi-1也一定是 H(z)的零点， 由于 h(n)是实序列，所以 H(z)零点必然以 共轭对 形 式存在，即

21、 zi*与 (zi*)-1 也是 H(z)的零点 结论 ：线性相位 FIR滤波器的零点必是 互为倒数的共轭对 。 因而得到 2021/1/27 Down Up Main Return ijii erz 零点 zi 既不在实轴上，也不在 单位圆上 ，如图 ri1， i0 jIm(z) z平面 Re(z) 1 0 zi zi* zi-1 (zi*)-1 )(1)1)(1)(1()( 111111 zzzzzzzzzH iiiii 这四个 零点是两组互为倒数的共轭对 。 因而他们的基本因子为： ijii erz ijii erz ij i i erz 1)( 1ij i i erz 11 分以下几种

22、情况 设零点 2021/1/27 Down Up Main Return 43211)( zazbzazzH i i i i r ra c o s)1(2 2 i i i rrb c o s4 12其中 上式可用线性相位 FIR滤波器 直接型结构 实现 (N=5) )(1)1)(1)(1()( 111111 zzzzzzzzzH iiiii 或化成两个实系数二阶多项式（把共轭对因子相乘） 用线性相位 FIR滤波器 级联型结构 实现 化简后为 xi(n) z-1 z-1 a b y i(n) z-1 z-1 a 2021/1/27 Down Up Main Return jIm(z) z平面 R

23、e(z) 1 0 zi zi* iji ez iji ez ij1i e)z( ij1i ez 这时 零点的共轭值就是它的倒数 。 因而他们的基本因子为： )1)(1()( 11 zzzzzH iii 21c o s21 zzi 用线性相位 FIR滤波器 直接型结构 实现 (N=3) 零点 zi在单位圆上，但不在实轴上 如图 ri 1， i0 xi(n) z-1 z-1 -2cosi y i(n) 2021/1/27 Down Up Main Return ii rz ii rz i 1 i r 1)z( i 1 i r 1z 这时 零点为实数，共轭值就是本身 。 因而他们的基本因子为： 21

24、111 )1(1)1)(1()( zz rrzzzzzH iiiii 用线性相位 FIR滤波器 直接型结构 实现 (N=3) Re(z) jIm(z) z平面 1 0 zi zi-1 i 0 “ ”号表示零点在负半轴，“ ”号表示零点在正半 轴 零点 zi在实轴上，但不在单位圆上 如图 ri1， i 0或 i 2021/1/27 Down Up Main Return jIm(z) z平面 Re(z) 1 0 -1 这时零点只能有两种情况， z=1 或 z= -1， 因而他们的基本因子为： )z1()z(H 1i “ ”号表示零点在 z=-1处，“ ”号表示零点在 z=1 用线性相位 FIR滤

25、波器 直接型结构 实现 (N=2) 零点 zi既在实轴上，又在单位圆上 如图 ri 1， i 0或 i 2021/1/27 Down Up Main Return 线性相位 FIR滤波器的零点 只能有以上四种情况 那么线性相位 FIR滤波器的系统函数 H(z)也可能由以上这 四种因子组合 而构成。 至此，了解了线性相位 FIR滤波器的各种特性。在应用时， 可根据实际需要选用合适类型的 FIR滤波器，同时设计时 要遵循有关的 约束条件 。 后续讨论线性相位 FIR滤波器的 设计方法 。 2021/1/27 Down Up Main Return 7.2 窗口法（傅氏级数法） 一、 设计思路 一个

26、理想的低通数字滤波器的频率响应如图所示，它以 2p为周期，用傅氏反变换可求得此滤波器的冲激响应。 -2p |Hd(ej)| 2p p -p 0 c -c p pp p p n ndedeeHnh cjnjnj dd c c )s in( 2 1)( 2 1)( 2021/1/27 Down Up Main Return 此冲激响应是无限长，但要求的是 有限长冲激响应滤波器 ， 要由 hd(n)得到 FIR滤波器的冲激响应 h(n)，最直接的方法就 是将 hd(n)截短，即令（假设 N为奇数） p nn nnh cd - )s in()( e ls e 0 2 1-N|n| ( n) )( d

