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1、1 第一节 传热基本原理 第二节 铸件凝固温度场的解析解法 2 第一节 传热基本原理 一、温度场基本概念 二、热传导过程的偏微分方程 三、凝固温度场的求解方法 3 一、温度场基本概念 不稳定温度场 ： 温度场不仅在空间上变 化，并且也随时间变化的温度场 ： 稳定温度场 ： 不随时间而变的温度场 （即温度只是坐标的函数）： t,z,y,xfT z,y,xfT 4 等温面 ：空间具有相同温度点的组合面。 等温线 ：某个特殊平面与等温面相截的交线。 温度梯度 ：对于一定温度场，沿等温面或等温线 某法线方向的温度变化率。温度梯度越大，图形 上反映为等温面（或等温线）越密集。 5 二、热传导过程的偏微分
2、方程 三维 傅里叶 热传导 微分方程为 ： 式中 : 导温系数， ； 拉普拉斯运算符号。 二维 传热 ： 一维 传热 ： Taz Ty Tx TctT 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y T x Ta t T 2 2 x Ta t T ca a 2 6 对具体热场用上述微分方程进行求解时，需要根 据具体问题给出导热体的初始条件与边界条件。 初始条件 ： 初始条件是指物体开始导热时 （即 t = 0 时）的瞬时温度分布。 边界条件 ： 边界条件是指导热体表面与周 围介质间的热交换情况。 7 常见的边界条件有以下三类： 第一类边界条件 ： 给定物体 表面温度 随时间的变 化关系 第二类边
3、界条件 ： 给出通过物体 表面的比热流 随 时间的变化关系 第三类边界条件 ： 给出物体周围 介质温度 以及物 体表面与周围介质的 换热系数 上述三类边界条件中，以第三类边界条件最为常 见。 nT fw TT tzyxqnT , )(tfT w 8 三、凝固温度场的求解方法 （一） 解析法 （二） 数值方法 9 （一） 解析法 解析方法是直接应用现有的数学理论和定律 去 推导 和演绎数学方程（或模型），得到用 函数形式 表示的解，也就是解析解。 优点 ：是物理概念及逻辑推理清楚，解的函数表 达式能够清楚地表达温度场的各种影响因素，有利 于直观分析各参数变化对温度高低的影响。 缺点 ：通常需要采
4、用多种简化假设，而这些假设 往往并不适合实际情况，这就使解的精确程度受到 不同程度的影响。目前，只有简单的一维温度场 （ “ 半无限大 ” 平板、圆柱体、球体）才可能获得 解析解。 10 （二） 数值方法 数值方法又叫数值分析法，是用计算机程序来求解数学模型的 近似解（数值 解） ，又称为 数值模拟 或计算机模拟。 差分法 : 差分法是把原来求解物体内随空间、时间连续分布的温度问题，转化 为求在时间领域和空间领域内 有限个离散点 的温度值问题，再用这些离散点上 的温度值去逼近连续的温度分布。差分法的解题基础是用差商来代替微商，这 样就将热传导微分方程转换为以节点温度为未知量的线性代数方程组，得
5、到各 节点的数值解。 有限元法 : 有限元法是根据变分原理来求解热传导问题微分方程的一种 数值计算方法。有限元法的解题步骤是先将连续求解域分割为 有限个单 元 组成的离散化模型，再用变分原理将各单元内的热传导方程转化为等 价的线性方程组，最后求解全域内的总体合成矩阵。 11 第二节 铸件凝固温度场的解析 解法 一、半无限大平板铸件凝固过程的 一维不稳定温度场 二、铸件凝固时间计算 三、界面热阻与实际凝固温度场 四、铸件凝固方式及其影响因素 12 一、半无限大平板铸件凝固过程的 一维不稳定温度场 x Ti 铸件 1 c1 1 铸型 2 c2 2 T 0 图 2-3无限大平板铸件凝固温度场分布 T
6、20 T10 铸型 已凝固铸件 剩余液相 铸型 图 taxTTTT ii 1101 2 e r f taxTTTT ii 2 202 2e r f 13 推导过程 假 设： （ 1）凝固过程的初始状态为： 铸件与铸型内部分别为均温，铸件起始温度为浇铸温 度 ，铸型的起始温度为环境温度或铸型预热温度 ； （ 2）铸件金属的凝固温度区间很小，可忽略不计； （ 3）不考虑凝固过程中结晶潜热的释放； （ 4）铸件的热物理参数与铸型的热物理参数不随温度变化； （ 5）铸件与铸型紧密接触，无界面热阻，即铸件与铸型在 界面处等温 Ti 。 14 求解一维热传导方程： 通解为： erf（ x）为高斯误差函数，
7、其计算式为： 2 2 x Ta t T atxDCT 2e r f at x de at x 2 0 22 2 e r f 15 代入铸件（型）的边界条件得： 由在界面处热流的连续性条件可得： 铸件侧： 铸型侧： 图 2-4为半无限大平板铸铁件分别在 砂型 和 金属型 铸 模中浇铸后在 t = 0.01h、 0.05h、 0.5h 时刻的 温 度分布曲线 。 taxTTTT ii 1101 2 e r f ta xTTTT ii 2202 2 e r f 21 202101 bb TbTbT i ta x bb TbTb bb TbTbT 121 202102 21 2021011 2e r
8、f ta x bb TbTb bb TbTbT 221 201101 21 2021012 2e r f 1111 cb 2222 cb Ti T T20 T10 铸型侧 铸件侧 16 二、铸件凝固时间计算 铸件的凝固时间 ：是指从液态金属充满型腔后 至凝固完毕所需要的时间。铸件凝固时间是制订生 产工艺、获得稳定铸件质量的重要依据。 无限大平板铸件的凝固时间 (理论计算法 ) 大平板铸件凝固时间计算（ 凝固系数法 ） 一般铸件凝固时间计算的近似公式（ 模数法 ） 17 对于铸型： 所以： 凝固时间 t 内导出的总热量： 至凝固结束时刻，铸件放出的总热量（包括潜热 L）： 根据能量守恒定律得：
9、ta x bb TbTb bb TbTbT 221 201101 21 2021012 2e r f ta TT x T i x 2 20 0 2 A d tt TTbA d ttTdQdt i x )( 202 0 222 为：时间由铸型导出的热量 tTTAbdQQ i t )(2 20 0 222 )( 101111 STTCLVQ 1 1 202 1011 2 A V TTb TTcL i S Ti T T20 T10 铸型侧 铸件侧 18 对于大平板铸件，凝固层厚度 与凝固层体积 V1 、铸件与铸型间接触面积 A1 三者间满足关系 式： 令 （ K 凝固系数，与铸件与铸型材料有关， 可
10、由试验测定， 见表 2-3 ） 得： 或： 1 1 A V Si TTcL TTbK 1011 2022 K 2 2 K 19 将式（ 2-29）中的 V1与 A1推广理解为 一般形状铸件的体积与表面积，并令： 可得一般铸件凝固时间的近似计算公式： R为铸件的折算厚度，称为 “ 模数 ” 。 “ 模 数法 ” 也称为 “ 折算厚度法则 ” 。 1 1 A VR K R 20 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t=0.01h t=0.05h t=0.
