函数与极限内容提要与典型例

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1、第一章 函数与极限 典型例题 内容提要 习 题 课 一、主要内容 （一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念 函 数 的定义 函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性 反函数 隐函数 反函数与直接 函数之间关系 基本初等函数 复合函数 初等函数 双曲函数与 反双曲函数 （一）函数 数列极限 函 数 极 限 axnn lim Axf x )(li mAxfxx )(li m 0 左右极限 极限存在的 充要条件 无穷大 )(lim xf 两者的 关系 无穷小 的性质 极限的性质 求极限的常用方法 无穷小 0)(lim xf 判定极限 存在的准则 两个重要 极限 无穷小的

2、比较 等价无穷小 及其性质 唯一性 （二）极限 （三）连续 连 续 定 义 0l i m 0 y x )()(l i m 0 0 xfxf xx 连 续 定 义 左右连续 连续的 充要条件 间断点定义 振 荡 间 断 点 无 穷 间 断 点 跳 跃 间 断 点 可 去 间 断 点 第一类 第二类 在区间 a,b 上连续 连续函数的 运算性质 初等函数 的连续性 连续函数 的 性 质 二、典型例题 例 1 求下列极限 )11()311)(211(lim 222 n n )1|(|),1()1)(1)(1(lim 242 xxxxx n n 解答 )11()311)(211(lim 222 n n

3、 n n n n n 11 3 4 3 2 2 3 2 1l i m 原式 n n n 1l i m 2 1 2 1 )1|(|),1()1)(1)(1(lim 242 xxxxx n n x xxxx n n 1 )1()1)(1)(1(lim 22 原式 x x n n 1 1lim 12 x 1 1 例 2 证明： 1lim n n a 证 1a先设 1n a则 01 nnn hah记 得由 nn ha 1 2!2 )1(1)1( nnnn hnnnhha nnh （整体和大于部分和） n ah n 0 由夹逼定理知 0lim nn h 1l i m nn a baa 11 ，记若 1b

4、则 nn n n b a 1limlim 1 1 , l i m 1n n aa 若 则 显 然 成 立 ； .)321(lim 1 nnn n 求 1 3 2 3 1 3)321( 1 1 nnn nnn , 3132311 nn而 , 33)321(3 11 nnnn 故 , 3)33(lim 1 n n 又 . 3)321(l i m , 1 nnn n 得由夹逼定理 夹逼定理 例 3. 解 例 4. 求 解 : 1 4 0 2li m 1 x xx e e 34 4 0 2l im 1 xx xx ee e 0 1 4 0 2lim 1 x xx e e 1 4 0 2l im 1 x

5、 xx e e 2 左右极限不相等，故原函数极限不存在。 例 5. 确定常数 a , b , 使 解 : 原式 0)1(lim 3 1 3 x b xx ax 0)1(lim 3 1 3 xbxx a 故 ,01 a 于是 ,1a 而 23 33 23 1)1( 1lim xxxxx 解 例 6. 1 2 1 c os 0 l im ( 1 si n ) . x x x 求 1 2 2 1 c o s 00 l n ( 1 s i n ) l i m ( 1 s i n ) e x p l i m 1 c o s x xx xx x , )0( 2c o s1 , )1l n ( 2 得由 x

6、xxxx 2 20 2 s i ne x p l i m x x x 2 2 200 s i ne x p l i m 2 l i m . xx x e x 例 7. .)s in1 ta n1(l im 3 1 0 x x x x 求 3 1 0 )1s in1 ta n1(1lim x x x x 原式 3 1 0 s in1 s inta n1lim x x x xx 30 1 s i n1 s i nta nlim xx xx x 3 0 1 c o s)s i n1( )c o s1(s ilim xxx xx x xxx x x x x c o s)s i n1( 1c o s1s

7、 i nlim 20 2 1 .21e 原式 解 例 8. .c o sln c o slim 2 0 x xe x x 求 )1( c o s1l n ( c o s1 )1( c o s1l n ( 1lim 2 0 x x x e x x 原式 )1( c o s1l n( c o s1lim 0 x x x )1( c o s1l n ( 1l i m 2 0 x e x x 1c o slim 2 0 x x x 1c o s c o s1lim 0 x x x 3 解 例 9. ).(l i m 2 1 12s i n)(1 l i m , )(l i m 0 300 xf e x