27、h nh n 0 hd(n) 21-N2 1-N h(n) 2021/1/27 Down Up Main Return )()()( nwnhnh Rd e ls e 0 2 1-N|n| 1 )( nw R 这样便得到了 FIR数字滤波器的冲激响应 h(n)，但此滤波 器的频率响应 H(ej)肯定与理想滤波器的频率响应 Hd(ej) 有 差异 。（因为 h(n)与 hd(n)的差异） 二、 理论分析 频率响应 H(ej)是 冲激响应 h(n)的傅氏变换 )()()( nwnhnh Rd 上式相当于将 hd(n)与一矩形 窗函数 wR(n)相乘，即 )()(2 1)( p jRjdj eWeH

28、eH 2021/1/27 Down Up Main Return 2 1 2 1 )()( N Nn jn n jn R j R eenweW e ls e 0 2 1-N|n| 1 )( nw R 级数求和后利用欧拉公式，得到 2 s in 2 s in )( N eW jR 0 2p/N -2p/N WR(ej) 2p p WR(ej)在 2/N之 内为一个 主瓣 ，两 侧形成许多衰减振 荡的旁瓣。（周期 函数） 矩形窗函数 wR(n)的傅氏变换为 WR(ej) 2021/1/27 Down Up Main Return )()(2 1)( p jRjdj eWeHeH 图中 阴影所示面积

29、，即为积分的值 ，当 变化时， 此曲线左右移动，此面积也就发生变化。 因而得到频率响应 H(ej) p p pp c c deWdeWeH jRjRjd 2 1)(2 1 )()( 2021/1/27 Down Up Main Return 当 逐渐增大，随着图中不同正负，不同大小的旁瓣 移出和移入积分区间，使得 H(ej)的大小产生波动。 pp c cc c deWdeWeH jRjRj )(2 1)(2 1)( 0 几个特殊的频率点 当 =0时 2021/1/27 Down Up Main Return 继续增大，主瓣开始移出积分区间，因此 H(ej) 迅速下降， 进入过渡带。 整个主瓣仍

30、在区间内，而面积最大且为负值的旁瓣有一个已完 全移出区间，故此时 H(ej)取最大值约为 1.0895 H(ej0) ，此处称 为 上臂峰 或 正肩峰 。 当 =c 2p/N 时 2021/1/27 Down Up Main Return 即主瓣的中心移到了 c处，此时区间内曲线下的面积近似 等于 =0时面积的一半，因此 H(ejc) H(ej0)/2 当 =c时 2021/1/27 Down Up Main Return 继续增大到 p， H(ej)随着区间内旁瓣的移动而在阻带内 波动 整个主瓣完全移出了积分区间，而面积最大的一个负值旁 瓣还全部在此积分区间内，因此使得 H(ej)取最小值，

31、约为 -0.0895 H(ej0) ，此处称为 下臂峰 或 负肩峰 。 当 =c+2p/N时 2021/1/27 Down Up Main Return 由图可知，加了矩形窗后所到的 FIR数字滤波器的频率响应 H(ej)与理想的频响 Hd(ej)之间产生了差异，表现在 H(ej)出 现了肩峰、过渡带以及通带和阻带内的波动，这就是所谓的 吉布斯现象 。我们当然希望肩峰和波动尽可能小，过渡带尽 可能窄，这样才能更接近理想特件。 下图表示了 H(ej)在 由 -p p范围内变化的情况 -p 0的情况与 0 p对称； H(ej)以 2p 为周期 2021/1/27 Down Up Main Retu

32、rn 出现的这些差异与哪些出素有关？ 过渡带 ：正负肩峰之间为过渡带，其宽度等于窗函数频谱的主瓣宽 度（此过渡带与滤波器真正的过渡带还有一些差别，滤波器真正的 过渡带要小一些）对于矩形窗频谱 WR(ej)，此宽度为 4/N。因此， 过渡带宽度与所选窗函数有关，而对于一定的窗函数，增大 N可使 过渡带变陡。 肩峰及波动 ：这是由窗函数频谱的旁瓣引起的。旁瓣越多，波动就 越快，旁瓣相对值越大，波动越厉害，肩峰也越强。不同窗函数的 频谱旁瓣情况不向，因此肩峰及波动与所选窗函数有关。 长度 N的影响 ：长度 N的改变只能改变 坐标的比例以及窗函数频谱 WR(ej) 的绝对大小，不能改变主瓣与旁瓣的相对

