人教A版（2019）选择性必修第一册直线与圆、圆与圆的位置关系讲义练习

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1、人教A版（2019）选择性必修第一册2.5直线与圆、圆与圆的位置关系一、单选题1.圆G：/+y2+2x+2y-2=O 和圆。2 2+丁-4 -2 +1=0 的公切线的条数为（）A.1 B.2 C.3 D.42.过圆O 2 +y2=l 内一点“乍直线交圆。于/,8两点，过 4,8分别作圆的切线交于点P，则点P的坐标满足方程（）A.x+2y-4 =0 B.x-2y+4 =0 C.x-2 y-4=0 D.x+2y+4 =03.已知圆 G :+y2-6 x+4 y+1 2=0 与圆 C2：/+y2-i 4 x-2y+a =0,若圆 G 与圆G 有且仅有一个公共点，则实数。等于A.1 4 B.34 C.

2、1 4 或 4 5 D.34 或 1 44.设加为实数，若 直 线 机 与 圆 f+V-4 x-6 y+8 =0 相 交 于 ，N两点，且|M/V|=2A/3（则 加=（）A.3 B.-1 C.3 或-1 D.-3 或 15.已知圆 G ：/+2x+4 y+4 =0 ,圆 C2+y?-4 x+2y+l=0 ,M ,N 分别为圆和圆C?上的动点，P为直线/：y=x+2 上的动点，则|阴+|必 的 最 小 值 为（）A.2 M-3 B.2V1 0 +3 C.M-3 D./i o +36.若 过 点（2,I）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2 x-y-3=0 的距离为（）x 旧 口 2石 3小 n

3、 4 /55 5 5 57 .尸为OC：V +y2-2x-2y=0 上一点，。为直线/：2x-2y-7 =0 上一点，则线段P Q 长度的最小值为（）A.述 B.毡 C.也 D.2 04 3 38 .过点P（-2,4）作圆f+y 2=i 的两条切线，切点分别为A,B,则A B 所在直线的方程 为（）A.2x+4 y+l =0 B.2x-4 y+l=()C.2 x+4y-=0 D.2x-4 y-l=()9.已知E F 是圆C:/+y2-2x-4 y+3=0 的一条弦，且 C E _ L C V,尸是EF 的中点,T T当弦E F 在圆C 上运动时，直线/：x-）-3 =0 上存在两点A,B,使得

4、N A P 8 2 恒成立，则线段A 3 长度的最小值是（）A.37 2+1 B.4 7 2+2 C.4 舟1 D.46+21 0.若直线x-y+i=O 与 圆 -疗+6-1）2=4 没有公共点，则实数。的取值范围是（）A.（一4 夜，4 夜）B.（-27 2,2亚）C.（-co,-4&）U（4 7 2，+8）D.（-O O,-2 0）U（2A,+8）1 1 .已知圆G：x2+y2-2x+阳+l =0（ze R）关于直线x+2y+l =0 对称，圆G 的标准方程是（x+2+（y-3）2 =1 6,则圆G 与圆C 的位置关系是（）A.相离 B.相切 C.相交 D.内含1 2.已知半径为1 的圆经

5、过点（3,4）,则其圆心到原点的距离的最小值为（）.A.4 B.5 C.6 D.71 3.直线5+a 与圆V +y2=i 相交于不同的A,B两点（其中。，b是实数），且3.丽 0（0是坐标原点），则点尸（。与点（0,；距离的取值范围为（）A.（1,+-4 =0,G：（x+g J+（y-|J=,则这两圆的公共弦长为（）A.4 B.2&C.2 D.11 5 .已知圆：（x-3）2+（y+4）2=4 与圆N:/+y 2=9,则两圆的位置关系为（）A.内切 B.外切 C.相交 D.外离二、填空题1 6 .圆G：（x 加Y+（y+2）2=9 与圆。2：（*+1）2+（广加）2=4 内切,则用的值为1 7

6、 .已知圆Q :一+/-2 尤+6 y+2=0 和圆0 2：丁+丁+4 工-2），-4 =0,垂直平分两圆的 公 共 弦 的 直 线 的 一 般 式 方 程 为.1 8 .设?e R,:x2+y2-2 x-6 y=0,若动直线4 ：x+m y-2-m =0 与圆”交于点Z、C,动直线，2：皿-2,+1=0与圆M交于点8、D,则MC+忸4的最大值是三、解答题1 9 .已知直线/:(?+2)*+(1-2加)、+4加2=0与圆(7:2-2；1+:/=0交 于%两点.(1)求出直线/恒过定点的坐标(2)求直线/的斜率的取值范围(3)若。为坐标原点，直线O M,O N的斜率分别为配取，试问勺+用是否为定