8、xf xf x xxx 求 且存在已知 . 0 )( , )(lim 0 时有界当故函数存在由于 xxfxfx 02si n)(lim 0 得由 xxfx )0( 2s i n)(2112s i n)(1 xxxfxxf 从而 , 3 )(lim 3 2s i n)( 2 1 lim 1 12s i n)(1 lim2 0030 xf x xxf e xxf xxxx .6)(l i m 0 xfx故 .2111 , 0 xxx 时 2 si n 4 ,0 2 20 2( 1 ) 0 1 ln 1 1 x x x x fx xx x x x ， ， ， xf 例 10 研究 在其定义域内的连续

9、性 设 20 f 2lim 0 xfx 2lim0 xfx )(xf 0 x 01 f 11 )1(1l n lim1 lnlimlim 111 xxxxxf xxx 0lim 1 xfx 所以 在 点连续； 1x xf 1x 所以 是跳跃间断点；函数 除 外，处处连续 xf ),1(1.( 即 的连续区间为 解： 例 11 . 1, 2 c o s 1,1 )( 的连续性讨论 x x xx xf 解 改写成将 )( xf 1,1 11, 2 co s 1,1 )( xx x x xx xf .),1(),1,1(),1,()( 内连续在显然 xf ,1时当 x )(lim 1 xfx )1(

10、l i m1 xx .2 )(lim 1 xfx 2c o slim 1 x x .0 )(lim)(lim 11 xfxf xx .1)( 间断在故 xxf ,1时当 x )(l i m1 xfx 2c o slim 1 xx .0 )(lim 1 xfx )1(lim 1 xx .0 .1)( 连续在故 xxf .),1()1,()( 连续在 xf 有无穷间断点 0 x 及可去间断点 ,1x 为无穷间断点 , )1)( lim 0 xax be x x 所以 be xax xx )1)(l i m 0 0 1,0 ba 为可去间断点 , )1(l i m 1 xx be x x 极限存在

11、0)(lim 1 be xx eeb x x 1l i m 设函数 试确定常数 a 及 b. b a 1 例 12 解 例 13 ).() 2 1 (1,0 ),1()0(,1,0)( ff ffxf 使得证明必有一点 且上连续在闭区间设 证 ),()21()( xfxfxF .21,0)( 上连续在则 xF ),0()21()0( ffF ),21()1()21( ffF 讨论 ,0)0( F若 ,0则 );0()210( ff ,0)21( F若 ,21则 );21()2121( ff 令 则若 ,0)21(,0)0( FF )21()0( FF 2)0()21( ff .0 由 零点定理

12、 知 , ),21,0( .)()21( 成立即 ff 综上 , .)()21( 成立使 ff )0()21()0( ffF )21()1()21( ffF .0)( F使 ,1,021,0必有一点 思考与练习 1. ,3)11(lim 2 baxxx x 已知 .ba 、求常数 2. ccx cx x x ，求设 4lim 3. ,1lim)( 2 12 为连续函数设 n n n x baxxxf .ba、求 求 的间断点 , 4. 并判别其类型 . 0 1 1 1. ,3)11(lim 2 baxxx x 已知 .ba 、求常数 解 原极限 = 1 1)()1(lim 2 x bxabxa

13、 x 3 01 a 3 ab 1a 4b 2 ccx cx x x ，求设 4lim 解一 x x x x cx c cx cx 21limlim c c c cx x cx c cx c 2 1 2 1l i m 2 2 ce2 4 2ln22 c 2lnc得 解二 x x x x x x c x c cx cx 1 1 limlim c c e e ce2 3 ,1lim)( 2 12 为连续函数设 n n n x baxxxf .ba、求 解 )( xf 1| x 1| x 1x 1x bax x 1 )1(21 ba )1(21 ba ,)( 连续xf )01( f )01( f )1

14、( f 即 1 ba )1(21 ba ,1时 x )( xf 1| x 1| x 1x 1x bax x 1 )1(21 ba )1(21 ba ,)( 连续xf )01( f )01( f )1(f 即 1ba )1(21 ba ,1时 x 1 ba )1(21 ba 得 ,0b 1a 求 的间断点 , )1)(1( s i n)1(lim 1 xxx xx x ,1sin2 1 x = 1为第一类可去间断点 ,)(lim 1 xfx x = 1为第二类无穷间断点 ,1)(l i m 0 xfx x = 0为第一类跳跃间断点 4 解 并判别其类型 . 0,1,1 xxx 是间断点 , ,1x 0 x ,1x 0 1 1 , 1 ) ( lim 0 x f x