《简单的优化模型》PPT课件

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1、简单的优化模型 现实世界中普遍存在着优化问题 静态优化问题指 最优解 是数 (不是函数 ) 建立静态优化模型的关键之一是根 据建模目的确定恰当的 目标函数 求解静态优化模型一般用 微分法 简单（静态）的优化模型 1 存贮模型 问 题 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 已知某产品日需求量 100件，生产准备费 5000元，贮存费 每日每件 1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 要 求 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需

2、求量、准备费、贮存费之间的关系。 问题分析与思考 每天生产一次 ，每次 100件，无贮存费，准备费 5000元。 日需求 100件，准备费 5000元，贮存费每日每件 1元。 10天生产一次 ，每次 1000件，贮存费 900+800+100 =4500 元，准备费 5000元，总计 9500元。 50天生产一次 ，每次 5000件，贮存费 4900+4800+100 =122500元，准备费 5000元，总计 127500元。 平均每天费用 950元 平均每天费用 2550元 10天生产一次平均每天费用最小吗 ? 每天费用 5000元 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。 显然不能用一个周

3、期的总费用作为目标函数 目标函数 每天总费用的平均值 周期短，产量小 周期长，产量大 问题分析与思考 贮存费少，准备费多 准备费少，贮存费多 存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小 模 型 假 设 1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期） , 每次生产 Q件，当贮存量 为零时， Q件产品立即到来（生产时间不计）； 建 模 目 的 设 r, c1, c2 已知，求 T, Q 使每天总费用的平均值最小。 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。 模 型 建 立 0 t q 贮存量表示为时间的函数 q(

4、t) T Q r t=0生产 Q件， q(0)=Q, q(t)以 需求速率 r递减， q(T)=0. 一周期 总费用 TQccC 2 21 每天总费用平均 值（目标函数） 2)( 21 rTcTcTCTC 离散问题连续化 Acdttqc T 202 )( 一周期贮存费为 A=QT/2 2 2 21 rTcc rTQ 模型求解 M in2)( 21 rTcTcTC 求 T 使 0dTdC 2 12 c rcrTQ 2 12 rc cT 模型分析 QTc ,1 QTc ,2 QTr , 模型应用 c1=5000, c2=1， r=100 T=10(天 ), Q=1000(件 ), C=1000(元

5、 ) 回答问题 经济批量订货公式 （ EOQ公式 ） 2 12 rc cT 2 12 c rc rTQ 每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ， 用于订货、供应、存贮情形 不允许缺货的存贮模型 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？ T天订货一次 (周期 ), 每次订货 Q件，当贮存量降到 零时， Q件立即到货。 允许缺货的存贮模型 A B 0 q Q r T1 t 当贮存量降到零时仍有需求 r, 出现缺货，造成损失 原模型假设：贮存量降到零时 Q件 立即生产出来 (或立即到货 ) 现假设：允许缺货 , 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足 T 1rTQ Acd

6、ttqc T 202 1 )( 一周期 贮存费 Bcdttqc TT 33 1 )( 一周期 缺货费 周期 T, t=T1贮存量降到零 2 )( 2 2 1 3 1 21 TTrcQTccC 一周期总费用 rT QrTc rT Qc T c T CQTC 2 )( 2),( 2 3 2 21 0,0 QCTC 每天总费用 平均值 （目标函数） 2 13121 )(2 1 2 1 TTrcQTccC 一周期总费用 M in),( QTC求 T ,Q 使 3 32 2 12 c cc rc cT 32 3 2 12 cc c c rcQ 为与 不允许缺货的存贮模型 相比， T记作 T , Q记作

7、Q 2 12 rc cT 2 12 c rcrTQ 不允 许缺 货模 型 QQTT , 3 32 c cc 记 1 QQTT , 13 c QQTT , 3 32 2 12 c cc rc cT 32 3 2 12 cc c c rcQ 允许 缺货 模型 不 允 许 缺 货 3c 3 32 2 12 c cc rc cT 32 3 2 12 cc c c rcQ 允许 缺货 模型 0 q Q r T1 t T 注意：缺货需补足 Q每周期初的存贮量 R 每周期的生产量 R （或订货量） 3 32 2 12 c cc c rcTrR Q不允许缺货时的产量 (或订货量 ) QQR Discussio

