《虚拟变量模型》PPT课件

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1、 第 8章 虚拟变量模型 一、虚拟变量的基本含义 二、虚拟变量的设置原则 三、虚拟变量作用 四、虚拟变量的引入 五、虚拟变量的特殊应用 六、虚拟被解释变量模型 一、虚拟变量的基本含义 许多经济变量是 可以定量度量 的，其取值可用数 值表示， 如： 商品需求量、价格、收入、产量等 但也有一些影响经济变量的因素 无法定量度量 ， 如： 职业、性别对收入的影响，战争、自然灾害 对 GDP的影响，季节对某些产品（如冷饮）销售 的影响等等，反映这些 定性因素 的变量被称为 品 质变量 ，这些变量由于各种原因不能计量 。 为了在模型中能够反映这些因素的影响，并提高 模型的精度，需要将它们“量化” . 这种

2、 “ 量化 ” 通常是通过人为地 虚构 出来一种 特殊的变量来完成的 。 即根据这些因素的属性类型 ， 构造只取 “ 0”或 “ 1”的人工变量 ， 通常称为 虚拟变 量 （ dummy variables） ， 文献中习惯用 表示 。 例如 ，反映性别这个属性的虚拟变量可取为 ： 一般地，在虚拟变量的设置中：用 1表示这种属 性或特征存在，用 0表示这种属性或特征不存在。 或者说，设置虚拟变量时 ,将 比较类型、肯定类型 取值为 1；而将基础类型、否定类型取值为 0。 iD 女 男 0 1 iD 大学以下学历 大学以上学历 0 1 iD 再如： 虚拟变量模型概念： 把 包 含 虚 拟 变 量

3、 的 模 型 称 为 虚 拟 变 量 模 型 （ Dummy Variable Model） ,若仅有解释变量中包 含虚拟变量 ， 称为虚拟解释变量模型；若被解释变量 是虚拟变量 ， 称为虚拟 被 解释变量模型 ， 或称为 离散 选择模型 。 一个以性别为虚拟变量考察企业职工薪金的模型： iiii DXY 210 其中： Yi为企业职工的薪金 ， Xi为工龄 ， Di=1， 若是男性 ， Di=0， 若是女性 。 研究居民住房消费支出 和居民可支配收入 之间的 数量关系 。 回归模型的设定为： 现在要考虑城镇居民和农村居民之间的差异 ， 如何办 ？ 为了对 “ 城镇居民 ” 、 “ 农村居民

4、” 进行区分 ， 分析 各自在住房消费支出 上的差异 ， 设 为城镇 ; 为农村 ,则模型为 (模型有截距 ， “ 居民属性 ” 定性变量只有两个相互排斥 的属性状态 （ ） ， 故只设定一个虚拟变量 。 ) 虚拟变量陷阱 (一个例子 ) iXiY 01 1i i iY = + X + u （ ） 0 1 1 1 2i i iY = + X + D + u （ ） 1 =1iD iY 1 =0iD 2m 若对两个相互排斥的属性 “居民属性” ，仍然 引入 个虚拟变量，则有 则模型（ 1）为 则对任一家庭都有： ， 即产生完全共线，陷入了“虚拟变量陷阱”。 “虚拟变量陷阱”的实质是： 完全多重共

5、线性 。 2 1= 0iD 农 村 居 民 城 镇 居 民 0 1 1 1 2 2 3i i iY X D D u （ ） 12 1D + D = 1 1= 0iD 城 镇 居 民 农 村 居 民 12 10D + D - = 2m 虚拟变量陷阱 二、虚拟变量的设置原则 虚拟变量的个数须按以下原则确定： 每一定性变量所需的虚拟变量个数要比该定性变 量的类别数少 1，即如果定性变量有 m个类型，只在 模型中引入 m-1个虚拟变量 。 每个虚拟变量定义为： 个属性类型非第 类型 iD i 0 个属性i第1 )1,2,1( mi i i iD m 当第 i种属性类型出现时，第 i 个虚拟变量取 1,

6、其它 都取 0时，则表示出现第 种属性类型 。 虚拟变量皆取 0，而当所有 例 :虚拟变量反映季节变动的影响 已知冷饮的销售量 Y除受 k种定量变量 Xk的影响 外 ， 还受春 、 夏 、 秋 、 冬四季变化的影响 ， 要考 察该四季的影响 ， 只需引入三个虚拟变量即可： 0 1 1tD 其他 春季 0 1 2tD 其他 夏季 0 1 3tD 其他 秋季 则冷饮销售量的模型为： ttttktktt DDDXXY 332211110 在上述模型中，若再引入第四个虚拟变量 0 1 4tD 其他 冬季 则冷饮销售模型变量为： tttttktktt DDDDXXY 44332211110 其矩阵形式为

