人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第二章第2节　函数的单调性与最值

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1、第2节 函数的单调性与最值课程标准要求1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义.必备知识课前回顾 散 材夯实四基朕知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地,设函数f (x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值xb x2当 XX2 时,都有 f(X1)(X 2),当XX2时，都有f(X I)f(X 2),那定那么就称函数f(x)在区间D上么就称函数f(x)在区间D上单义单调递增.调递减.特别地，当函数f(x)在它的定特别地，当函数f(X)在它的定义义域上单调递增时,我们就

2、称域上单调递减时,我们就称它是它是增函数减函数产/(力图：/(1)：/(2)象o X1 x2 x0 xl x2 X描自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的述释疑函数单调性定义中的X i,X 2 具有以下三个特征:一是任意性，即“任意两数X 1,X 2$D”，“任意”两字绝不能丢；二是有大小，即X X 2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可.(2)单调区间的定义如果函数y=f (x)在区间D 上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区回口叫做y=f (x)的单调区间.释疑若函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写,用“，”或“和”连接,不要用“

3、U ”.2.函数的最值-XZLA刖提一般地,设函数y=f (x)的定义域为I,如果存在实数M 满足条件(1)对于任意x I,都 有 皿W M;(2)存在xW I,使得以出溺(3)对于任意x I,都有f(x)2 M;(4)存在 x0 I,使得 f(x0)=M结论M是函数y=f (x)的最大值M是函数y=f (x)的最小值释疑(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.;三 重要结论1 .函数单调性的等价定义设任意 X 1,X2G D(X 1 7 X2),则 人】)一诈)0(或(X_X 2)f(X 1)-

4、f (X 2)0)Of(x)在 D 上单调递增;X i-X2(或(XX 2)f (X 1)-f (X 2)0,b 0,则函数在区间(-8,o),(0,+8)上是增函数,若a 0,则函数在区间(-8,0),(0,+8)上是减函数;若a 0,b 0,则函数在区间(邛,0),(0,E)上是减函数,在区间(-8,-2)，(归+8)上是7 a 7 a 7 Q 7 Q增函数.特别地,对勾函数”y=x+2(a0)的单调递增区间为(-8,一份)，(6,+X8)；单调递减区间是-正,0),(0,正.3.与函数运算有关的单调性结论(1)函数f (x)与f (x)+c (c为常数)具有相同的单调性.(2)k0时,函

5、数f(x)与 kf(x)单调性相同;k 0 时,函数f(x)与 kf(x)单调性相反.若 f(x)恒为正值或恒为负值,则f(x)与六具有相反的单调性./(X)(4)若 f(x),g(x)都是增(减)函数,则当两者都恒大于零时,f(x)晨x)是增(减)函数;当两者都恒小于零时,f(x)-g(x)是减(增)函数.在公共定义域内，增+增=增,减+减=减.(6)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.，对点自测-1.(2021 全国甲卷)下列函数中是增函数的为(D)A.f(x)=

6、-x B.f(x)=(|)xC.f(X)=X D.f(X)yx解析:f(x)=-x为 R 上的减函数;f(x)=(|)为 R 上的减函数;f(x)=x?在(-8,0)上为减函数;f(x)=正 为 R 上的增函数.故选D.2.若函数f(x)是 R 上的减函数,且f(a?-a)a,所以a-2a0,所以 a2 或 af (|),则函数 f (x)在区间-1,|上的最大值为f (T)=6.答案：64.(必修第一册 P 1 0 0 T 4 改编)函数 f (x)=x?+2(a T)x+2.(1)若函数f (x)的单调递减区间是(-oo,6 ,则实数a的值(或取值范围)是；若函数f (x)在区间(-c o

7、,6 上单调递减,则实数a的值(或取值范围)是.解析：(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(-8,6 ,且函数f(x)图象的对称轴为直线x=l-a,所以有l-a=6,即a=-5.因为函数f (x)在区间(-8,6 上单调递减,且函数f(x)图象的对称轴为直线x=l-a,所以l-a 1 6,即a W-5.答案：(1)-5 (2)(-8,一 5 5 .(2 0 2 1 吉林松原高三模拟)写出一个符合“对Vx i,x2e R,当x】W x 2时，(X X2)f(Xi)-f (x2)0v 的函数：f(x)=.解析:设VX1,X2GR,X1 f (x2),由单调性的定义可知，函数f(X)是定义域为R的