8、ns 2 生猪的出售时机 饲养场每天投入 4元资金，用于饲料、人力、设 备， 估计 可使 80千克重的生猪体重增加 2公斤。 问 题 市场价格目前为每千克 8元，但是 预测 每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。 如果 估计 和 预测 有误差，对结果有何影响。 分 析 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大 trtgttQ 4)80)(8()( 求 t 使 Q(t)最大 rg grt 2404 10天后出售 ， 可多得利润 20元 建模及求解 生猪体重 w=80+rt 出售价格 p=8-gt 销售收入 R=pw 资金投入 C=4t 利润 Q=R-

9、C=pw -C 估计 r=2， 若当前出售，利润为 80 8=640（元） t 天 出售 =10 Q(10)=660 640 g=0.1 敏感性分析 研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计 r=2， g=0.1 rg grt 2404 设 g=0.1不变 5.1,6040 rrrt t 对 r 的（相对）敏感度 rr ttrtS / /),( t r dr dt 36040 60),( rrtS 生猪每天体重增加量 r 增加 1%，出售时间推迟 3%。 1 . 5 2 2 . 5 3 0 5 10 15 20 r t 敏感性分析 估计 r=2， g=0.1 rg grt 2404 研究 r

10、, g变化时对模型结果的影响 设 r=2不变 15.00,203 gg gt t 对 g的（相对）敏感度 t g dg dt gg ttgtS / /),( 3203 3),( ggtS 生猪价格每天的降低量 g增加 1%，出售时间提前 3%。 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 . 1 2 0 . 1 4 0 . 1 6 0 10 20 30 g t 强健性分析 (Robustness) 保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售 由 S(t,r)=3 建议过一周后 (t=7)重新估计 , 再作计算 。 wwpp , 研究 r, g不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt w

11、= w(t) 4)()()()( twtptwtp p=8-gt p =p(t) 若 (10%), 则 （ 30%） 2.28.1 w 137 t 0)( tQ 每天利润的增值 每天投入的资金 ttwtptQ 4)()()( Discussions 3 森林救火 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。 问题 分析 问题 记队员人数 x, 失火时刻 t=0, 开始救火时刻 t1, 灭火时刻 t2, 时刻 t森林烧毁面积 B(t). 损失费 f1(x)是 x的减函数 , 由烧毁面积 B(t2

12、)决定 . 救援费 f2(x)是 x的增函数 , 由队员人数和救火时间决定 . 存在恰当的 x，使 f1(x), f2(x)之和最小 关键是对 B(t)作出合理的简化假设 . 问题分析 失火时刻 t=0, 开始救火时刻 t1, 灭火时刻 t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积 B(t)的大致图形 t1 t2 0 t B B(t2) 分析 B(t)比较困难 , 转而讨论森林烧毁 速度 dB/dt. 模型假设 3） f1(x)与 B(t2)成正比，系数 c1 (烧毁单位面积损失费） 1） 0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度） 2） t1tt2, 降为 -x (为队员的平均灭火

13、速度） 4）每个 队员的单位时间灭火费用 c2, 一次性费用 c3 假设 1） 的解释 r B 火势以失火点为中心， 均匀向四周呈圆形蔓延， 半径 r与 t 成正比 面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比 . x btt 12 202 )()( t dttBtB 模型建立 dt dB b 0 t1 t t2 x 假设 1） ,1tb xcttxcxftBcxf 31222211 )()(),()( 目标函数 总费用 )()()( 21 xfxfxC 假设 3） 4） x ttt 1 12 假设 2） )(222 2 1 22 12 x ttbt 0dxdC xc x xtc x tc

14、tcxC 3 12 2 1 2 1 2 11 )(22 )( 模型建立 目标函数 总费用 模型求解 求 x使 C(x)最小 2 3 12 2 11 2 2 c tctcx 结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员数 dtdB b 0 t1 t2 t x 其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数 模型 应用 c1,c2,c3已知 , t1可估计 , c2 x c1, t1, x c3 , x 结果 解释 2 3 12 2 11 2 2 c tctcx c1烧毁单位面积损失费 , c2每个 队员单位时间灭火费 , c3每个 队员一次性费用 , t1开始救火时刻 , 火 势蔓延速度 , 每个