7、： D)( X ,Y 如果只取六个观测值，其中春季与夏季取了 两次，秋、冬各取到一次观测值，则式中的： 显然， (X,D)中的第 1列可表示成后 4列的线性组合， 从而 (X,D)不满秩，参数无法唯一求出。 这就是所谓的“ 虚拟变量陷 阱 ”， 应避免。 00011 00101 10001 01001 00101 00011 )( 616 515 414 313 212 111 k k k k k k XX XX XX XX XX XX DX, k 1 0 4 3 2 1 1.可以检验和度量用文字所表示的定性因 素的影响 例如， 为了反映甲、乙两种不同的工艺过程对产 量的影响，可以在生产函数中

8、引入描述甲、乙两 种不同的工艺过程的虚拟变量： 通过对模型中 的显著性检验来确定甲、乙两 种不同的工艺过程是否对产量有显著影响。 三、虚拟变量的作用 ii uDL n KL n LL n AL n Q 1 0 iD 由甲工艺过程生产 由乙工艺过程生产 2. 可以测量变量在不同时期的影响 例如： 研究我国国民生产总值 Y随时间 X而增 长的过程 ， 需要考虑反常年份这一特殊因素的 影响 。 若定义 则引入虚拟变量的模型为 通过对参数 进行 检验 ， 可以检验反常年份 对社会总产值有无显著影响 ， 就把受反常年份 影响的时期从总过程中区分出来 正常年份 反常年份 0 1 tD tttt uDXY

9、210 2 t 3. 可以用来处理异常数据的影响。 例如，变量 Y和 X在长期中基本满足线性回归 模型的各个假设，但在时刻有一个突发情况， 使得 Y出现一个 k单位的暂时性波动。如果用线 性回归模型 分析这两个变量的 关系，其误差项的均值是 解决的办法是引进一个针对性 的虚拟变量，其定义为 新的回归模型为： 解决了均值非 0的问题 iii uXY 10 0 00)( iik iiuE i 当 当 0 0 1 0 ii iiD i 当 当 iIii vkDXY 10 iii kDuv 其中 0 0 01 000)()()( iikk iikDEuEvE iii 四、虚拟变量的引入方式 在计量经济

10、模型中引入虚拟解释变量，一般地有 三种方式： 加法方式、乘法方式 和 混合方式 。 1.加法方式： 所谓加法方式，即将虚拟变量直接作为一个解释 变量引入模型，它同其他解释变量之间是相加的关 系。当不同类型模型的斜率相同， 截距 不相同时， 可考虑以加法形式引入虚拟变量。 以加法方式引入虚拟变量时，主要考虑的问题是 定性因素的属性和引入虚拟变量的个数。 iiii DXY 210 （ 1）解释变量只有一个定性变量而无定量变量， 而且定性变量为两种相互排斥的属性； （ 2） 解释变量分别为一个定性变量 （ 两种属性 ） 和一个定量解释变量； （ 3） 解释变量分别为一个定性变量 （ 两种以上属 性

11、） 和一个定量解释变量； （ 4）解释变量分别为两个定性变量（各自分别是 两种属性）和一个定量解释变量； 加法方式分为四种情形讨论： （ 1）一个两种属性定性解释变量而无定量 变量的情形 01 0 ii ii Y Y 城 市（ ） 01i i iYD 例 如 ： 模 型 形 式 ： Y 为 香 烟 消 费 量 ； 01 0 E = 1 = + E = 0 = ii ii Y | D Y | D 那 么 ： （ ） 1 0iD 城 市其 中 ： （ 比 较 的 基 础 ： 农 村 ） 农 村 农村 （ 2) 一个定性解释变量（两种属性）和一个 定量解释变量的情形 01 1 0 i i i i i

12、 Y = D + X + Y X D 例 如 ： 城 市 其 中 ： 支 出 ； 收 入 ; 农 村 01 0 | , 1 | , 0 i i i i i i i i E Y X D X E Y X D X （ ） （ ） 01 0 i i i i i i Y = + + X + Y = + X + （ ） 城市 农村 0 1 01 ()iiYX 0 iiYX 几何意义： 两个函数有相同的斜率，但有不同的截距 Y X （ 3）一个定性解释变量（三种属性）和一 个定量解释变量的情形 在工资模型中如果我们考虑的是员工的受教 育程度，比如可以将员工的分为：高中以下， 高中毕业和大学及其以上三种。如果

13、虚拟变量 设为 高中以下 其他 高中毕业 其他 大学及其以上 其他 1 1 0D 2 1 0D 3 1 0D 则 1 2 3 1D D D 将会出现 多重共线性 ，因此需要去掉一个虚拟变量。 假设模型为： 1 1 0D 2 1 0D 高中 其他 大学及其以上 其他 模型变为： 估计出的回归方程为： 高中以下： 高中： 大学及其以上： iii DDXY 231210 iii uDDDXY 34231210 iii XDDXYE 1021 )0,0,|( iii XDDXYE 12021 )()0,1,|( iii XDDXYE 13021 )()1,0,|( y x 假定 32， 其几何意义：

