《结构动力学 》单自由度体系的振动

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1、第二章 单自由度体系的振动 2 主要内容 2.1运动方程的建立 2.2无阻尼自由振动 2.3阻尼自由振动 2.4对简谐荷载的响应 2.5对周期荷载的响应 2.6对冲击荷载的响应 2.7对一般动力荷载的响应 2.8阻尼理论与阻尼比的量测 3 第二章 单自由度体系的振动 单自由度体系动力分析的 重要性： 具有实际应用价值，或进行初步的估算。 很多实际动力问题可按单自由度体系计算。 多自由度体系动力分析的基础。 单自由度体系包括振动分析中涉及到的所有物理量和基本 概念。 2.1运动方程的建立 1、水平振动 作用在质量块上有三个真实力、一个虚拟的力： 荷载、 弹簧弹性力 和阻尼力 ; 惯性力 5 左边

2、的三个力都是位移 y(t)或 y(t)对时间 t导数的函 数，正向与位移 y(t)的负方向相对应，与外荷载 p(t)的方向相反。 坐标 y的坐标原点取在弹簧自然放松的位臵。 ()Dsf f f p t 根据力的平衡条件得 : 2.1运动方程的建立 6 ()sf k y t ()f m y t ()Df c y t 2.1运动方程的建立 ()Dsf f f p t )()()()( tptkytyctym 单自由度体系的运动方程 弹性力 等于弹簧刚度 k与位移 y(t)的乘积： 惯性力 是质量与加速度的乘积： c )(ty阻尼为粘滞阻尼，则 阻尼力 是阻尼系数 与速度 的乘积 : 7 2、竖向振

3、动 质量块沿垂直方向上下振动，建立振动微分方程， 考虑重力的影响。 2.1运动方程的建立 8 根据平衡条件，体系的振动方程： Wtptkytyctym )()()( ( ) ( )sty t y t 2.1运动方程的建立 是由重力 W产生的静力位移，是 不随时间变化的，即： 是动力位移，由静力平衡位臵 开始计算。 st st W k )(ty )(ty 质量块 m的总位移 分解为两部分： 9 弹簧力部分可写成： )()( tykktkyf sts )()()()( tptyktyctym ( ) ( )sty t y t 2.1运动方程的建立 相对于静力平衡位臵所写出的振动方程不受重力影响，

4、即重力对动力位移无影响。 振动方程： 1、位移以静力平衡位臵作为基准的，而这样确定的位移 即为动力响应。 2、在求总挠度和总应力时，要把动力分析的结果与静 力分析结果相加。 10 3、支座运动的影响 结构的动位移和动应力既可以由 动荷载 引起，也 可以由结构 支座的运动 而产生。 2.1运动方程的建立 1）由地震引起建筑物基础的运动； 2）由建筑物的振动而引起安臵在建筑物内的设备 基底的运动等等。 11 地震导致的地面水平运动用相对于固定参考轴的结 构基底位移 表示。 )(ty g 1、地震动问题的简化模型 2.1运动方程的建立 假定： （ 1）刚架内水平横梁是刚 性的，且包含了结构所有 的运

5、动质量， （ 2）柱假定无重量且在 轴向不能变形，抵抗刚架 侧向位移的恢复力由两根 柱的侧向刚度来提供。 12 0 SDI fff 2.1运动方程的建立 一个自由度 即可描述刚架的运动情况。 刚架体系的平衡方程可写为： )( tymf tI )(tyt 表示横梁相对于参考轴的总位移，即： )()()( tytyty gt sf Df If 弹性力 和阻尼力 与前相同， 而惯性力 则由下式计算： 13 运动方程： 0)()()()( tkytyctymtym g )()()()()( tPtymtkytyctym e f fg 或： 2.1运动方程的建立 0 SDI fff )(tPeff ：

6、等效荷载 ，即在地面加速度 影响下，结构的响 应就和在外荷载 作用下的响应一样，只是外荷载 等于质量和地面加速度的乘积。 负号 表示等效力的方向和地面加速度方向相反。 )(tyg )(tp )(tp 14 2.2 无阻尼自由振动 自由振动 (free vibration) ： 无外界干扰的体系振动形 态称为自由振动（ free vibration）。振动是由 初始位 移 或 初始速度 或 两者共同影响 下所引起的。 无阻尼自由振动： 如果阻尼系数等于零，则这种自由 振动称为无阻尼自由振动（ undamped free vibration）。 假设由于外界干扰，质点离开平衡位臵， 干扰消失后 ，