7、值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.20 .已知圆心C在第一象限，半径为六的圆与轴相切，且与x轴正半轴交于A ,B两 点(A在B左侧)，|。4|。却=1(。为坐标原点).(1)求圆C的标准方程；(2)过点A任作一条直线与圆。:炉+5 2=1相交于P，。两点.证明:P A QB国+函 为 定 值;求|P B|+2|P C|的最小值.21 .已知圆C经过坐标原点O,圆心在x轴正半轴上，且与直线3x+4 y-8 =0相切.(1)求圆C的标准方程；(2)直线/：丫 =丘+2与圆C交于4,B两点.求上的取值范围；证明：直线。/与 直 线。8的斜率之和为定值.22.已知圆 C:(x-l)2+(y-2

8、)2=25,直线/：(2 机+l)x+(/M+l)y-7?-4 =0(，R).(1)证明：不论?取什么实数，直线/与圆恒交于两点;(2)求直线被圆C截得的弦长最小时/的方程.参考答案:1.B本题考查了两圆的位置关系的判定及确定公切线的条数，是基础题.根据圆心距与半径的和差的大小关系判定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数.【详解】两个圆 G+y?+2x+2 y-2 =0 与 C?:f +)?-4 x-2 y +1 =0,口圆G 圆心为(T，T)，半径为2,圆CZ圆心为(2,1),半径为2,口两圆圆心距为=岳,2-2V 13-%)=0,即 x2+y2-XoX-%y=O口因为上4,P8 是圆。的切

9、线，所以。4_LPAO8，P 8,所以4 8 在圆M 上，所以AB是圆。与圆”的公共弦，又因为圆O：/+V=l-所以由口一口得直线AB的方程为：v+y()y-l=O,又 点 满 足 直 线 AB方程，所 以;/+；%-1=0,即x+2 y-4=0.故选：A.3.D答案第1 页，共 16页先将两个圆的方程化为圆的标准方程，写出两个圆的圆心坐标和半径，然后计算两个圆的圆心之间的距离，圆心距等于两个圆的半径差的绝对值、和，得到关于a的方程，即可解得a的值.【详解】设 圆、圆C2的半径分别为片、团圆C,的方程可化为(x-3)2 +(y +2 =1,圆C2的方程可化为(x-7)2+(y -=5 0-a.

10、由两圆相切得，|G G|=，i+u 或|GG|=kr|，|C,C2|=A/42+32=5,&+=5 或|1-q=5 =4=4 或 4=6 或 4二-4(舍去).因此，5 0-a =16解得。=3 4或 5 0 a =3 6 解得 a =1 4故选:D.本题考查了利用两个圆相切求解参数值的问题，属于中档题目，解题时需要准确将圆的一般方程化为圆的标准方程，利用圆心距与半径的关系建立关于参数的方程.4.C化出圆的标准方程，求出圆心和半径，利用垂径定理列方程求解即可.【详解】圆X?+y-4 尤 6 y +8 =()的标准方程为(x 2)+(y-3)=5 ,圆心为(2,3),半 径 为 冷,直线y =x

11、+，的一般方程为x-)，+，=0则由已知得62=(2募:同)+(竽)，解得6=3 或机=-1故选：C.5.A答案第2页，共 1 6 页分析圆C1与圆G 的圆心和半径，求出与圆C1关于直线/对称的圆C,再设圆C 上的点AT与圆C|上点M 对称，分析可得原问题可以转化为到圆C 和圆c2上的动点距离之和最小值问题，据此分析可得答案.【详解】圆 G：X2 +/+2X+4)，+4=0,BP(x+l)2+(y+2)2=l,圆心为(一 1,一 2),半径 R=l,g|C2tx2+y2-4x+2y+l=0,B|J(x-2)-+(y+1)-4,圆心为(2,-1),半径 r=2,设点(-1,-2)关于直线/:y

12、=x+2 对称的点为(”,b)一+2 _ 则露,解得:b-2 -1 ,b=-=-F 2 i2 2圆C1关于直线/:y =x+2 对称的圆为圆C,其圆心为(Y/)，半径R=l,则其方程为(x+4)2+(y-l)2=l,设圆C 上的点用 与 圆 上 点 M 对称，则有,原问题可以转化为P到圆C 和圆C2上的动点距离之和最小值问题，连接G C,与直线/交于点P,此时点尸是满足|PN|+|P”|最小的点，此 时|取|+|加 =屿 C|-3 =2厢-3,即|叫+|N 的最小值为2河-3,故选：A.答案第3 页，共 16页关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键