14、ii XY 130 )( ii XY 120 )( ii XY 10 3 2 0 （ 3）一个定性解释变量（四种属性）和一个 定量解释变量的情形 0 1 1 2 2 3 3 12 3 4 11 00 1 0 i i i Y X D Y D D D X DD D 例 如 : 季 度 有 种 特 性 例 如 ： 啤 酒 售 量 、 人 均 收 入 、 季 度 ； 一 季 度 二 季 度 其 中 ： 其 它 其 它 三 季 度 其 它 1 1 2 3 0 1 1 2 1 3 0 2 1 3 1 2 0 3 1 1 2 3 0 E , 1 , 0 E , 1 , 0 ( ) E , 1 , 0 ( )

15、 E , 0 ii ii ii ii Y | X D D D X Y | X D D D X Y | X D D D X Y | X D D D X 一 季 度 ： 二 季 度 ： 三 季 度 ： 四 季 度 ： 基 准 ： 四 季 度 （ ） 四个季节对某些商品的需求量分别为： 模型中系数 、 、 、 分别反映了四 、 一 、 二 、 三 、 一季度对该商品的平均影响程度 ， 根据这些系 数的统计检验就可以判断季度因素对该商品的需求 量是否存在着显著影响 。 10 2 3 （ 4）两个定性解释变量（均为两种属性）和一个定 量解释变量的情形 运用 OLS得到回归结果，再用 t检验讨论因素 是否

16、对模型有影响。 男 性 、 城 市 居 民 男性、农村居民 1 2 0 1E = 1 , = 0 = +i i iY | X , D D X （ ） + 1 2 0E | , 0 , 0i i iY X D D X 1 2 0 1 2E | , 1 , 1i i iY X D D X （ ） 1 2 0 2E | , 0 , 1 ( )i i iY X D D X 女 性 、 城 市 居 民 女性、农村居民 各类型居民香烟消费量分别为： DD121, 1 DD120, 1 0DD121, 00DD12, Y X 几何意义 0 1 1 2 2 .t t t k k t t tY D D D X

17、u 加法方式引入虚拟变量的一般表达式 : 基本分析方法 : 条件期望。 1 2 0 1 1 2 2E ( / , , . . . , ) . . .t t t k t t t k k t tY D D D D D D X 加法方式引入虚拟变量的主要作用为： 1.在有定量解释变量的情形下，主要改变方程 截距； 2.在没有定量解释变量的情形下，主要用于 方 差分析。 基本思想 : 以乘法方式引入虚拟变量时 ， 是在所设立的模型 中 ， 将 虚拟解释变量与其它解释变量 的乘积 ， 作 为新的解释变量出现在模型中 ， 以达到其调整设模 型 斜率 系数的目的 。 或者将模型斜率系数表示为虚 拟变量的函数

18、 ， 以达到相同的目的 。 乘法引入方式的特点 : （ 1） 截距不变； （ 2） 斜率发生变化； iX 2.乘法方式 例：研究文化用品消费支出 Y受收入 X、居民身份 D的 影响， 模型形式： 截距不变但 斜率发生变化 的情形： 12 12 1 () 1 0 E | , 1 ( ) E | , 0 t t t t t t t t t t t t t t Y X D X Y X D Y X D X Y X D X 城 市 其 中 ： 消 费 支 出 ； 收 入 ； 农 村 城 市 居 民 农 村 居 民 在 农 村 居 民 的 基 础 上 进 行 比 较 ， （ 只 有 斜 率 系 数 发 生

19、 改 变 ） 。 图 8-5 农村和城市的文化用品消费 O 3.混合方式：截距和斜率均发生变化 0 1 1 2 0 1 1 2 1 () 1 0 E | , 1 ( ) E | , 0 t t t t t t t t t t t t t t t Y X D D X Y X D Y X D X Y X D X 城 市 其 中 ： 消 费 支 出 ； 收 入 ； 农 村 城 市 农 村 在 正 常 年 份 基 础 上 比 较 ， 截 距 和 斜 率 系 数 都 改 变 . 例 : 同样研究消费支出 Y 、收入 X 、居民身份 D 间的影响关系。模型形式： y x 01 iiYX 几何意义： 1 0

20、 0 1 1 2 ( ) ( )iiYX 在计量经济学中，通常引入虚拟变量的方式分为 加法方式 和 乘法方式 以及 混合方式 三种：即 实质 :加法方式引入虚拟变量改变的是截距； 乘法方式引入虚拟变量改变的是斜率； 混合方式引入虚拟变量既改变截距又改变斜率 0t t tY X u 1 D 1t t tY X u 2 tXD 01 12 i i i Y = + X + u = + D = + D 原 模 型 加 法 方 式 引 入 乘 法 方 式 引 入 ： 虚拟变量的引入小结： 五、虚拟解释变量特殊应用 所谓特殊应用是指将引入虚拟解释变量 的加法方式、乘法方式进行综合使用。 基本分析方式：仍然

21、是条件期望分析。 本课主要讨论 （ 1）分段回归分析； （ 2）交互效应分析； （ 3）结构变化分析 在经济发生 转折时期 ， 可通过建立临界指标的虚 拟变量模型来反映数量因素的不同阶段 。 例如 ， 进口消费品数量 Y主要取决于国民收入 X 的多少 ， 中国在改革开放前后 ， Y对 X的回归关系明 显不同 。 这时 ， 可以 t*=1979年为转折期 ， 以 1979年的国 民收入 Xt*为临界值 ， 设如下虚拟变量： 0 1 tD * * tt tt 则进口消费品的回归模型可建立如下： tttttt DXXXY )( *210 1.分段回归分析 用 OLS法得到该模型的回归方程为： 0 t