33、比例，因而也就 不能改变肩峰和波动的相对大小，也就是说，增大 N，只能使通、 阻带内振荡加快，振荡幅度却不减小。 2021/1/27 Down Up Main Return 因此， 窗口法 设计 FIR滤波器 h(n)长度 N可以影响过渡带的宽度，而所选 窗函数 不仅可以 影响过渡带宽度，还能影响肩峰和波动的大小，因此选择窗 函数应使其频谱满足： 主瓣宽度尽可能小，以使过渡带尽可能陡； 旁瓣相对于主瓣越小越好，这样可使肩峰和波动减小。 但对窗函数的这两个要求总不能兼得，它们是相互制约的。 一般来说，若选择的窗函数频谱旁瓣较小，其主瓣就必定较 大，因此常常要根据实际需要进行折衷的选择。 2021

34、/1/27 Down Up Main Return )()()( jj eWeW 2 1)( N 因此，我们只需考察 w(n)和 W()的表示式即可。 由于 偶对称 ，所以相位函数都一样 三、 几种常用窗函数 这里介绍几种常见窗函数，它们的长度均设为 N， N可以 是奇数或偶数，但 w(n)都是 偶对称 的。 w(n)的频谱可以表示为： 2021/1/27 Down Up Main Return e ls e 0 2 1-N|n| 1 )( nw R 2 s in 2 s in )( N eW jR 以上为对称中心在 n 0处的 非因果矩形窗 其频谱为 0 2p/N -2p/N WR(ej)

35、1 wR(n) n 0 -(N-1)/2 (N-1)/2 矩形窗 前面讨论的矩形窗函数为 2021/1/27 Down Up Main Return 1 wR(n) n 0 N-1 (N-1)/2 e ls e 0 1n0 1)( Nnw R )()( nwnw NR wR(n)对称中心移到了 (N-1)/2，这 相当于 wN(n)有了 =(N-1)/2的延时 因此频谱变为 : )()( jNjjR eWeeW 2 s in 2 s in 2 1 N e N j 0 2p/N -2p/N WR() 2 s in 2 s in )( N W R 2 1)( N 将矩形窗右移 主瓣宽度为 4/N

36、2021/1/27 Down Up Main Return 1n21)-(N 21)-(Nn0 1)-(Nn22 1)-(Nn2 )( N nw 1 w(n) n 0 N-1 (N-1)/2 2 1 2 2 s i n 4 1 s i n 1 2 )( N j j e N N eW频谱为： 当 N1时 2 1 2 2 s i n 4 s i n 2 )( N j j e N N eW 主瓣宽度为 8/N 三角形窗 2021/1/27 Down Up Main Return p el s e 0 1n0 1 2 co s1 2 1 )( N N n nw 1 w(n) n 0 N-1 (N-1)

37、/2 p p 2 1) 1 2(25.0) 1 2(25.0)(5.0)( Nj RRR j e NWNWWeW 频谱为： 当 N 1时，幅度频谱近似为： )2(25.0)2(25.0)(5.0)( NWNWWW RRR pp 升余弦窗 汉宁 (Hanning)窗 2021/1/27 Down Up Main Return 频谱特性如图，由于这三部分频谱的相加，使总频谱的旁 瓣大大抵销，从而使能量有效地集中在主瓣内，但其代价 是使 主瓣 与矩形窗主瓣相比加宽了一倍，为 8p/N W() 0 4p/N 4p/N 0 2p/N -2p/N -4p/N 4p/N 0.5WR() )2(25.0)2(

38、25.0)(5.0)( NWNWWW RRR pp 0.25WR(-2p/N) 0.25WR(+2p/N) W() 2021/1/27 Down Up Main Return p e ls e 0 1n0 1 2c o s46.054.0 )( N N n nw )12(23.0)12(23.0)(54.0)( pp NWNWWW RRR 其幅度频谱为： 当 N1时 )2(23.0)2(23.0)(54.0)( NWNWWW RRR pp 可将 99 963%的能量集中在主瓣内，而主 瓣宽度 仍与汉宁窗 相同 (8p/N)，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的 1% 改进的升余弦窗 哈明 (

39、Hamming)窗 对升余弦窗加以改进，可以得到旁瓣更小的效果， 窗函数为： 2021/1/27 Down Up Main Return p e ls e 0 1n0 1 2c o s)1( )( N N n nw 汉宁窗 0.5；对于哈明窗 0.54。 二阶升余弦窗 一 布莱克曼 (Blackman)窗 为了进一步抑制旁瓣，可以对升余弦窗再加一个二次谐波的 余弦分量，这样得到窗函数为： p p e ls e 0 1n0 1 4c o s 08.0 1 2c o s5.042.0 )( N N n N n nw 显然，汉宁窗和哈明窗可以统一表示为 2021/1/27 Down Up Main

