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1、相平面法例题解析：要求：1正确求出对于非线性系统在每个线性区的相轨迹方程，也就是e-e之间关系的 方程（或c-c ）。会画相轨迹（模型中是给具体数的）。关键是确定开关线方 程。2. 探如果发生自持振荡，计算振幅和周期。注意相平面法一般应：1）按照信号流向与传输关系。线性部分产生导数关系，非线性部分形成不同分区。连在一 起就形成了不同线性分区对应的运动方程，即含有c或者e的运动方程。3）探根据不同线性分区对应的运动方程，利用解析法（分离变量积分法或者消去t法） 不同线性分区对应的相轨迹方程，即c - c和e - e之间关系。4）根据不同分区的初始值绘制出相轨迹，并求出稳态误差和超调、以及自持振荡
2、的周期例2：具有死区特性的非线性系统分析。设系统开始处于静止状态。问题1.用相平面法分析系统在输入r（t） = 41（t）时的运动情况。 问题 2. 如果发生自持振荡 ，求自持振荡的周期和振幅。 解：问题 1：1）设系统结构图，死区特性的表达式：2）探根据不同线性分区对应的运动方程的条件方程确定开关线方程。开关线方程确定 很关键。和振幅等。x = 0, I e 1 2 2x = e + 2, e 22）线性部分：孚）=1，则运动方程为：c = xX （s） s 23）绘制e e平面相轨迹图。因为e = r-c，c = r e，c = r-e，c = r e。代入贝ije = - x+r（1）e
3、 = 0,I e I 0 , r = 0 , r = 0。代入，则各区的运动方程 2IIe = e 2, e 2III由于非线性特性有3个分区，相平面e e分为3个线性区。注意，当相平面选好后，输入代入后，最后代入非线性特性。4）系统开关线：e = 2。5)由题意知初始条件e(0) = r(0) c(0) = 4 , e(0) = r(0) c(0) = 0在 II 区，则从初始值出发绘制相轨迹：【注】用解析法中的斜率法求：上课时按照此方法求相轨迹方程： II区：e + e-2 = 0 不是标准线性系统运动方程的形式。根据斜率方程 =2二-，则分离变量积分得Ie（2 -e）de二Jeedede
4、 e e4o则e e之间的相轨迹方程为（e- 2）2 + e2 = 4结论：II区以奇点（2,0）为中心的圆，与右开关线e = 2的交点A（2, -2）I区：e = 0， e =常数=-2，水平线，与左开关线e = 2的交点B（-2， -2）m区：e+e+2 = o 不是标准线性系统运动方程的形式。de e e 一 2亠根据斜率方程=；=，则分离变量积分得de e e1 （2 + e）de = e ede （注意新的初始值B （-2，-2）22则e e之间的相轨迹方程为（e + 2）2 + e2 = 4结论：m区以奇点（-2,o）为中心的圆。以此例推，出现了一个封闭椭圆。 极限环问题 2：若相
5、平面中出现了稳定的极限环对应着非线性的自持振荡。问题：自持振荡的周期怎么算呢？幅值怎么算呢？如图：这是个椭圆，1)周期：T = 4(t +1 )CA AD=J2 de = J2de，4 e 4 一 4 - (e - 2)2e2 + (e 2)2 = 4e = -、： 4 (e 2)2， 意，e 在图中为负的。=J01 de = J0 de = 1e 2 2ii 区：tCA这是因为：i 区： tAD 2 e2振幅一一代表此时的位移，也就是此时与横轴的交点位置大小一一即C点的横 坐标。 这是因为，对于整个非线性系统的奇点是（0，0 ）。对于该点，最大的 位移就是振幅，因此是 C 点的横坐标 4。例
6、 3：具有继电器特性的非线性系统分析解：问题 1：（10 分）r+计算相轨迹旋转一周所需时间。 （5 分）2006-B （15分）非线性控制系统如图。问题 1：设r = 0 ,绘制起点在c二2 , c二0的c-c相轨迹图。（10分）0 0问题 2：0, I e 1 11）非线性环节数学表达式：x = 1-2, e -12）线性部分：*異=1所以描述线性部分的运动方程为：c = xX （ s ） s 2c = 0 I e I 1则 1c = -2 e -13）绘制c c平面相轨迹。e = r c,令r = 0，e = -c，c = 0,I c I 1I则各区的运动方程 1 IIc = 2, c
7、01 区c = r c + M n c + c = 2 + M, c 01区c + c - 2.5 = 0, c 0u = 1, e + Te 0， r = 0。代入（2）式，则各区的运动方程则e = u （3）上式代入非线性特性，于是各区的运动方程：e - 1,e + Te 0 1区 e 1,e + Te 0Re(b) -1N(A)和G(j0的曲线图图 8.62 例题8.3图cN有同学问，图(1)如何变成图(2)? 答：结构图等效(1)GGG 1231 + G1系统的稳定性相同。有同学问，图(2)如何变成图(3)的？ 答:因为无法通过结构图等效得出总 的闭环传递函数。但是考虑到，非线性系统的
8、描述函数法是 在没有输入信号的情况下，探讨系统的稳 定性。具体的根据特征方程：D( s) = 1 + N (A)G (s) = 0因此，探讨的是G j)与-1. N(A)曲线的 关系。因此，根据特征方程等效关系，将图(2) 变为图(3，则此时此2图对应的非线性图 8.63结构图化简过程图解(1)首先将结构图简化成非线性部分N(A)和等效线性部分G(s)相串联的结构形式, 如图 8.63 所示。所以，等效线性部分的传递函数为G (s)G ( s)G ( s)1231 + G (s)11s( s + 1)2s (s 2 + s + 1)s( s + 1)非线性部分的描述函数为画出-1 N(A)和G(j )曲线如图8.62( b )所示，可见系统存在自持振荡。由自持振荡条件可得-N (A)=j(1 -2 + j)-2.(1 -2)=+ j-2 2 2比较实部、虚部，得将M = 1,h = 1 代入，联立解出3= 1 rad/s， A = 2.29。2)当 G3(s) = s 时12X X ss (s +1) s =21 +1s 2 + s +1s (s +1)G(jw)如图8.62( b )中虚线所示，此时G(jw)不包围一 1/N(A)曲线，系统稳定。可见, 适当改变系统的结构和参数可以避免自持振荡。
自动控制原理例题详解-第8章例题