22、tttt DXXXY )( *210 几何意义： 1979年之前，回归模型的斜率为 ； 1979年之前，回归模型的斜率为 ； 若统计检验表明， 显著不为零，则我国居民的消 费行为在 1979年前后发生了明显改变。 10 图 8-7 时间分段前后的进口消费品数量 X O Y ttt XXY )()( 21*20 tt XY 10 *20 tX 0 2 例 : 是否发展油菜籽生产与是否发展养蜂生产的 差异对农副产品总收益的影响研究。 模型设定为 : （ 1）式中 , 以加法形式引入虚拟变量暗含何假设 ? 0 1 1 2 2 12 1 11 0 0 i i i i i ii Y D D X u YX

23、 DD （ ） 其 中 ： （ 农 副 产 品 收 益 ） ； （ 农 副 产 品 投 入 ） 发 展 养 蜂 生 产发 展 油 菜 籽 生 产 ； 其 他 其 他 2.交互效应分析 上式以加法形式引入，暗含的假设为：菜籽生产和 养蜂生产是分别独立地影响农副品生产总收益。但 是，在发展油菜籽生产时，同时也发展养蜂生产， 所取得的农副产品生产总收益，可能会高于不发展 养蜂生产的情况。即在是否发展油菜籽生产与养蜂 生产的虚拟变量 和 间，很可能存在着一定 的交互作用，且这种交互影响对被解释变量农副产 品生产收益会有影响。 （ 1） 0 1 1 2 2i i i i iY X D D u 1iD 2

24、iD 为了反映 交互效应 ，将（ 1）变为： 同时发展油菜籽和 养蜂生产： 发展油菜籽生产： 发展养蜂生产： 基础类型： 0i i iY X u 02i i iY X u （ ） 01i i iY X u （ ） 0 1 2 3i i iY X u （ ） 0 1 1 2 2 3 1 2i i i i i i iY D D D D X u 基本思想 :在模型中引入相关的两个变量的乘积 如何检验交互效应是否存在？ 3.结构稳定性分析 模型结构的稳定性是指两个不同时期 (或不同空间 ) 研究同一性质的问题时所建立的同一形式的回归模 型的参数之间有无显著差异，如果存在着差异，则 认为模型结构不稳定。

25、 在现实经济生活中，往往由于某些重要因素的影响， 解释变量和被解释变量之间关系可能会发生 结构变 化； 如我国由于经济体制的变化，改革开放前后国民经 济总量指标之间的关系都会发生变化；或者研究我 国发达地区和不发达地区投资对经济增长的影响， 也会因地区不同而产生结构差异等等。 这一问题可通过引入乘法形式的 虚拟变量 来解决 例： 以 Y为储蓄， X为收入，为反映 1992年前后 储蓄与收入之间的结构关系有无明显变化，可引 入虚拟变量进行检验。设根据两个样本估计的回 归模型分别为： 1992年前： Yi=1+ 1 Xi+1i i=1,2 ,n1 1992年后： Yi= 2 +2Xi+2i i=1

26、,2 ,n2 设置虚拟变量： 将样本 1和样本 2的数据合并 ， 估计以下模型： 然后利用 t检验判断 、 的系数的显著性 . 年以后 年以前 19920 19921 iD iiiiii eXDDXY )()( 121211 iD ii XD 于是有： iiii XXDYE 10),0|( iiii XXDYE )()(),1|( 4130 则有可能出现下述四种情况中的一种： (1) 1=2 ， 且 1 =2 ， 即两个回归相同 ， 说明两个回 归 模 型 之 间 没 有 显 著 差 异 ， 称为 重 合 回 归 （ Coincident Regressions） ；模型结构是稳定的 . (2

27、) 1 2,但 1 =2 ， 说明两个回归模型之间的斜率 相同 ， 两个回归模型结构的差异仅在其截距 ， 称为 平行回归 （ Parallel Regressions） ; (3) 1= 2 ， 但 1 2 ， 说明两个回归模型之间的截 距相同 ， 两个回归模型结构的差异仅在其斜率 ， 称 为 汇合回归 (Concurrent Regressions)； (4) 12 ， 且 12 ， 即两个回归完全不同 ， 存在着 结构差异称为 相异回归 （ Dissimilar Regressions） 。 不同截距、斜率的组合图形 重合回归：截距斜率均相同 平行回归：截距不同斜率相同 共点回归：截距相同

28、斜率不同 交叉（不同）回归：截距斜率均不同 结构变化小结 结构变化 的实质是检验所设定的模型在样本 期内是否为 同一模型 。 显然 ， 平行回归 、 共点 回归 、 不同的回归三个模型均不是同一模型 。 平行回归模型的 假定 是斜率保持不变 （ 加法类 型 ， 包括 方差分析 ） ； 共点回归模型的 假定 是截距保持不变 （ 乘法类 型 ， 又被称为协方差分析 ） ； 不同的回归的模型的假定是截距 、 斜率均为变 动的 （ 加法 、 乘法类型的组合 ） 。 邹氏结构变化的检验 为了检验两个模型的结构是否相同，可提出原 假设：两个回归方程的结构相同，然后看看能否 拒绝这个假设 ,这个检验称为 C