40、Return 布莱克曼 ) 1 4 (04.0) 1 4 (04.0 ) 1 2 (25.0) 1 2 (25.0)(42.0)( p p p p N W N W N W N WWW RR RRR 可得到更低的旁瓣，但 主瓣宽度 加宽到矩形窗的三倍 (12p/N) 各种窗函数的比较： 1 w(n) n 0 N-1 (N-1)/2 矩形窗 三角形 哈明 汉宁 其幅度频谱为： 2021/1/27 Down Up Main Return 矩形窗 函数的傅氏变换 （ N=51） 旁瓣峰值衰减 -13dB 主瓣宽度 4p/N （书表达不准） 理想低通滤波器加窗后 的幅度响应， c 0.5p 过渡带 1.

41、8p/N 阻带最小衰减 -21dB a 矩形窗 参见书 P158表 7.1 2021/1/27 Down Up Main Return 三角形窗 函数的傅氏变换 （ N=51） 旁瓣峰值衰减 -25dB 主瓣宽度 8p/N 理想低通滤波器加窗后 的幅度响应， c 0.5p 过渡带 4.2p/N 阻带最小衰减 -25dB b 三角形 2021/1/27 Down Up Main Return 汉宁窗 函数的傅氏变换 （ N=51） 旁瓣峰值衰减 -31dB 主瓣宽度 8p/N 理想低通滤波器加窗后 的幅度响应， c 0.5p 过渡带 6.2p/N 阻带最小衰减 -44dB c 汉宁窗 2021/

42、1/27 Down Up Main Return 哈明窗 函数的傅氏变换 （ N=51） 旁瓣峰值衰减 -41dB 主瓣宽度 8p/N 理想低通滤波器加窗后 的幅度响应， c 0.5p 过渡带 6.6p/N 阻带最小衰减 -53dB d 哈明窗 2021/1/27 Down Up Main Return 布莱克曼窗 函数的傅氏 变换 (N=51) 旁瓣峰值衰减 -57dB 主瓣宽度 12p/N 理想低通滤波器加窗后 的幅度响应， c 0.5p 过渡带 11p/N 阻带最小衰减 -74dB e 布莱克曼窗 2021/1/27 Down Up Main Return 以上几种窗函数都是以一定的 主

43、瓣加宽为代价 来 换取 某种 程度的 旁瓣抑制 。 凯塞窗 (Kaiser) 凯塞窗本身就可以全面地反映主瓣宽度与旁瓣衰减之间的 交换关系，它可以通过某一参数的调整在二者之间自由地 选择它们的比重（略） 2021/1/27 Down Up Main Return 四、 设计方法 首先 给定 所要求的频率响应函数 Hd(ej)。 其次 求 其反变换，得到无限长序列 hd(n) 。 由 过渡带 及 阻带最小衰减 的要求，利用表 7.1或表 7.2， 选定 窗 函数 w(n)的形状及 N的大小，一般 N要通过几次试探而确定。 求得所设计的 FIR滤波器的单位抽样响应。 h(n) = hd(n)w(n

44、) 求 H(ej)，检验是否满足设计要求。 （如不满足需重新设计） 2021/1/27 Down Up Main Return p n n nnh c d - )s in ()( n 0 hd(n) 根据 h(n)=hd(n)w(n)， w(n)与 h(n)都为 0N-1，且对称中心 为 (N-1)/2，所以要求对 hd(n)进 行移位，才能得到正确的 h(n) 注 意 前面介绍窗函数的理论时的分析，虽然是针对矩形窗，但其 基本原则 和 所得结论 对于采用其他窗时也完全适合。只是所 涉及的序列都是以 n=0为对称中心的，即都是非因果的，但 实际中，所要求的滤波器都应当是因果的，即要求 h(n)