7、 质点将围绕静力平衡点作自由振动。 15 my . 1）自由振动微分方程的建立 (依据原理：达朗伯原理 ) m k y(t) y(t) a、刚度法 (stiffness method) k m y m ky 从力系平衡建立的自 由振动微分方程： ). . . . . . (0 akyym my . my . (DAlembers principle) 2.2 无阻尼自由振动 1、运动方程建立及其解的形式 16 b、柔度法 (flexibility method) 从位移协调角度建立的自由振动微分方程。 取振动体系为研究对象， 惯性力： = 1/k ymf I ). . . . . . . ()

8、( bymfy I 2.2 无阻尼自由振动 17 2.2 无阻尼自由振动 0m y k y 令 mk /2 0)()( 2 tyty tCtCty c o ss in)( 21 齐次微分方程，其通解为： 系数 和 可由初始条件（ initial condition）确定。 1C 2C 0t 0y 0v 00 )0(,)0( vyyy 0201 ,/ yCvC 设在初始时刻 时，有初始位移 和初始速度 ， 即： 求得： tytvty c o ss in)( 00 18 （ a）没有初始速度，仅由初始位移引起的振动按 的规律变化； （ b）没有初始位移，仅由初始速度引起的振动按 的规律变化 ： （

9、 c） 既有初始位移，又有初始速度引起的振动形态 按方程 进行。 22 00( ) ( / )a y v 0 0a r c ta n v y ty cos0 tv sin0 比较两式得： tytvty c o ss in)( 00 ( ) si n ( )y t a t ( ) si n ( )y t a t 2.2 无阻尼自由振动 简谐振动的标准形式 a：振幅， ：初相位角。 Amplitude of vibration initial phase angle 19 y(t) t y0 y0 y(t ) t v0/ v0/ T t a a T / tytvty c o ss in)( 00

10、( ) si n ( )y t a t 2.2 无阻尼自由振动 20 T:自由振动的周期，单位为秒（ s）。 :频率，表示单位时间内的振动次数，单位为 1/秒（ 1/s），或称为赫兹（ Hz）。 :圆频率或角频率，表示在 个单位时间内 的振动次数 ,单位为 rad/s 。 /2T )()/2()( tytyTty Tf /1 f 2 2 2.2 无阻尼自由振动 当时间 t 增加一个 时，上式保持不变，即： /2T 2、结构的自振周期 21 经过一个周期 T后，质点又回到了原来的位臵，因此 周期 T称为自振周期或固有周期 （ natural periold） 。 )()/2()( tytyTty

11、 2.2 无阻尼自由振动 计算自振周期的几种形式： （ 1）由周期和圆频率的定义可知： k mT 2 （ 2）将 代入上式，得： k1 mT 2 22 g WT 2 gT st 2 2.2 无阻尼自由振动 gWm /（ 3）将 代入上式，得： stW （ 4）令 ，得： 23 圆频率也仅与结构参数 k和 m有关，即仅与结构体系 本身的固有性质有关，而与初始干扰无关，故称为 固有频率或自振频率（ natural frequency）。 st g W g mm k 1 2.2 无阻尼自由振动 圆频率计算公式的几种形式： 24 结构自振动周期重要性质： （ 1）自振动周期与 结构的质量和刚度 有关，

12、而且只与 这两者有关，与外界的干扰因素无关。 干扰力的大小只能影响振幅 A的大小，而对结构自 振周期 T的大小没影响。 2.2 无阻尼自由振动 （ 2）自振周期与质量平方根成正比，质量越大，则 周期越大；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度 越大，则周期越小。要 改变结构的自振周期 ，只有 改变结构的 质量 或 刚度 。 25 （ 4）自振周期是结构动力性能的一个重要的数量标志。 a、两个外表相似的结构，如果周期相差很大，则动力 性能相差很大； b、两个外表看来并不相同的结构，如果其自振周期相 近，则在动荷载作用下其动力性能基本一致。 地震中 常出现这样的现象 。 2.2 无阻尼自由振动 （ 3