8、减函数,所以函数f (x)=-x 满足题意.答案：-x(答案不唯一)关键能力，课堂突破类今考点您实四案戚 考点一函数的单调性与单调区间1 .下列函数中，满 足“Vx i,x2e (o,+8)且x iWx2,(x i-x2),f (x i)-f(X2)的是(C )A.f (x)=2 B.f (x)=|x-l IC.f (x)-x D.f (x)=l n(x+l)X解析：由(X1-X2)f(Xi)-f (x2)0,得f (x)的定义域为 x|x 4或x-2 .设t=x?-2 x-8,则y=l n t为增函数.函数f(x)的单调递增区间，即函数t=x z-2 x-8的单调递增区间(定义域内).因为函

9、数t=x 2-2 x-8在(4,+8)上单调递增,在(-0 0,-2)上单调递减，所以函数f (x)的单调递增区间为(4,+8).故选D.3.函数f(x)=|x-2|x的 单 调 递 减 区 间 是.解析：之 2,(一 “+2x,x 0时,0 f(x)=7 W 一=；,当且仅当x=l时,等号成立；当 x 0 时,f (x)=0,且 f (X)=-YTN-r2_：=4,%+1 +与 2(-x).i 27 x当且仅当X=-1时，等号成立.综上所述,函数f(x)=-的值域为U，；.故选D.x2+l 2 2产解题策略I利用基本不等式法求最值应先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等

10、式求出最值，若自变量符号不确定,则需要分类讨论.方法二换元法(SO求下列函数的值域.(l)f(x)=4 x+(1)x+l(x 0);(2)f(x)=2 x+V F 2 x.解：(1)因为 x N O,设 t=(1)xe (o,l ,y=t2+t+l,t e (o,1 ,y=t2+t+l=(t+|)2+.由于函数y=t2+t+l在(0,1 上单调递增，所 以l t2+t+1 3,因此函数的值域为因3 .令VF石占t 2 0,则 2 x=l-t2(t 0),所以函数 y=-t2+t+l(t 0),又函数y=Y+t+l(t2 0)图象的对称轴方程为tg e O,且开口向下，所以 yra ax=y|t

11、_i=_(1)2+|+1 =|,所以函数y=2x+“-2%的值域为(-8,刃.4,解 题 策 略I1 .形如y=axbVcx d,通过换元将他们转化为有理函数,通过求有理函数的值域间接求原函数的值域.2.若函数的解析式可以看作是一个关于基本初等函数的二次式,可以考虑换元法，但是要注意换元后新元的取值范围.方法三函数的单调性法 O求下列函数的值域.(2)f(x)=7 4-x 7 x+2.解：因为f(x)X=3x上在-1,4：上是增函数，x x 2f(-l)=T,f(4)=|,所以函数f(x)的值域为因为所以-2 b,a,a b,得 g(x)=(-x2-2 x+4)*(-x+2)_(x+2,-2,

12、1,-X22X+4,X (-,-2)U(1,+),当 x -2,1 ,g(x)=-x+2 e 1,4 ,当 x (-,-2)U (1,+),g(x)=-(x+l)2+5 0 0 2+3 3 0 0 总号所以函数丫=总的值域为(0,2人+3 3 2人+3 3故选A.2.函数f (x)=V%-l+2 x 的值域为()A.-1,+)B.0,+)C.1,+8)D.2,+)解析:令xT，0,解得x 令1,函数f (x)在 1,+8)上为增函数,所以f (x)2,+8),即函数f (x)的值域为 2,+8).故选D.3.对于任意实数a,b,定义m i n a,b 。设函数kb,a b.f (x)=-x+3

13、,g(x)=l o g2x,则函数 h(x)=m i n f (x),g(x)的最大值是.解析:在同一平面直角坐标系中作出函数f(X),g (x)图象,依题意,h(X)的图象如图实线部分所示.易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h (2)=1.r f;灰 尸 一0/2；答案：14.函数y二碧的值域是Vl+x2-解析:丫=二号 六 学=+Vl+x2 vl+x2 Vl+x2令 t=d r n M(tl),则 y=t+-2二=2(当且仅当 t=i,即 t=l,即t 7 t tx=0时,取等号)，因此函数的最小值为2.函数无最大值，即函数的值域是2+8).答案：2,+8)啜 考点三