29、how检验 . 设两个样本待检验回归模型为 : 样本 1（ n1个） 样本 2 (n2个 ) 邹检验的基本假定 : 将 n1与 n2个观察值合并，并用以估计以下回归： ),0(),0( 2221 tt uNu 和 1 2 2 1i i k k i iY X X u 1 2 2 2j j k k j iY X X u 是独立分布的和 tt uu 21 1 2 2 3i i k k i iY X X u (1).假设原假设为真 (2).用 OLS对这两个方程分别进行估计，可得到各自 的残差平方和 和 ，并求和 计算合并后的模型的残差平方和 (3).统计量 : (4).查 F分布表，得临界值 (5)

30、.结论 :F 的值 ,则拒绝回归相同的假设 ,即拒绝 结构稳定性假定 ;另外 ,若 F的 P值低 ,则拒绝结构稳 定性假定 . )2,()2( )( 21 21 knnkknnR S S kR S SR S SF UR URR F 检验步骤 : 1RSS 2RSS 21 R S SR S SR S S UR 11 ， 22 ， ， kk RRSS F 1.用虚拟变量只需做一个回归。 2.一个回归可以做各种检验。截距检验和斜率检 验都可以一次完成。 3.邹至庄检验没有明确告诉是哪一个系数发生变 化，而虚拟变量模型则可以很清楚看出这一点。 4.合并后样本容量变大，估计精度也有所提高 虚拟变量法相比

31、邹至庄检验的优越性： 被解释变量也可以是定性变量 ， 因此 ， 可以用虚 拟变量表示 。 虚拟被解释变量在日常经济活动中常 表现在人们的决策行为上 ， 即对某一问题人们要作 出 “ 是 ” 或 “ 否 ” 的回答 ， 如是否购买家用汽车 ， 是否购买人寿保险 ， 企业是否在某个地区投资等 。 当被解释变量只取有限个离散值 ， 特别是只取两 个值时 ， 所建立的模型被称为离散选择模型 。 离散 选择模型的目的是对被解释变量取值的概率建模 ， 而不是直接预测其取值 。 常用的模型有线性概率模 型和非线性概率模型 （ 包括 Logit模型和 Probit模 型 ） 。 六、虚拟被解释变量 1 线性概

32、率模型（ LPM) )|0(1 )|1( )|( 0 1 一、 模型 21 21 ii ii iii i iii XYP XYP XXYE X Y uXY L P M 是则不拥有住房的概率就 概率为记家庭拥有住房的条件 条件期望： 表示家庭收入 ，没有住房 ，如果拥有住房 其中， 为以下形式：以双变量模型为例，则 1)|(0 10 )|1( )|1(1(0)|1(1 )|( ii i ii iiii ii XYE p XYP XYPXYP XYE 有约束条件 之间与必须落在概率 注意： 二者相等。 率的关系是怎样的？问：条件期望与条件概 12( / )i i iE Y X X P 即 条件期望

33、事实上可解释为 Y在给定 X下事件 （家庭拥有住宅）的条件概率，该线性模型称 为线性概率模型 （ LPM） 12 1 2 i 1 2 i 1 ( 1 1 P 0 1 P : i i i i i i i i i i i i i u Y u Y X u Y u X Y u X u 、 的 非 正 态 性 只 取 两 个 值 ， 而 ） ， 因 此 也 取 两 个 值 。 当 时 ， 概 率 为 当 时 ， 概 率 为 显 然 ， 我 们 不 能 再 假 定 是 正 态 分 布 的 ： 实 际 上 它 遵 循 二 项 分 布 的估计问题二、 L PM 前面假设干扰项服从正态分布。但在 线性概率模型中

34、干扰的正态性不成立 ii ii i PP XXu 1 1 1010 后果 虽然 u不服从正态分布， 即对参数的估计不会产生影响，因为 OLS估计 的无偏性、有效性与 u的概率分布无关。 但进行检验 t、 F检验等统计推断时，却要求误 差项服从正态分布。 根据中心极限定理可知，在大样本情况下二项 分布趋近于正态分布，所以这时仍然可以在正 态分布假定下进行统计推断。 O LS但 是 点 估 计 仍 然 是 无 偏 的 。 是同方差的。但是不能说 和即使 具有异方差性）（ i jii u jiuuEuE u ),(0)(0)( 1 概率 总和 1 iu iX21 iX211 iP1 iP 的异方差性

35、：、 iu2 2 2 22 1 2 1 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 v a r ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0) v a r ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( i i i i i ii i i i i i i i i ii ii i u E u E u E u E u u E u X P X P X X X X XX PP u Y X 条 件 期 望 条 件 概 率 ） 的 方 差 与 的 条 件 期 望 有 关 ， 而 后 者 当 然 又 依 赖 与 的 取