13、）把集中质点放在结构上产生最大位移的地方，则可 以得到最低的自振频率和最大的振动周期。 st kg m 26 例 2-1 悬臂梁长度 L=1米，其末端装一重量 Q=1221N 的电动机，梁为钢梁，弹性模量 E=2.1 1011N/m2， 惯性矩 I=78 10-8m4，与电动机重量相比梁的重量 可以略去。求结构的自振圆频率及周期。 2.2 无阻尼自由振动 27 解： 悬臂梁在竖向力 Q作用下，端部的竖向位移为 EI QL st 3 3 1 1 8 33 3 3 2 . 1 1 0 7 8 1 0 9 . 8 6 2 . 8 ( 1 / ) 1 2 2 1 1 . 0st g E I g s Q

14、L 22 0.1 ( ) 62.8Ts 2.2 无阻尼自由振动 自振周期： 自振频率： 28 例 2-2 ： 求刚架的自振频率，不考虑横梁的变形。 2.2 无阻尼自由振动 29 解： 使横梁发生单位位移所需外力 k为 : 3 122 h EIk 3 24 mh EI m k 2.2 无阻尼自由振动 自振频率： 30 例 2-3：图示三根单跨梁， EI=常数，在梁中点有集中质 量 m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 m m m 解： 1）求 EI l 48 3 1 P=1 3l/16 5l/32 P=1 l/2 EI lllll EI l

15、768 7) 32 5 216 3 22(6 1 32 1 EI l 7 6 8 7 3 2 EI l 192 3 3 3 1 1 481 ml EI m 3 2 2 7 7 6 81 ml EI m 3 3 3 1 9 21 ml EI m 2.2 无阻尼自由振动 31 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 m m m 3 1 1 481 ml EI m 3 2 2 7 7 6 81 ml EI m 3 3 3 1 9 21 ml EI m 据此可得： 结构约束越强 ,其刚度越大 ,刚度越大 ,其自振动频率也越大。 2.2 无阻尼自由振动 1 2 3: : 1 : 1 . 5 1

16、2 : 2 32 l/2 l/2 m l/2 l/2 k 1 A C B 33 96 )2/( 12 l EI l EIQ CB 33 96 )2/( 12 l EI l EIQ CA QCA QCB 3 1 9 2 l EIQQk CBCA 3 192 ml EI m k 2.2 无阻尼自由振动 用刚度法： 33 例 2-4:求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。 EI EI EI1= m l h 1 3EI/h2 6EI/h2 6EI/h2 k 12EI/h3 3EI/h3 3 15 h EIk 3 15 mh EI m k 2.2 无阻尼自由振动 解： 34 27 4l 27 2l 9 l

17、 1 1 3 l EI lllll EI l 4 3 7 4 5) 9327 4 32(6 1 33 11 3 11 5 4 3 7 41 ml EI m l/3 2l/3 m 例 2-5 2.2 无阻尼自由振动 解： 35 l/2 l m 1 2l EI lllllll EI 8)3 2 222 1 23 2 222 1(1 3 11 3 11 81 ml EI m 2.2 无阻尼自由振动 解： 例 2-6 36 h 1 例 2-7 解法 1：求 k =1/h MBA=kh = MBC k 1 h m I= EI B A C lh EI l EI 33 lmh EI m k 2 11 3 2

18、 3 lh EIk 1 解法 2：求 EI lhhlh EI 33 2 2 1 2 11 2 11 31 m l h EI m 2.2 无阻尼自由振动 37 例 2-8 l EI m k 1 k11 k11 k 3 3 l EI解：求 k 311 3 l EIkk m k m k lEI 3311 2.2 无阻尼自由振动 38 对于静定结构一般计算柔度系数方便。 如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所 有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的 刚架 )计算刚度系数方便。 3 12 l EI 一端铰结的杆的侧移刚度为： 3 3 l EI 两端刚结的杆的侧移刚度为： 2.2 无阻尼自由振动