45、为因 果序列 (0N-1)。 2021/1/27 Down Up Main Return p nn nnh cd - )( )s in ()( 阻带 通带 0 )( jj d eeH n 0 )2 1Nn(h d (N-1)/2 N-1 这样将 hd(n)加窗后， w(n)是偶对称因果序列，所以 h(n)也是 偶对称因果序列，对称中心在 =(N-1)/2。 H(ej)=H()ej() ， H()与对称中心在 n=0的 hd(n)的频谱一样， 但 2 1)( N 将 hd(n)对称中心移至 =(N-1)/2，相当于 延时 （ N为奇数） 2021/1/27 Down Up Main Return

46、 例 7-2-1：设计一个线性相位 FIR低通滤波器，给定抽样频率为 Ws=2p 1.5 104(rad/s)，通带截止频率为 Wp=2p 1.5 103(rad/s)， 阻带截止频率 Wst=2p 3 103(rad/s)，阻带衰减 d2不小于 -50dB。 幅度特性如图： 0 1 |H(j)| st 0.5 0dB -50dB p c 解 ： (1)求对应的数字频率 pWWpW 2.0/2 sppp T pWWpW 4.0/2 sststst T (2)设 Hd(ej)为理想线性相位滤波器 ls e 0 | )( c e eeH jj d 2021/1/27 Down Up Main Re

47、turn 理想滤波器截止频率 Wc为两个肩峰值处频率的中点， 所以可近似有 Wc (Wp + Wst)/2= 2p 2.25 103(rad/s) pWWpW 3.0/2 sccc T (3)求 hd(n) 直接反变换 p p p p p p )(n )(n )( )s i n ( )( 2 1 )( 2 1 )( c n cn c c dedeeHnh njjnjdd (4)由阻带衰减来确定窗形状 ，由过渡带求 N d2不小于 50dB，查表 7.1 可选哈明窗，其阻带最小衰减 53dB 2021/1/27 Down Up Main Return 哈明窗过渡带宽为 D=st -p = 6.6

48、p/N = 0.4p-0.2p = 0.2p，求得 N = 33 =(N-1)/2=16 (5)由 w(n)确定 h(n) p e ls e 0 1n0 1 2c o s46.054.0 )( N N n nw )()()( nwnhnh d )(12c o s46.054.0 nRN n Np )(12c o s46.054.0)( )s in ( nRN nn n Nc pp )(16c o s46.054.0)16( )16(3.0s in 33 nRnn n ppp 2021/1/27 Down Up Main Return (6)由 h(n)求 H(ej)，检验各项指标是否满足要求，

49、如不满足要 改变 N或改变窗形状重新计算。 H(ej)图形如下，满足要求。 2021/1/27 Down Up Main Return p ls e 0 | )( c e eeH jj d p p )( )s in ( n n 是全通滤波器，因此一个高通滤波器相当于一个 全通滤波器减去一个低通滤波器。 注意：确定 N时只能取奇数。 H(p)=0 p p p p )(n )(n )( )s in ()s in ( )( c c d n nn nh 几种常见滤波器得频率响应 理想线性相位 高通 滤波器 2021/1/27 Down Up Main Return p ls ee 0 | 0 e)e(

50、H 21jj d p p )(n )(n )( )s in ()s in ( )( 12 12 n nn nh d 一个带通滤波器相当于两个低通滤波器相减，其中一个截止 频率为 2 ，令一个截止频率为 1 。当 1 =0 、 2 = c 时，即 为理想低通，当 1 = c 、 2 =p时，即为理想高通。 理想线性相位 带通 滤波器 2021/1/27 Down Up Main Return p ls e 0 | ,| 0 )( 21 e eeH jj d p p p p )(n )(n )( )s in ()s in ()s in ( )( 21 21 n nnn nh d 理想线性相位 带阻

51、 滤波器 一个带阻滤波器相当于一个低通滤波器（截止频率为 1 ） 加上一个高通滤波器（截止频率为 2 ） 注意：确定 N时只能取奇数。 H(p)=0 2021/1/27 Down Up Main Return 7.3 频率取样设计法 窗口法 是以时域为出发点来设计 FIR数字滤波器的。 频率 取样法 则是从频域出发，以有限个频率响应抽样，去近似 理想的频率响应。 FIR滤波器的系统函数 H(z)可由 H(k)通过一个内插式精确 的恢复 1 0 11 )(1)( N k kN N zW kH N zzH )(|)(|)()( 2 2 kNj kN j Wz eHeHzHkH kN p p 其中