36、 i u O L S 值 。 不 是 同 方 差 性 的 。 因 此 具 有 异 方 差 性 ， 这 时 就 不 能 用 估 计 模 型 中 的 参 数 。 随机误差项的方差 ii ii i PP XXu 1 1 1010 12 ( 2) , ( ) , ( 1 ) / / / / i i i i i i i i i i O L S W L S P P w Y w w X w u w O L S 校 正 当 异 方 差 性 出 现 时 ， 估 计 虽 然 无 偏 ， 却 不 是 有 效 的 。 解 决 异 方 差 的 方 法 是 进 行 模 型 变 换 用 加 权 最 小 二 乘 法 给 模

37、型 两 边 同 除 以 ， 得 ： 则 新 方 程 得 扰 动 项 是 同 方 差 的 。 因 此 可 用 估 计 其 中 的 参 数 。 01 ( 3 ) ( 1 ) 3 1 0 , 1 0 0 1 1 2 l og 0 , i ii i i i i w O L S Y X w w Y Y L P M it prob it 权 数 是 未 知 的 ， 如 何 处 理 ？ 用 方 法 估 计 原 回 归 方 程 得 到 再 由 此 求 的 估 计 值 、 条 件 期 望 的 值 域 区 间 问 题 （ ） 在 中 ， 条 件 期 望 值 可 能 超 出 区 间 ； 可 以 将 小 于 的 值

38、改 为 ； 大 于 的 值 改 为 。 这 是 人 为 的 把 大 概 率 事 件 当 作 必 然 事 件 ， 把 小 概 率 事 件 当 作 不 可 能 事 件 。 （ ） 在 模 型 和 模 型 中 ， 可 以 保 证 条 件 期 望 的 值 域 区 间 在 1 。 线性概率模型：一个数值例子 我们用一个数值例子来说明线性概率模型的一 些问题。表 8.1给出 40各家庭的住宅所有权 Y （ 1拥有住宅， 0不拥有住宅）和家庭收入 X（千美元）的虚构数据。根据这些数据，用 OLS估计的线性概率模型如下： （ 0.1128）（ 0.0082） t（ -7.6984）（ 12.515） （ 8.

39、1） 0 . 9 4 5 7 0 . 1 0 2 1iiYX 2 0 .8 0 4 8R 解释 首先我们来解释这一回归。截距值 -0.9457给 出零收入的家庭拥有自己的住房的概率。由于 是负值，而概率又不可能是负值，我们就把该 值当作零看待，这样做在本例中是说得过去的。 斜率值 0.1021意味着收入每增加 1单位，平均 地说拥有住宅的概率增加 0.1021或约 10。 当然，对某一给定的收入水平，我们可以从 （ 8.1）估计出拥有住宅的实际概率。例如， 对于 X 12（ 12000美元），估计拥有住宅 的概率是 ( / 1 2 ) 0 . 9 4 5 7 1 2 ( 0 . 1 0 2 1

40、 ) . iYX 0 2 7 9 5 WLS估计 就是说，收入为 12000 美元的家庭拥有住宅的 概率为 28。 对于上面的估计受异方差的影响，因此我们可 以用 WLS来获得更有效的估计值。由于某些 是 负的，和某些 大于 1，对于这些 来说， 将 是负的，因此删去这些值 。得到的 WLS回归为： 11 . 2 4 5 6 0 . 1 1 9 6ii i i i YX w w w iY iY iY iw （ 0.1206） （ 0.0069） t （ -10.332） （ 17.454） 2 0 .9 2 1 4R 4、拟和优度 通常情况下，拟和优度不会太高，在 0.2至 0.6之间， 当实

41、际的散点非常密集在点 A和 B处时， 才会高 。 1 Y LPM X0 受约束 )(b . . 1 Y LPM X0 无约束 )(a . . A B 2R 非线性概率模型 2 1 2 3 0 , 1 4 i i i L PM u u Y R 问 题 的 提 出 ： 的 局 限 ： （ ） 非 正 态 （ ） 异 方 差 （ ） 在 之 外 （ ） 一 般 比 较 小 应当指出的是， 虽然我们可以采用 WLS解决异方差 性问题、增大样本容量减轻非正态性问题，通过约 束迫使所估的事件 Y发生的概率落入 0-1，但是， LPM与经济意义的要求不符：随着 X的变化， X对 的 “边际效应”保持不变。即

42、不论 X的变化是在什 么水平上发生的，参数都不发生变化，显然这与现 实经济所发生的情况是不符的。 2 对数单位模型（ Logit Model) 因此，表现概率平均变化比较理想的模型应当具有这样的 特征： （ 1） 随着 增加， 也增加，但不超出 0-1这个区间。 （ 2）随着 X变小 ,概率趋于零的速度越来越慢，而随着 X变 得很大，概率趋于 1的速度也越来越慢”。 P随 X变化而变化， 且变化速率不是常数， P和 X之间是非线性关系。 ( 1 / )iiP E Y X X 1 P 0 iX 12 () 12 12 1 1 ( 1 | ) ( | ) ( 1 ) 1 : ( 1 | ) ( |