14、函数单调性的应用口角度一利用单调性比较大小C M O 已知函数y=f (x)关于直线x=l对称，当l x i 0 恒成立,设 a=f (-j),b=f (2),c=f ，则a,b,c大小关系为()A.b a c B.c b aC.b c a D.a b c解析：因为函数f(X)的图象关于直线x=l对称,又因为当1 X,0 恒成立,所以函数f (x)在(1,+8)上单调递增，因此 f f (|)=f (-1)f (2),即 b a c.故选 A.解题策略I利用单调性比较函数值大小时,应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上,利用单调性比较大小.摘度二 利用函数的单调性解

15、不等式(例 2 二 2 已知函数 f (x)=-x|x|,x G (-1,1),则不等式 f (1-m)f (m2-l)的解集为解析：函数f 工)则 f (x)在(-1,1)上单调递减,不等I-%2,0%1,-1 1-m 1,式 f(l-m)f 5-1)可转化为卜1 式-1 1,解 得 0 m l.m2-l 解题策略I解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题的关键是利用函数的单调 性“脱去”函数符号“f”，从而转化为关于自变量的不等式，常见的转化方法为:若函数y=f (x)在区间D上是增函数,对任意X”X2 D,且 f(X1)f (x2),则有X X2；若函数y=f (x)在区间D上是减函数,对

16、任意 Xb X2$D，且 f(X,).D 在x ER上单调递减，则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.(0,|)C.f D.(0,U 3)2 8 3解析：由函数f (x)=9%2-8产 3(X 1,0 a logal,.解题策略I对于分段函数在实数集R上的单调递增(减)的问题，除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系.针对训练1 .已知函数f (x)的图象关于y轴对称,且函数在区间 0,+8)上单调递增，则下列关系式成立的是()A.f(-)f(-3)f(4)B.f (-3)f (-1)f(4)C.f (-3)f(4)f (-)D.f(4)f(-|)

17、f(-3)解析：因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以 f(-3)=f ，f (-辨f(,，又因为3|4且f (x)在 0,+8)上单调递增,所以f (3)f (，f (4),所以 f(-3)f(1)2a 0,3-2a 0,解得 0a W 1.故选 A.2a-2 2,是.解析：易知函数f(x)在定义域(-8,+8)上是增函数，因为f (a+1)与f(2 a-l),所以a+1 2 a-l,解 得a W2,故实数a的取值范围是(-8,2.答案：(-8,2 备选例题C D已知定义在R上的函数f(x)为增函数，当x,+x2=l时,不等式f (x.)+f (0)f (x2)+f恒成立,则实数x.的取值

18、范围是()A.(-8,0)B.(0,C.(|,1)D.(l,+8)解析：若 f (x J +f(0)f(x2)+f，则 f(x,)-f(x2)f(l)-f (0).又由 x1+x2=l,贝I j有 f(X|)-f (1-X)f (1)-f (0).令g(x)=f(X)-f (1-X),又f (x)为增函数,所以晨X)为增函数,式即g(x i)g(l),所以 x(l.故选 D.C 1D已知定义在(0,+8)上的函数f(x)满足:对任意正实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)-2,且当x l时恒有f(x)2,则下列结论正确的是()A.f(x)在(0,+8)上是减函数B.f(x)在(0,+)

19、上是增函数C.f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+8)上是增函数D.f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,+8)上是减函数解析：设任意0 xX 2,则这久1 1,f(x2)-f(x,)=f(这 x)-f(x,)=f(这)+f(X 1)-2-f(x,)=f 空)-20,X1 xr即f(X 2)f(xJ,所以函数为减函数.故选A.函数度凿在区间(一8,-1)上是减函数,则实数a的取值范围是.解析:法一因为y=-2ax-lx+12a(x+l)-2a-l 八 2a+l-=2 a-x+1 x+1又 因 为 尸 案 在(.8 r 1)上是减函数,所以2 a+l0,所以法 二 因为丫=氾=2 a-x

20、+1 x+1所以y 二 半，(x+1)又因为在(-8,T)上是减函数,所以2 a+l 0,所 以a1,则实数a 的取值范围是X 1-X2解析：因为任意 X i,X2G 1,+8),且 X|/X 2,都有L5X2)I,X 1-X2所以令 X 1 X 2,则 犯)1,即 f(X 1)-f(x2)X-X2,f(X i)-X i f(x2)-X2,X 1-X2令 g(x)=f(x)-X=ax2-2 x+l,则函数 g(x)在1,+8)上是增函数，若 a=0,则 g(x)=-2 x+l,显然不成立；若 aW O,则卜工q i 解得al l.综上所述,实数a 的取值范围是1,+).答案：1,+8)C W