52、H(k)即为频率取样 2021/1/27 Down Up Main Return 1-N,0 , 1 ,k )(|)()( 2 2 p p kNj dk N j dd eHeHkH 令 H(k) Hd(k)，即以 Hd(k)作为实际 FIR滤波器的频率响应 样值 H(k)，然后通过内插式所求得的 H(z)和 H(ej) ，就可以 逼近理想系统函数 Hd(z) 和 Hd(ej) 。 我们对理想频率响应 Hd(ej)进行取样，即 在各频率抽样点上，滤波器的实际频率响应是严格的和理想 频率响应数值对应，但是在抽样点之间的频率响应则是由各 抽样点的加权内插函数叠加形成，因而有一定的逼近误差。 误差的大

53、小取决于理想频响的曲线形状。 2021/1/27 Down Up Main Return 0 2p/N Hd(ej) H(ej) H(k) 0 H(ej) Hd(ej) 取样点之间理想频率响应特性变化越平缓，则内插值越接近理 想，逼近误差越小。反之理想频率响应特性变化越陡，则内插 值与逼近误差越大，因而在理想特性不连续点附近就会产生肩 峰与波纹 2021/1/27 Down Up Main Return 如果我们所设计的 FIR滤波器是线性相位的，还必须使取 样频响的幅度和相位遵守 7.1节中所讨论的约束条件。 对于第一类线性相位 FIR滤波器，即 h(n)偶对称， N为奇 数 h(n)=h(

54、N-1-n) )()()( jj eHeH 幅度函数 相位函数 2 1 0 c o s)()( N n nnaH 2 1)( N kN Nj kN j eHeHkH p p 22 1 2 |)(|)()( 令抽样值也用幅值和相角表示 H(k)=Hkejk 一、 线性相位的约束 2021/1/27 Down Up Main Return 7.3 .1 ) 1 1( 2 2 1 ) 2 ( N kk N N k N HH k k p p p 又因为 H()在 0 2p是 的偶函数，且以 2p为周期 ， 即有 H() = H( ) = H(2p ) 那么样值也为偶对称 H(2pk/N) = H(2p

55、 2pk/N)， 即 Hk HN k 7.3.2 就是说，当所设计的 FIR滤波器的单位取样响应 h(n)为 偶对称，且 N为奇数时，取样频响 H(k)的相位和幅度 应满足式 7.3.1和式 7.3. 2。 所以有 2021/1/27 Down Up Main Return )11( Nkk p 因为 H()在 0 2p是 的奇函数，且以 2p为周期 ， 即有 H() = H(2p ) 那么样值也为奇对称 H(2pk/N) = H(2p 2pk/N)， 即 Hk HN k （第三类和第四类滤波器以此类推） 对于第二类线性相位 FIR滤波器，即 h(n)偶对称， N为偶数 k即同样满足 2021

56、/1/27 Down Up Main Return Imz Rez 0 1 N=12 -1 2p/N Imz Rez 0 1 N=11 -1 2p/N 二、 频率取样的两种方法 对 Hd(ej)进行频率抽样，就是在 z平面单位圆上的 N个等间 隔点上抽取出频率响应值。在单位圆上可以有两种抽样方 式， 第一种是第一个抽样点在 =0处 （或在 z ej0=1处）， 第二种是第一个抽样点在 =p/N处 （或在 z=ej/N处），每种 方式可分为 N是偶数与 N是奇数两种，如图所示： 2021/1/27 Down Up Main Return Imz Rez 0 1 N=12 -1 2/N /N Im

57、z Rez 0 1 N=11 -1 2/N /N 1 0 11 )( 1)( N k kN N zW kH N zzH第一种抽样内插公式 第二种抽样内插公式 1 0 1)2 1( 1 )( 1)( N k k N N zW kH N zzH （这里的频率取样法设计与第五章的频率取样结构并不是一回事） 第 二 种 2021/1/27 Down Up Main Return 在低通设计中，当不加过渡点时，阻带最小衰减为 20dB 过渡带宽 2p/N 0 Hd(ej) Hk c 三、 过渡带抽样的优化 逼近误差的大小取决于理想频响的曲线形状（是否平滑） 为了改善滤波器的特性，可以在频响间断点附近区间