43、 ) 1 1 1 01 i i i i i i i X i i i i i i i i Z ii L ogi t L ogi t P P Y X E Y X e L PM P P Y X E Y X X ZX P e ZP 一 、 模 型 、 模 型 中 条 件 概 率 的 表 达 式 比 较 令 则 （ ） 变 为 (1) 当 从 变 到 ， 从 变 为 。 (2) 有 一 个 拐 点 ， 在 拐 点 之 前 ， 随 Z 或 X 增 大 ， P 的 增 长 速 度 越 来 越 快 ； 在 拐 点 之 后 ， 随 Z 或 X 增 大 ， P 的 增 1 长 速 度 越 来 越 慢 ， 逐 渐

44、趋 近 于 。 这是一个（累积 ） 逻辑斯 蒂 分布函数为名的模型 (对数单位模型 ) 这些特征正好满足前面讨论的非线性概率模型的要求 。 机会表示有利于拥有住房的 则 且表示拥有住房的概率，如： ”（、线性化与“机会比率 1:42.0/8.0)1/( 8.0 1 1 1 1 1 1 ) 2 21 21 21 )( )( ii ii X i i Xi Xi PP PP e P P e P e P r at i oodd s i i i 即一个家庭拥有住房的概率对不拥 有住房的概率之比 。 现在 就是有利于拥有住房的机会比 率 一个家庭将拥有住房的概率对不拥有住 房的概率之比。 对 取自然对数得

45、： 即机会比率的对数 不仅对 为线性，而且对 参数也是线性。 被称为对数单位模型。 1iPP l n ( )1 ii i PL P 12 iX iL i X L 3.对数单位模型 12 1 iXi i P e P 1、 从 0变到 1，对数单位从 变到 2、虽然 对 为线性，但概率本身却不然。 3、斜率系数给出 每单位变化的 的变化，它告 知人们随着收入变化一单位，有利于拥有住房的 对数 机会比率是怎样变化的。截距是当收入为 零时的有利于拥有住房的对数 机会比率的值。 4、对给定的某个收入水平，我们其实想估计的并 不是有利于拥有住房的机会比，而是拥有住房本 身的概率。 5、对数单位模型假定机会

46、比率的对数与 有线 性关系。 P L X X L X 对数模型的特点： 会出现无穷大量。这些数代入模型的左边 。否则有住宅的数据，那么当家庭拥 庭困难。如果只有个别家数值。这时会遇到一些 ，还需要知道对数值除了解释变量的数据外 为了估计模型 模型的估计二、 0,1 ) 1 l n ( 21 ii i ii i i i PP L uX P P L L o g i t 在这种情形下只有用最大似然估计求解，另外 的一种估计方法，当我们拥有的数据如下表所 示时可以用 OLS求解。 用 OLS求解 1.数据构造 (收入以 的家庭个数） （其中拥有住房的家庭数） 6 40 8 8 50 12 10 60

47、18 40 25 20 iX iN iX in 注：有异方差 估计、 、频率代替概率 i i i i i i i X P P L O L S N n P 21 ) 1 l n ( 3 2 )1( 1 ,0 4 iii i ii PPN Nu XN 分布的二次式变量，则 视为同一个独立中的每一次观测都可以 定收入组相当大于且如果在一给当 、随机扰动项的分布 显然模型中存在异方差，因此我们考虑使用加权 最小二乘法，权重取 。用 代替 则可求 出 ： 21 i iP iP 2i 2 1 (1 ) iiNP iP 。注：样本应当合理得大 设。建立置信区间和检验假用 估计用 模型的回归步骤、 O L S

48、s t ep UXwL O L Ss t ep PPN w wuwXwwLs t ep P P Ls t ep N n Ps t ep L o g i t i i i i iii i iiiiiii i i i i i i :5 / :4 ) 1( 1 / :3 ) 1 l n ( :2 :1 5 * 21 * 21 1325.4 20 ) 1( 1 /20/ ,20 20 2921.0 9627.0 4456.1429.14 0054.01115.0 0787.0/5932.1 l o g * 2 2 * iii ii i i i PPN wXX X R t XwL it i 概率？单位的家

49、庭拥有住房的问：收入水平为 ）（）（ ）（）（ 子模型估计的一个数值例三、 495.0 9803.0 1 ) 1 l n ( 0199.0 09441.0 * * i L i i i i i ii P e P P P P L wLL L i 得 得 而 再求 代入回归式得 为了解释二分应变量，有必要使用适 当 CDF。对数单位模型使用的是累积逻辑 斯蒂函数。在实际应用中发现正态 CDF效 果也不错。使用正态 CDF的估计模型通常 称为概率单位模型。 引入概率单位模型有两种途径：一是 模仿前面逻辑斯蒂函数的形式，直接用正 态分布函数替换；二是依据 麦克法登 的效 用理论或行为的理性选择引入概率单