15、队员平均灭火 速度 . 为什么 ? ,可 设置一系列数值 由模型决定队员数量 x Discussions 模型是否实际？ 4 最优价格 问题 根据产品成本和市场需求，在产销平 衡条件下确定商品价格，使利润最大 假设 1）产量等于销量，记作 x 2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格 3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本 4）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数 建模 与求解 pxpI )(收入 qxpC )(支出 )()()( pCpIpU 利润 进一步设 0,)( babpapx 求 p使 U(p)最大 0 * ppdp dU 使利润 U(p)最大的最优价格 p*满足

16、* pppp dp dC dp dI 最大利润在边际收入等于边际支出时达到 pxpI )( qxpC )( bpapx )( )( bpaqp )()()( pCpIpU b aqp 22 * 建模 与求解 边际收入 边际支出 结果 解释 b aqp 22 * 0,)( babpapx q / 2 成本的一半 b 价格上升 1单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度） a 绝对需求 ( p很小时的需求 ) b p* a p* 思考：如何得到参数 a, b? Discussions 5 血 管 分 支 背 景 机体提供能量维持血液在血管中的流动 给血管壁以营养 克服血液流动的阻力 消耗能量取决

17、于血管的几何形状 在长期进化中动物血管的几何形状 已经达到能量最小原则 研究在能量最小原则下，血管分支处 粗细血管半径比例和分岔角度 问 题 模型假设 一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面 血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动 血液给血管壁的能量随管 壁的内表面积和体积的增 加而增加，管壁厚度近似 与血管半径成正比 q q 1 q1 A B B C H L l l1 r r1 q=2q1 r/r1, ? 考察血管 AC与 CB, CB 粘性流体在刚 性管道中运动 l prq 8 4 pA,C压力差， 粘性系数 克服阻力消耗能量 4 2 1 8 d lqpqE 提供营养消耗能量

18、21,2 lbrE 管壁内表面积 2rl 管壁体积 (d2+2rd)l, 管壁厚度 d与 r成正比 模型假设 q q1 q1 A B B C H L l l1 r r1 模型建立 q q1 q1 A B B C H L l l1 r r1 4 2 1 8 d lqpqE 克服阻力消耗能量 21,2 lbrE 提供营养消耗能量 1141214221 2)/()/( lbrrkqlbrrkqEEE s in/,/ 1 HltgHLl s i n/2)/( )t a n/)(/(),( 1 4 1 2 1 42 1 Hbrrkq HLbrrkqrrE 机体为血流提供能量 模型求解 q q1 q1 A

19、 B B C H L l l1 r r1 0,0 1 rErE 0/4 0/4 5 1 21 1 521 rkqrb rkqrb 4 1 1 4 r r 0E 4 1 2c os r r 4 4 2c o s 21 001 4937,32.1/26.1 rr s i n/2)/( )t a n/)(/(),( 1 4 1 2 1 42 1 Hbrrkq HLbrrkqrrE 模型 解释 生物学家：结果与观察大致吻合 大动脉半径 rmax, 毛细血管半径 rmin 大动脉到毛细血管有 n次分岔 4 1 1 4 r r 4 m i n m a x 4 n r r 5m i nm a x 410 0

20、0/ rr 21 00 1 4937 32.1/26.1 rr 观察：狗的血管 )4(5 n 3025n 血管总条数 973025 10103222 n 推论 n=？ 6. 实物交换 问 题 甲有物品 X, 乙有物品 Y, 双方为满足更高的需要， 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 y x p . 用 x,y分别表示甲 (乙 )占有 X,Y的数量。设交换前甲占 有 X的数量为 x0, 乙占有 Y的 数量为 y0, 作图： 若不考虑双方对 X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y) 都是一种交换方案：甲占有 (x,y) ，乙占有 (x0 -x, y0 -y) x y yo 0 xo x y