13、是求出圆C1直线/:y =x+2对称的圆的方程(x+4y+(y-l)2=l,原问题可以转化为p到圆c和圆G 上的动点距离之和最小值问题.6.B由题意可知圆心在第一象限，设 圆 心 的 坐 标 为 可 得 圆 的 半 径 为。，写出圆的标准方程，利用点(2,1)在圆上，求得实数。的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2 x-y-3 =0 的距离.【详解】由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a,。)，则圆的半径为。，圆的标准方程为(x-a)2+(y-由题意可得(2-a)?+(l-a)2=/,可得6

14、+5=0,解得a=l 或 a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),圆 心 到 直 线 2 x-7-30 的距离均为4=|2 x l-l-3|2V5 一亏圆心(5,5)到直线2 x-y-3 -0 的距离均为d2=色 等-，=竽圆心到直线2 x-y-3=0 的 距 离 均 为 =甲=2 6；V5 5所以，圆心到直线2 x-y-3=0的距离为平.故选：B.答案第4 页，共 16页本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.7.A将圆C 的方程化为标准方程，求出圆心到直线/的距离，减去半径可得出|尸 的最小值.【详解】圆C 的标准方程为(x-l)?+(y

15、炉=2,圆心为半径r=0，则圆心C 到直线/的距离为d=巧-2刃=j=华，物+22 2V2 4所以圆C 上的点尸到直线/上的点。的最小距离|P“n=-/=苧-及=乎，故选：A.结论点睛：若直线/与圆C 相离，点P 是半径为的圆C 上的一点，圆心C 到直线/的距离为d,则点P到直线/的距离A的取值范围是d-rW H d +r.8.Bx?+y2=l 的圆心。，求出以P。为直径的圆的方程为x2+y+2x-4y=0,把圆f +y+2x-4y=0 与圆J +V=1相减，得直线A B的方程.【详解】设坐标原点为。，以PO为直径的圆的方程为(x+iy+(y-2=5,x2+y+2 x-4 y=0,把圆一+2-

16、4丫 =0 与圆f +y?=1 相减，得：2x-4y+l=0,直线2 x-4 y+l=0 经过两圆的交点，即切点A,8.所以直线AB即为圆/+丁=1与圆V+y2+2x-4y=0 的公共弦所在的直线，.AB 方程为：2x-4y+l=0.故选：B.9.B答案第5 页，共 16页根据已知条件先确定出点P的轨迹方程，然后将问题转化为“以A B为直径的圆要包括圆(x-l)2+(y-2)2=r由此利用圆心C(l,2)到直线/的距离结合点尸的轨迹所表示圆的半径可求解出AB的最小值.【详解】由题可知：OC:(x-l)2+(y-2)2=2,圆心C(l,2),半径厂=应，又C E L C F,尸是E尸的中点，所以

17、C P =(E F =1,2所以点尸的轨迹方程(x-l)2+(y-2)2=1,圆心为点C(l,2),半径为R =l,TT若直线/：x-y-3 =0上存在两点A,B,使得Z APBN j恒成立，则以A8为直径的圆要包括圆(-1尸+(丫-2)2=1,点C(l,2)到直线/的距离为=卜2-3|7I2+(-D2=2 0 ,所以AB长度的最小值为2(4+1)=4 0+2,故选：B.关键点点睛：解答本题的关键在于点P轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点P轨迹方程，其次“N APBZ 1恒成立”转化为“以A8为直径的圆包括P的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析A8的最小值.

18、10.D由题设知圆心到直线的距离大于圆的半径，应用点线距离公式列不等式求的取值范围.【详解】由题设，圆心为(凡1),半径为2,因为直线与圆没有公共点，答案第6页，共16页匚 匚 1、11-1 +1|T4曰 I P-I所以一手 =不 2，可得a 2夜 或 a 0 WcosZAOC=,o OA yja2+b2 2又故1 /+/2,则点尸(a g)与点(0,；*巨离为区域1 “2 +从 Of ZAOB90,ZAOC OA Ja2+h2 2又后市d/寿d即i+2.则点P(a 与点(o,g)距离为区域1 /+b2 2 内的点到点(o,g)的距离,设Q(O,|，如图，g|Q P|(x-l)2+(y-3)2

19、=10,圆心 M(l,3),半径x+殁-2 z =0=x-2 +m(y-l)=0n/1 过定点 E(2,l),m r-y-27+l=O=，(x-2)-y+l=0=4过定点 E(2,l),且Q 2，如图，设 4C 和 3。中点分别为尸、G,则四边形E用0G 为矩形，答案第11页，共 16页设尸|=d,0dME=y/5,则|MG|=，眼 肝 一 眼 肝=j 5-d。,则 AC+BD=2 710-J2+210-(5-J2)=2(yJ10-d2+5+为,2,2(1 0-储+5+1)=2而，当且仅当10 I?=5+2 即=当时取等号.故答案为：.19.(1)(0,2)：(2)卜，一；匕+&为定值 1.|

