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1、空间几何体的体积 (2) (一 )球的体积计算公式 两等高的几何体若在所有等高 处的水平截面的面积相等，则这两 个几何体的体积相等 祖 暅 原理 ： 思考 :利用此原理如何得到球的体积公式 ? 实验 : 给出如下几何模型 R R 实验步骤 : 拿出圆锥和圆柱 将圆锥倒立放 入圆柱 结论 :截面面积相等 , R 则两个几何体的体积相等 . 取出半球和新的几何体作它们的截面 问题 :截面面积相等吗 ? R R R 221 3 R R R R 34 3 VR 球 球V2 1 球的体积计算公式： R 球面球 RSRSRSRSVR 3 1 3 1 3 1 3 1 3 4 321 3 24 RS 球面 S
2、1 探究 （二）球的表面积 例 1.如图是一个奖杯的三视图 ,单位是 cm， 试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积 . (精确到 0.01cm) 8 6 6 18 15 15 11 11 x/ y/ z/ 数学运用 这个奖杯的体积为 V=V正四棱台 +V长方体 + V球 其中 V正四棱台 221 5 ( 15 15 11 +1 1 ) 85 1 .66 7 3 V正方体 =6 8 18=864 V球 = 1 1 3 .0 9 7 34 3 3 所以这个奖杯的体积为 V=1828.76cm3 数学运用 例 2.某街心花园有许多钢球（钢的密度是 7.9g/cm3） , 每个钢球重 145kg，并
3、且外径等于 50cm，试根据以上数 据，判断钢球是实心的还是空心的如果是空心的， 请你计算出它的内径（ 取 3.14，结果精确到 1cm） 解： 由于外径为 50cm的钢 球的质量为： 街心花园中钢球的质 量为 145000g，而 145000517054，所以钢 球是空心的 34 50 7.9 517 054 ( )32 g 数学运用 解： 设球的内径是 2xcm，那么球的质量为： 解得： 答：钢球是空心的其内径约为 45cm 3 34 50 47.9 145 000 3 2 3 x 3 1 1 2 3 9 . 4 2 ,x 2 2 .4 .x 2 4 4 . 8 .x 数学运用 例 2.某
4、街心花园有许多钢球（钢的密度是 7.9g/cm3） , 每个钢球重 145kg，并且外径等于 50cm，试根据以上数 据，判断钢球是实心的还是空心的如果是空心的， 请你计算出它的内径（ 取 3.14，结果精确到 1cm） 例 3.一个正方体内接于半径为 R的球内 ,求正方体的 体积 . R 解 : 数学运用 因为正方体内接于球内，所以正方体的 8 个定点均在球面上，又正方体和球体都 是中心对称图形，所以它们的对称中心 必重合，即球心就是正方体的中心， 设正方体的棱长为 a, 232 3 , 3R a a R 则 所以 ,正方体的体积为 : 3 3 32 3 8 3() 39 V a R R 课堂练习 1.钢球由于热膨胀而使半径增加千分之一， 那么它的体积增加约几分之几？ 2.计算地球的表面积 （地球的半径约为 6370km,结果保留 4位有效数字） 3.一个平面截一个球得到直径是 6cm的圆面，球心到这 个平面的距离是 4cm，求该球的表面积和体积。 小结 球的表面积体积的计算公式 球的表面积体积的计算公式的应用 课本第 60页第 6题 补充： 1.棱长为 a的正方体内有一个球与这个正方体的 12条 棱都相切，求这个球的体积 2.已知正三棱柱的底面边长为 1，侧棱长为 2，这样 的三棱柱能否放进一个体积为 16 的小球？为什么？
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