21、yo y1 y2 0 x1 x2 xo p1 p2 . . 甲的无差别曲线 分析与建模 如果甲占有 (x1,y1)与占有 (x2,y2) 具有同样的满意程度，即 p1, p2 对甲是无差别的， M N 将 所有与 p1, p2无差别的点连接 起来，得到一条 无差别曲线 MN, 线上各点的满意度相同 , 线的形状反映对 X,Y的偏爱程度， N1 M1 p3(x3,y3) . 比 MN各点满意度更高的点如 p3，在另一条无差别曲线 M1N1上。 于是形成一族无差别曲线（无数条）。 y x p1 . y x p2 . c1 y 0 x f(x,y)=c1 无差别曲线族的性质： 单调减 (x增加 ,

22、y减小 ) 下凸 (凸向原点 ) 互不相交 在 p1点占有 x少、 y多， 宁愿以较多的 y换取 较少的 x; 在 p2点占有 y少、 x多， 就要以较多的 x换取 较少的 y。 甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c1 c1满意度 （ f 等满意度曲线） x y O g(x,y)=c2 c2 乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同 性质（形状可以不同） 双方的交换路径 x y yo O x o f=c1 O x y g=c2 乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标 系 xOy, 且反向） 甲的无差别曲线族 f=c1 A B p P 双方满意的交换方案必 在 AB（交换路径）上 因为在 AB

23、外的任一点 p, (双方 )满意度低于 AB上的点 p 两族曲线切点连线记作 AB A B p 交换方案的进一步确定 交换方案 交换后甲的占有量 (x,y) 0 xx0, 0yy0矩 形内任一点 交换路 径 AB 双方的无差别曲线族 等价交换原则 X,Y用货币衡量其价值，设交换 前 x0,y0价值相同，则等价交换原 则下交换路径为 C D (x0,0), (0,y0) 两点的连线 CD AB与 CD的 交点 p 设 X单价 a, Y单价 b, 则等价交换下 ax+by=s (s=ax0=by0) y yo 0 x o . . x Discussions q2 U(q1,q2) = c q1 0

24、 1l 2l 3l 7 消费者均衡 问题 消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别 曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱， 购买这两种商品，以达到最大的满意度。 设甲乙数量为 q1,q2, 消 费者的无差别曲线族 (单调减、下凸、不相 交），记作 U(q1,q2)=c U(q1,q2) 效用函数 已知甲乙价格 p1,p2, 有钱 s，试分配 s, 购买甲乙数量 q1,q2,使 U(q1,q2)最大 . s/p2 s/p1 q2 U(q1,q2) = c q1 0 1l 2l 3l 模型 及 求解 已知价格 p1,p2,钱 s, 求 q1,q2,或 p1q1 / p2q2, 使 U(q1,q2)最

25、大 sqpqpts qqUZ 2211 21 . ),(m a x ),( 2211 qpqpUL )2,1(0 i q L i 2 1 2 1 p p q U q U 1 2 2 dq dqK l 几 何 解 释 sqpqp 2211直线 MN: 最优解 Q: MN与 l2切点 21 / ppK MN 斜率 M Q N 21 / q U q U 0,0,0,0,0.B 21 2 2 2 2 2 1 2 21 qq U q U q U q U q U 2 1 2 1 p p q U q U 结果 解释 21 , qUqU 边际效用 消费者均衡状态在两种商品 的边际效用之比恰等于它们 价格之比时

26、达到。 效用函数 U(q1,q2) 应满足的条件 A. U(q1,q2) =c 所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸 解释 B的实际意义 AB 0,)(.1 1 21 qq U 效用函数 U(q1,q2) 几种常用 的形式 2 1 2 1 p p q U q U 2 1 22 11 p p qp qp 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比 与二者价格之比的平方根成正比。 U(q1,q2)中参数 , 分别表示消费者对甲乙 两种商品的偏爱程度。 1,0,.2 21 qqU 0,)(.3 221 baqbqaU 2 1 2 1 p p q U q U 22 11 qp qp 购买两种商品费用之比与二者价格无关。 U(q1,q2)中参数 , 分别表示对甲乙 的偏爱程度。 思考：如何推广到 m ( 2) 种商品的情况 效用函数 U(q1,q2) 几种常用 的形式