21、求下列函数的值域.,)喘篝(2)f(x)=V2-%+Vx2-6x+10.解：令 丫 寻，则函数的定义域为x R,函数可转化为(y-1)x2+(y+1)x+y-l=O 在 x J R 上有解,所以当 y-l=O,即 y=l 时,x=0显然成立；当 y-1W 0 时，A =(y+1)2-4(y T)2 2 0,整理得 3y-10y+3 0,解得十yW3 且 y W l,所以综上可知函数f(x)的值域为4 3.(2)由 已 知 得 代 及 上、解得xW 2,所以f(x)的定义域为 x|x(xz-6x+10 0,W 2 ,又x W 2 时,y=V2-%与y=V%2-6 汽+10都是减函数,所以f(x)

22、在(-0,2 上是减函数,f(x)2 f(2)=,所以函数f(x)的值域为无,+8).A级基础巩固练课时作业富1选题明细表灵活方医密致提加知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练函数单调性的判定、求单调区间1,5,91316函数的最值2,3,7,812,1417,18函数单调性的应用4,6,1011151.(2 02 1 江西萍乡二模)下列函数中，在(0,+8)上单调递增的是(C )A.y=-x2+l B.y=|x-l|C.y=x3 D.y=2 解析：函数y=-x2+l 在(0,+8)上单调递减，因此A 不符合题意；由于函数y=I x-11的图象关于直线x=l 对称,在(1,+8)上单调递增

23、,不符合题意；xe (0,+8)时,函数y=x，3的导数为y=3X20,因此函数在(0,+8)上单调递增，故C 满足题意；函数y=2 9 在区间(0,+8)上单调递减.故选C.2.函数y=2-+4%的 值 域 是(C )A.-2,2 B.1,2 C.0,2 D.-V2,V2 解析：由 0 f(a)f2(a)B.f(2 a)f2(a)f(a)C.f2(a)f(2 a)f(a)D.f2(a)f(a)f(2 a)解析：显然f(x)在 R 上是增函数,且f(0)=0,当a (-1,0)时,2 a a 0,所以 f(2 a)f(a)0,从而 f2 (a)f(a)f(2 a).故选 D.5 .(多选题)下

24、列函数中，在(2,4)上是减函数的是(A C )A.y=(1)x B.y=l o g2(x?+3x)1C.y=D.y=co s x解析:根据指数函数的性质得y=(1)*在 4)上是减函数,符合题意；根据复合函数的单调性可知y=l o g2(x2+3x)在 4)上是增函数,不符合题意；根据反比例函数的性质及函数图象的平移得y=七 在(2,4)上是减函X-2数,符合题意；根据余弦函数的性质得,y=co s x在 4)上先减后增，不符合题意.故选A C.6.(2 02 1 陕西咸阳高三一模)已知函数f(x)=J:1,且f(4 T)f(3),则实数x的取值范围是(D )A.(2,+8)B.(-8,2)

25、C.(1,+8)D.(-0,1)解析：由题意知函数f(x)告-1在R上单调递减，由于f(4,T)f(3),2X+1所以4匚1l)在区间(0,3)上单调递减,则a 的取值范围为X解析：由对勾函数的性质可知函数y=x+t i(al)在(0,行 上 单 调 递X减,在(V F1,+8)上单调递增，因为函数y=x+已(al)在区间(0,3)上X单调递减,所以行23,解得a210.答案：10,+8)10.设函数f(x)=盛；4,若函数y=f(X)在区间(a,a+1)上单调递增，则实数a 的 取 值 范 围 是.解析:作出函数f (x)的图象如图所示，由图象可知f (x)在(a,a+1)上单调递增，需满足

26、a 2 4 或 a+1 2,即a W l 或a4.y=log2(%4)0 2 4 xy=-x2+4x,W 4)答案：(-8,l U 4,+8)B级综合运用练11.已知图象开口向上的二次函数f (x)对任意x R 都满足f(3-x)=f (x),若 f (x)在区间(a,2aT)上单调递减,则实数a 的取值范围为(B)A.g g B.(1,引4 4C.-1,+8)D.(8,2)解析：由题意知函数图象的对称轴是直线x=|,且开口向上,若f (x)在区间(a,2a-l)上单调递减,则只需注2a-1,解得aW=,而al.所以实数a 的取值范围为(1,.故选B.412.(多选题)若函数f (x)=2：。