50、位模 型。 3 概率单位模型 (probit Model) 直接用正态分布函数替换 用正态分布函数去拟合 S曲线时，所得到的模 型就是著名的 Probit模型。 Probit模型的具体 形式为： dteXFP iX tii 10 2 2/10 2 1)( 将其转化成线性模型： ii XPF 101 )( 对于模型上式，一般也是采用极大似然估计法 进行估计。 Probit模型和 Logit模型都是对线性概率模型的 改进，两者的区别在于趋于 0或 1的速率不同。逻 辑分布函数趋于 0或 1的速率慢于正态分布函数的 速率。 Logit模型与 Probit模型的比较 )X(i i10e1 1P i10

51、 2X 2/t i10i dte2 1)X(FP 逻辑分布函数 趋于 0和 1的速度慢于 正态分布函数 的速度 P 0 1 Logit Probit 1、几何形状 下面根据效用理论阐明使用概率单位模型的动机。 表示一种不可观测的效用指数， 表示收入， 仍然研究家庭拥有住房的概率。 当 越大时，认为拥有住房的概率越大。 现在假定有这样一个临界值 ，当 时， 该家庭拥有住房，否则不拥有。 iI iX 12iiIX iI *iI *iiII 在正态性假定下， 的概率可由标准化正态 CDF算出。 t是标准化正态变量， 。 *iIII 2* / 21Pr ( 1 ) Pr ( ) ( ) 2 iI t

52、i i i iP Y I I F I e d t 212 /21 2 iX te dt ( 0 ,1 )tN 根据获得关于效用函数 以及 和 的信息， 可得到： 如果我们掌握了的分组数据，便可由 计 算出 ，一旦有了 ，就可很轻松的估计 和 在对数单位分析中， 被称为正态等效离差 (n.e.d.)。当 时， 将是负数，在实 际 中通常把 5加到 上，其结果称为概率单位 . iI 1 2 1 ()iiI F P 12 iX iP iI iI 1 2 iI 0.5iP iI iI 现在估计 和 。通过下面的式子： 概率单位模型的估计步骤： 1、从分组数据中估计出 。 2、根据 ，从标准正态 CDF

53、中求出 n.e.d. 3、用 作为回归的应变量。 4、由于随机误差项存在异方差，因此还要进行数据转 换或用 WLS估计出最后结果。 5、用普通方式进行假设检验，但得到的结果只在大样 本下有效，同时 已没有多大价值 P r . . . 5o b i t n e d 1 2 12i i iI X u iP iP iI iI 2R 概率单位模型的例子 根据所给的数据，可以估计出如下结果。 以 n.e.d.作为应变量： 以概率单位作为应变量： 除截距外，两种回归结果没有差别。 2 1.0 088 0.0 481 ( 17. 330 ) ( 19. 105 ) 0.9 786 iiIX tR 2 Pr

54、3 . 9 9 1 1 0 . 0 4 8 1 ( 6 8 . 5 6 0 ) ( 1 9 . 1 0 5 ) 0 . 9 7 8 6 iio b it X tR 比较对数单位与概率单位的估计值 : 虽然对数单位模型和概率单位模型给出性质 相同的结果，但是两个模型参数的估计值不 可直接比较。一般两者参数有如下关系： 另外， LPM的系数与对数单位模型的系数有如 下关系： 不含截距项时 含有截距项时 l o g P r0 . 6 2 5 it o b it l o g0 . 2 5L P M it l og0 .2 5 0 .5LP M it 模型的检验与评价 对 Logit模型的检验包括参数的

55、显著性检验、 拟合优度检验等 1.参数的显著性检验 原假设是 由于参数的最大似然估计量具有渐进正态性， 因此检验统计量为： 对给定的显著性水平 当 时，不能拒绝原假设，认为变量的系数 不能通过显著性检验；当 时，可以拒绝原 假设，认为变量的系数能够通过显著性检验。 0 :0iH )( i i i SEZ /2iZZ /2iZZ 2.拟合优度检验 模型参数估计后 ， 选取适当的截断值 P （ ） ， 将观测数据分为两组： 归入第 一组 ， 归入第二组 ， 其中 。 如果样本中的一个观测数据 Y的取值为 0并且该 样本属于第一组 ， 或者一个观测数据 Y的取值为 1并且属于第二组 ， 就称这个观测

56、数据是分组恰 当的；否则就称这个观测数据是分组不恰当的 。 显然 ， 如果模型估计与实际观测数据比较一致 ， 则大多数的观测数据应该是分组恰当的 。 因此 ， 可以利用分组恰当观测数据占总样本的比例来衡 量模型的拟合优度 。 这种检验方法称为 期望 -预 测表检验 。 01P 1 1 z Pe 1 1 z Pe 110 Xz 4 托比（ tobit)模型 托比模型是概率的拓展，还是以住房为例， 对因变量我们不仅想知道有或是没有，还要 问一个消费者相对于其收入花在购房上的金 额。出现一个问题：如果一个消费者不买住 房就得不到这类消费者的住房支出数据。托 比模型就是针对这种情况而言的。 截取样本：仅对某些观测有因变量的 信息的样本。 本课程对此不作要求）、用最大似然法估计（ 否则的话 若 、托比模型 2 0 0 1 21 R H SuX Y ii i