19、 39 m k y 1) c不存在 0 y(t) t a a m k y=0 c 2) c存在 阻尼是客观存在的 振幅随时间减小，这表明在振动过 程中要产生能量的损耗，称为 阻尼 。 （ 1）产生阻尼的原因 1)结构与支承之间的外摩擦 2)材料之间的内摩擦 3)周围介质的阻力 （ 2）阻尼力的确定 1)与质点速度成正比 2)与质点速度平方成正比 3)与质点速度无关 粘滞阻尼 ()R t c y 2.3 有阻尼的自由振动 40 2.3 有阻尼的自由振动 0)()()( tkytyctym m c 2 mk /2 如果体系内存在阻尼，单自由度体系的自由振动 微分方程为 : 令： 则方程可改写为：

20、0)()(2)( 2 tytyty y ky k m P(t ) y cy . ( 阻尼比 damping ratio ） 41 特征方程的解为： 0)()(2)( 2 tytyty tCety )( 02 22 )1( 22,1 2.3 有阻尼的自由振动 设方程解的形式为： 特征方程 ： (characteristic equation) 42 C1和 C2为两个积分常数，由初始条件确定。 有阻尼自由振动的特性与根式（ ）的符号有关。 tt eCeCty 21 21)( 12 1 mc cr 2 0)()()( tkytyctym )1( 22,1 2.3 有阻尼的自由振动 的通解为： 所对

21、应的阻尼系数 c称为临界阻尼系数， 记为 ccr，其计算公式为： 43 crc c m c 2 2.3 有阻尼的自由振动 阻尼比 (damping ratio ） 称为阻尼比 （ damping ratio） ,反映了阻尼系数 与临界阻尼系数之比。 一般材料的阻尼比都很小，例如钢（ 0.0040.03） , 木材（ 0.04），混凝土（ 0.05-0.08）等。对一般建筑 结构，其阻尼比约在 0.01-0.1之间。 44 （ 1）当 1时 体系的阻尼系数小于临界阻尼系数，称为低阻尼体 系（ under damping）。式可写为 : dii )1( 2 2,1 )()( 21 tditdit

22、eAeAety )1( 22,1 2.3 有阻尼的自由振动 0)()(2)( 2 tytyty 振动微分方程 的解为： 21 d其中， 称为阻尼固有频率。 45 其中： A1及 A2或 A及 由初始条件确定。 设当 t=0时，初始位移 ，初始速度 ，将此初始条件代入方程解，可得： )s i n ()( tAety dt 0)0( yy 0)0( vy 01 yA d vyA 00 2 2.3 有阻尼的自由振动 或： 46 表示低阻尼下的自由振动，不是一个严格的周期振 动，是一个减幅的往复运动，可称为准周期振动， 其往复一次的周期时间为： 2 2 002 0 )( d vyyA 00 0 vy

23、ytg d 21 22 d dT )s i n ()( tAety dt 衰减因子 阻尼对周期影响？ 2.3 有阻尼的自由振动 或： 47 2.3 有阻尼的自由振动 其衰减简谐运动如图所示。 在有阻尼自由振动中，由 于阻尼不断消耗能量又没 有外界能量补充，因此结 构系统总能量不断减少， 振幅不断衰减。 t y t y 低阻尼 y- t曲线 tAe )s i n ()( tAety dt 48 （ a）、 阻尼对固有频率的影响 有阻尼和无阻尼的固有频率 和 间的关系由式 : 确定。在 1的低阻尼情况下， 恒小于 ，而且 随 的增大而减小。 d 21 d d d 2.3 有阻尼的自由振动 但一般材

24、料的阻尼比都很小，例如钢（ 0.0040.03） , 木材（ 0.04），混凝土（ 0.05-0.08）等。对一般建筑 结构，其阻尼比约在 0.01-0.1之间。如果 0.2则 0.96 1，即 与 的值很接近。 所以说 阻尼对固有频 率的影响很小， 一般可认为 。 d d d 阻尼对固有频率基本无影响！ 49 （ b）、 阻尼对振幅的影响 振幅为 ，阻尼比出现在指数项，对振幅有较 大影响。 tAe T kt Tkt k k e e e y y )( 1 )s i n ()( tAety dt 2.3 有阻尼的自由振动 值愈大，振幅衰减速度愈快。 ky 1ky 经过一个周期 T后，相邻两个振幅