11、5h 砂型 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t=0.01h t=0.05h t=0.5h 金属型 21 从传热学角度来说，模数代表着铸件热容量与散热表面积 之间的比值关系，凝固时间随模数增大而延长。对于形状 复杂的铸件，其体积与表面积的计算都是比较麻烦的，这 时可将复杂铸件的各部分看作是形状简单的平板、圆柱体、 球、长方体等单元体的组合，分别计算出各单元体的模数， 但各单元体的结合面不计入散热面积中。一般情况下： 模数最大的单元体的凝固时间即为铸
12、件的凝固时间 。 22 三、界面热阻与实际凝固温度 场 上述关于铸造过程凝固温度场的分布以及凝固时 间的讨论均将铸件与铸型的接触当作是理想状态 下的紧密接触，实际界面存在热阻。 热阻来源 界面局部接触，有间隙 铸型型腔内表面常存在涂料 实际界面接触状况与涂料状况对界面热阻大小有重要影响。 23 根据铸件、铸型的热物理性能与界面状况， 铸件凝固过程温度场的分布特点可分为 四种情 况 来讨论： 1. 金属铸件与绝热型铸型 2. 界面热阻较大的金属铸型 3. 界面热阻很小的金属铸型 4. 非金属铸件与金属铸型 24 T20 S L T 非金属铸型 0 x 绝热型铸型时的凝固温度分布 S L T 金属
13、铸型 0 x T20 以界面热阻为主的凝固温度分布 S L T 金属铸型 0 x T20 非金属铸件时的凝固温度分布 S L T 金属铸型 0 x T20 界面热阻很小时的凝固温度分布 25 四、铸件凝固方式及其影响因 素 （一） 铸件动态凝固曲线 （二） 铸件凝固方式分类 （三） 铸件凝固方式的影响因素 26 根据固液两相区的宽度，可将凝固过程分为逐层 凝固方式与体积凝固方式（或糊状凝固方式）。 当 固液两相区很窄时称为逐层凝固方式 ，反之为 糊状凝固方式 ，固液两相区宽度介于两者之间的 称为 “ 中间凝固方式 ” 。 铸件凝固方式对凝固液相的补缩能力影响很大 ， 从而影响 最终铸件的致密性
14、 和热裂纹产生几率。 27 （二）铸件动态凝固曲线 铸型型腔内各个部位的凝固状况的动态变化，可通过 在 浇注前在铸型型腔内预置测温热电偶 ，来记录凝固过程 中各点的温度变化，从而可以绘制出各个瞬间铸型内的凝 固状况。所得图形称为 铸件动态凝固曲线 。 可以根据 “ 液相边界 ” 与 “ 固相边界 ” 之间的 横向距 离 直观地得出铸件内各部位的 开始凝固时刻 与 凝固结束时 刻 ，也可以根据 “ 液相边界 ” 与 “ 固相边界 ” 之间的 纵向 距离 得出凝固过程中的任一时刻 铸件断面上 已凝固 固相区 、 固液两相区 和尚未凝固的 液相区 的 宽度 。 28 29 30 图 2-10 不同碳
15、钢的动态凝固曲线 31 温度梯度 G 对凝 固方式的影响 : G大 两相区窄 G小 两相区宽 铝合金的动态凝固曲线 实际铸件凝固中的温度梯度受很多因素影响 , 包括铸 型的导热性能、预热温度、合金的浇注温度等。 32 （三）铸件凝固方式的影响因 素 合金凝固温度区间的影响 温度梯度的影响 逐层凝固 中间凝固 体积凝固 窄 宽 陡 平 33 固相区 固 -液 固液相区 液 -固 液相区 图 2-8 凝固区域结构示意图 （一） 铸件凝固方式分类 34 35 常见材料的凝固系数 K mincm/ / ( 铸件材料 铸型 灰铸铁 砂型 0.72 金属型 2.2 可锻铸铁 砂型 1.1 金属型 2.0 铸钢 砂型 1.3 金属型 2.6 黄铜 砂型 1.8 金属型 3.0 铸铝 砂型 金属型 3.1 K K / ( ) m inc m / ) 36 凝固终了对合面部位的疏松 Al-10%Cu 合金凝固枝晶间的疏松 37 38
传热基本原理第二节铸件凝固温度场的解析解法