20、x-2 y +4=0(1)将直线方程整理后可得方程组仁.八，解方程组可求得定点坐标；2x+y-2=0(2)设直线/方程y-2=A(x-0),利用圆心到直线距离小于半径可构造不等式求得结果；(3)可设直线/方程丫 =丘+2,与圆方程联立得到韦达定理的形式，由匕+&=+&X2=(1+2)电+(5 +2)再整理可得定值【详解】(1)将直线/方程整理为：(x 2y+4)m+(2x+y 2)=0,令人 f2xx-2+y；，+-2 4 =0。解,得：x=0；.直线,，t 恒过定_点/(2、)；答案第12页，共 16页(2)设直线/斜率为k,由(1)可知：直线/方程可设为：y-2 =k(x-0),即kx-y

21、+2 =0；圆C 方程可整理为(x-l)2+y 2=l,则其圆心C(l,0),半径/=1，直线/与圆C 交于M,N 两点，.圆心C 到直线/距离d r,解得：k -,即直线/斜率的取值范围为1-8,-：；4 I 4)（3）设N（%,%）当时，/:x =0 与圆C 仅有一个交点，不合题意，.?声!，2 2则直线/：），=?=十+2,.可设直线/方程为丁=+2,2 m由 lilT r.y Z n O 得：0 +%2）/+（4 及 一 2）X+4=。,由（2）知：“0),得到|4川=2膘%,OA=A B ,OB =+AB,再根据|。4卜|。回=1即可得到答案答案第13页，共 16页(2)首先根据(1

22、)得至8(2,0),设外玉,几)，再分别计算四+如 即PB QA可;根据|因=2|%得 到 阿|+21P q =2(|丹+|P C|21AC|,即可得到答案.【详解】(1)设cG，e o),由题知:AB=2解得b=l,所以圆C:z 1X2 251 7 16及，|俐=：网，倒网,161x4竺-从4=1,(2)由 知：网=2 后-1=|,|0小 泊|阴=；,烟=%；M =2.所 以 电,0),8(2,0),设/(公，儿)，QB PA同 理 声=2,所 以 而+因为归身=2|网,所 以 同+2阳=2(闸+阳”2照=2信+(1-0)2=5所以归8|+2|P C|的最小值为：21.(1)(x-l)2+y

23、2=l；(2)()()具体见解析.(1)设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答答案第14 页，共 16 页案；（2）（）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.【详解】（1）由题意，设圆心为C（“,0）（a 0）,因为圆C 过原点，所以半径尸。，又圆C 与直线3x+4y-8=0 相切，所以圆心C 到直线的距离4=乜2（负值舍去），所 以 圆 C 的标准方程为：（x-l+y2=l.（2）（口）将直线/代入圆的方程可得：,2 +1）d+（4&-2）x+4=0,因为有两个交

24、点,所以 =（4A-2）2-16（F +l）0 n 4 -：,即左的取值范围是卜8,-土）.4k-2x+x2=-（口）设A。,）,网七，%），由根与系数的关系：4+L_2 4fc-2所以k3+&=+”*生 3+2 A=T +2Z=LX x2 x2 xx2 4F+T即直线OA,OB斜率之和为定值.22.（1）证明见解析；（2）2 x-y-5 =0.（1）求出直线过定点，证明定点在圆内，即可证明结论；（2）当直线/所过的定点为弦的中点，即CM，/时，直线/被圆截得的弦长最短，根据弦长公式即可求出最短弦长，根据CM，/求出直线的斜率，即可求出机的值，即可得出答案.（1）直线 I:（2/77+l）x+（/n+l）y-7/?-4=0 j-Lj（2x+y 7）/?7+x+y-4=0,则x=3,解得 y=l2x+y-1=Qx+y-4=0答案第15页，共 16页所以直线/恒过定点(3,1),圆心C(l,2),半径r=5,又因回|=石 5,所以点M(3,l)在圆C内，所以不论m取什么实数，直线/与圆恒交于两点；(2)当直线/所过的定点为弦的中点，即时，直线/被圆截得的弦长最短,最短弦长为2 y/r2-CM2=4石，%C M=W=-：，所以直线/的斜率为2,即-也?=2,解得加=-1,所以直线/的方程为2x-y-5=0.答案第16页，共16页