25、 与 比值为： 50 两边进行对数变换后可得： dk k T y y 2)l n ( 1 )ln (2 1 1 k kd y y )ln (21 1 k k y y T kt Tkt k k e e e y y )( 1 2.3 有阻尼的自由振动 d如果 0.2，则 ， 51 称为对数衰减率（ logarithmic decrement）， 表征系统的阻尼情况，用符号 表示，定义为两个相邻 的同号位移值之比的自然对数，即 : 1ln kkyy 2 1 2ln 2 1 k k y y 2.3 有阻尼的自由振动 对数衰减率与阻尼比只差一个常数倍。 工程中常用此方法测定阻尼 )ln (21 1 k

26、k y y 52 用 和 表示两个相隔 n个周期的振幅，可得： ky nky )l n ( 2 1 nk kd y y n )ln ( 2 1 nk k y y n 2.3 有阻尼的自由振动 对于阻尼较小的体系，取相隔几周的响应峰值来计算 阻尼比，可以获得更高的精度。 d当 0.2时，即 时， 53 （ 2）当 =1时 体系阻尼等于 临界阻尼 （ critical damping）。 临界 阻尼 是在自由振动响应中不出现振动所需的最小阻 尼值。此时方程 的特解为 tetAAty )()( 21 01 yA 002 yvA 0)()(2)( 2 tytyty 2.3 有阻尼的自由振动 0v0y

27、设初始条件： t=0时初始位移为 ，初始速度为 ，则： ) 1 ( 2 54 运动不呈振动形式，按指数规律随时间 t的增大而逐 渐衰减以至消失。 tetyvyty )()( 000 2.3 有阻尼的自由振动 因此： t y y 0 0 00 vtg 这条曲线仍具有衰减性， 但不具有波动性。 55 （ 3）当 1时 体系的阻尼大于临界阻尼时，称为 超阻尼体系 （ over damping）。这时方程的特征根为 d 2,1 0)()(2)( 2 tytyty 2.3 有阻尼的自由振动 相应的通解为 : )()( 21 tdtdt eAeAety 56 设 t=0时，初始位移称为 ，初始速度为 ，

28、待定系数为 : 0y 0v )(21 0001 d yvyA )(21 0 00 02 yvyA )s i n hc o s h()( 000 tyvtyety d d d t 2.3 有阻尼的自由振动 故： )()( 21 tdtdt eAeAety 57 运动也不再呈振动形式，而是按指数规律随时间 t的 增大而逐渐衰减以至消失。 图表示 时 的时程曲线。从该图可以看到，系 统不出现振动现象，同时以 时衰减得最快。 1 )(ty 1 )s i n hc o s h()( 000 tyvtyety d d d t 2.3 有阻尼的自由振动 58 例 : 一个单层建筑物被理想化为无重柱支承的刚性

29、 梁，如图。使横梁产生 0.2m的位移需要在横梁处施 加 20KN的横向作用力，在产生初始位移后突然释 放，往返摆动的最大位移为 5mm，而循环一周后的 位移为 4mm，结构的周期为 1.4s。求结构的 、 c及 振动 6周后的振幅。 2.3 有阻尼的自由振动 59 解 ：结构的周期： 4.122 kgWT 22 2 2 1 1 . 4 1 . 4 2 0 9 . 8 4 8 . 7( ) ( 2 ) ( 2 ) 2 1 0W k g k N )(48.44.122 1 sT 2.3 有阻尼的自由振动 横梁的有效重量为： 体系的固有圆频率为： 60 对数衰减率： 2 2 3.0104 105l

30、nln 3 3 1 0 y y %55.32223.02 4 8 .72 2 4 .4 8 0 .0 3 5 5 1 .5 8 ( / ) 9 .8c m k N s m )(1031.110554 33 6 0 6 0 1 6 myy yy 2.3 有阻尼的自由振动 振动 6周后的振幅为 阻尼比和阻尼系数分别为： 61 例 : 从实测得知结构的阻尼比 ，设结构在初始 位移的情况下开始振动，试求振动幅衰减到初始位 移的 5%以下时所需的振动循环次数。 2.3 有阻尼的自由振动 解： 设振动 n周后，振幅降到初始位移的 5%以下。 因为 ny y n 0ln 2 1 77.405.0 1ln1.02 1ln2 1 0 ny yn 取 n=5，即经过五周振动后，振幅可降到初始位移的 5%以下。 0.1