58、内插 入一个或几个过渡取样点，从而增加过渡带，减小频带边 缘的突变，也就减少了起伏振荡，增大了阻带最小衰减。 2021/1/27 Down Up Main Return 0 Hd(ej) Hk Hc1 c 增加两个过渡点时，阻带最小衰减可提高到 60dB 75dB 过渡带宽 6p/N 0 Hd(ej) Hk Hc1 Hc2 c 增加一个过渡点时，阻带最小衰减可提高到 40dB 54dB 过渡带宽 4p/N 2021/1/27 Down Up Main Return 0 Hd(ej) Hk Hc1 Hc2 c Hc3 一般来说，增加三个过渡点即可满足设计结果，它是以增 加过渡带宽度为代价的。 有

59、些时候增加一个过渡点不能满足要求，且又不让增加过 渡带宽，这时可增加取样点数 N，即 N越密集，误差越小。 但增大 N会使滤波器阶次增高，计算量增大。 增加三个过渡点时，阻带最小衰减可提高到 80dB 95dB 过渡带宽 8p/N 2021/1/27 Down Up Main Return 例 7-3-1：利用频率取样法，设计一个线性相位低通 FIR数字滤 波器，其理想频率特性是矩形的 ls e 0 | 1|)(| c e eH jd 0 |Hd(ej)| H k c 0 1 8 9 16 k 根据指标，可画出 取样后的 H(k)序列 如图： 根据 H(k)计算出 H(ej)，其阻带最小衰减约

60、为 20dB 过渡带为 2p/33 已知 c =0.5p，取样点数 N=33 2021/1/27 Down Up Main Return 继续增加过渡点，可提高 系统性能，但不希望再加 宽过渡带，这时可增加取 样点数 N 0 |Hd(ej)| H k c 0 1 8 9 16 k 0 |Hd(ej)| H k c 0 16 32 k 设 N=65，在 k=17,18点处 插入过渡点，如图 其阻带最小衰减可达到 60dB，过渡带宽为 6p/65 增加一个过渡点，相当于加宽过渡带，其宽度为 4p/33，可算 出阻带最小衰减约为 40dB。 2021/1/27 Down Up Main Return

61、 7.4 IIR滤波器与 FIR滤波器的比较 1、 在相同的技术指标下， IIR滤波器 存在着对输入的反馈，所 以 可用 比 FIR滤波器 较少阶数来满足指标的要求，所用存储 单元少，运算次数少，较为经济 。例，频率抽样法设计阻带 衰减为 20dB的 FIR滤波器，其阶数要 33阶才能达到，而用 双线性变换法设计只需 4 5阶的切比雪夫 IIR滤波器即可达到 指标要求，所以 FIR滤波器的阶数要高 5 10倍左右。 2、 FIR滤波器可得到严格的线性相位，而 IIR滤波器做不到 ， IIR滤波器的选择性愈好，其相位的非线性愈严重。因而，如 果 IIR滤波器要得到线性相位，又要满足幅度滤波的技术

62、要求， 必须加全通网络进行相位校正，这同样会大大增加滤波器的 阶数。从这一点上看， FIR滤波器又优于 IIR滤波器。 2021/1/27 Down Up Main Return 3、 FIR滤波器 主要采用非递归结构，因而无论是从理论上还 是从实际的有限精度的运算中它都是 稳定 的，有限精度运 算的误差也较小。 IIR滤波器 必须采用递归结构， 极点必 须在 z平面单位圆内才能稳定 ，对于这种结构，运算中的 四舍五入处理有时会引起寄生振荡。 4、对于 FIR滤波器 ，由于冲激响应是有限长的，因而 可以用 快速傅里叶变换算法 ，这样运算速度可以快得多。 IIR滤 波器 则 不可以 这样运算。

63、2021/1/27 Down Up Main Return 5、从设计上看， IIR滤波器利用模拟滤波器设计的 现成的闭合 公式、数据和表格 ，因而 计算工作量较小 ，对计算工具要求 不高。 FIR滤波器则一般没有现成的设计公式，窗函数法只 给出窗函数的计算公式，但计算通带、阻带衰减仍无显示表 达式。 一般 FIR滤波器设计 仅有计算机程序可资利用，因而 要借助于计算机 。 6、 IIR滤波器主要是设计 规格化的、频率特性为分段常数的 标 准低通、高通、带通、带阻、全通滤波器 。 FIR滤波器则 要 灵活得多，例如频率抽样设计法， 可适应各种 幅度特性及相 位特性的 要求 ，因而 FIR滤波器可设计出理想正交变换器、 理想微分器、线性调频器等各种网络，适应性较好，而且目 前已有许多 FIR滤波器的计算机程序可供使用。