27、的值域为(0,+8),则实数a 的取Vaxz-4ax+3值 可 能 是(C D )A.01 3B.i C.-D.12 4解析：当a=0时,f (x)=y,不符合题意；当 a WO时 因 为 函 数 f(x)=7崇 的 值 域 为(0,+8),所以v a%z-4 ax+3(X)Mxa x3 0?WaC D-13.(多选题)(2021 山东威海高三期中)函数f(x)对任意x,y R 总有 f (x+y)=f (x)+f (y),当 x 0 时，f (x)0,f (1)=|,则下列命题中正确的是(BC D )A.f (x)是 R 上的减函数B.f (x)在-6,6 上的最小值为-2C.f (-x)=

28、-f (x)D.若 f (x)+f (x-3)2-1,则实数x的取值范围为 0,+8)解析：取 x=0,y=0,则 f (0)=f(0)+f (0),解得 f(0)=0.令 y=-x,则 f (0)=f (x)+f (-x),即-f (x)=f (-x),C 正确;令 X i,X 2 R,且 x i x2,则 X 1-X2 O,因为当 x 0 时，f(x)0,所以f (x i-x2)0,则 f(X i)-f(X2)=f(X i)+f (-X2)=f(X 1-X 2)0,即 f(X i)f (x2)，所以函数f(x)是 R 上的增函数,A 错误；因为函数f(x)是R 上的增函数，所以函数f(x)

29、在-6,6 上的最小值为f(-6),f (-6)=f (-3)+f (-3)=2f (-3),f(-3)=-f (3),f(3)=f(2)+f(l)=f(l)+f(l)+f =3*乂，故 f(-6)=-2,所以 3)在-6,6 上的最小值为2,B 正确；f(x)+f(x-3)2-1,即仪2乂-3)2(-3),因为函数 6)是区上的增函数，所以2X-3N-3,解得x 0,所以实数x的取值范围为 0,+8),D 正确.故选BC D.14.已知函数f (x)=|X2-4XI,x 2,5 ,则 f (x)的 最 小 值 是,最大值是.解析:因为函数f (x)=I X2-4X I ,2 号W 4,4%5

30、,对应图象如图所示，故 f (x)的最小值为f (4)=0,最大值为f (5)=5.答案：0 5C 级应用创新练15 .已知函数f(x)=*，则(C )XA.f(1)f(l)f(|)B.f(|)f(l)f(1)C.f(1)f(|)f(l)D.f(|)f(1)0=-l n x 0=0 x l,f7(x)-l n x x l,即函数f (x)在(0,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减,所以f (|)f(l).又因为 f C)=2(l+l n-)=2(l-l n 2),f (-)=-(l+l n-)=-(l+l n 3-l n 2),2 2 2 3 2 3因为 f (3-f(|)=2-21n

31、2-|-|l n 3+|l n 2=|(2-21n 2-l n 3)=|(2-In 2-In 3)=|(2-In 12)0,所以 f (，f (|),即得 f 9 f (|)f(D.故选 C.16 .写出一个值域为(-8,1),在区间(8,+8)上单调递增的函数：f (x)=.解析:f(x)=i-9 1理由如下：因为y=(为 R 上的减函数，且(0,所以f (x)=l-(裴 为 R 上的增函数，且 f (x)=l-(/(2x-y)(x+y)=2,令 2x-y=m,x+y=n,则x=32n-m,y=-,且 mn=2,2mn_4 4y/3-4V3 3 3所以x?+2y2=(管y+2(-)2=?+南

32、9 2当且仅当今父空时,取等号,此时x?+2y2的最小值为答案（国-1）1 8已知x 0,y 0,若（x号）（y+?2 （学+泉）则（x+y）2的最大值是.解析:令 xy=t,则42令f（t）=t+上 用，2因为（X+3 （丫+与?（平+3）2 =丫+匕3-23（平+3）2,x y 2 x+y xy 2 x+y等价于f（t）2 f （空 芷），42 2所以题意可转化为函数f （t）=t+四 用 在（o,空L 上有最小值t 4f （上），4因为对勾函数f（t）=t+】+,+y）2在（0,J 1+（%+y）2上单调递减,在（J1 +（%+y）2,+8）上单调递增,所 以 卓!4 1+(x+y)2,即(x+y)4-1 6(x+y)2-1 6 0,所以（x+y）2W 8+4.故（x+y/的最大值是8+4V5.答案:8+4代