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1、1 2.3 空间几何体的直观图 1 用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的 式 2 斜二测画法的步骤： (1)在已知图形中取互相垂直的 x轴和 y轴 ， 两轴相交于 点 O.画直观图时 ， 把它们画成对应的 x轴和 y轴 ， 两轴交于 点 O， 且使 xOy ， 它们确 定的平面表示水平平面 直观图 45 或 135 (2)已知图形中平行于 x轴或 y轴的线段 ， 在直观图中分 别画成平行于 或 的线段 (3)已知图形中平行于 x轴的线段 ， 在直观图中保持原 长度 ， 平行于 y轴的线段 ， 长度为 (4)画图完成后 ， 擦去作为辅助线的坐标轴就得到了空 间图形的直观图 x轴 y轴 不变
2、原来的一半 本节学习重点：水平放置平面图形的直观图画法 本节学习难点：直观图与三视图的转换 1 将空间几何体画在纸上 ， 又体现立体感 ， 底面常用 斜二测画法画出它的直观图 ， 应特别注意记准斜二测规则 ， “ 平行长不变 ， 垂直长减半 ， ” 要通过训练 ， 熟练地将平 面图形画出直观图 ， 将直观图回复成平面图 2 画实际效果图时 ， 一般用中心投影法 ， 画立体几何 中的图形时一般用平行投影法 3 根据三视图画出几何体的直观图是学习的难点 ， 可 通过常见几何体从易到难 (先从正方体 、 长方体 、 圆柱 、 圆 锥 、 圆台开始 ， 再考察棱柱 、 棱锥 、 棱台及简单组合体 )对
3、 比其三视图 、 直观图 ， 逐步形成空间映像 ， 训练空间想像 能力 例 1 画正五边形的直观图 分析 建立坐标系 xOy后 ， B、 E两点不在坐标轴上或 平行于坐标轴的直线上 ， 故需作 BG x轴于 G， EH x轴于 H. 解析 ( 1) 以正五边形的中心为原点 O ，建立如图 ( 1) 所示的直角坐标系 x O y ，再建立如图 ( 2) 所示的坐标系 x O y ，使 x O y 45 ； ( 2) 在图 ( 1) 中作 BG x 轴于 G ， EH x 轴于 H ，在坐标 系 x O y 中作 O H OH ， O G OG ， O A 1 2 OA ， O F 1 2 OF
4、，过 F 作 C D x 轴使 C D CD 且 F 为 C D 的中点 ( 3) 在平面 x O y 中，过 G 作 G B y 轴， 且 G B 1 2 BG ，过 H 作 H E y 轴，且 H E 1 2 HE ，连结 A B ， B C 、 C D 、 D E 、 E A ， 得五边形 A B C D E 为正五边形 AB CDE 的平面直 观图 . 例 2 用斜二测画法画出六棱锥 P ABCDEF的直观 图 ， 其中底面 ABCDEF是正六边形 ， 点 P在底面的投影是正 六边形的中心 O(尺寸自定 ) 解析 画法： (1)画六棱锥 P ABCDEF的底面 在正六边形 ABCDEF
5、中 ， 取 AD所在直线为 x轴 ， 对 称轴 MN所在直线为 y轴 ， 两轴相交于 O(如图 1所示 )， 画相 应的 x轴和 y轴 、 z轴 ， 三轴交于 O， 使 xOy 45 ， xOz 90 (如图 2所示 ) 在图 2 中，以 O 为中点，在 x 轴上取 A D AD ，在 y 轴上取 M N 1 2 MN ，以点 N 为中点画 B C 平行于 x 轴，并且等于 BC ；再以 M 为中点画 E F 平行于 x 轴，并且等于 EF . 连结 A B ， C D ， D E ， F A 得到正六 边形 ABCDEF 水平放置的直观图 A B C D E F . (2)画六棱锥 P AB
6、CDEF的顶点 ， 在 Oz轴上截取 OP OP. (3)成图 连结 PA， PB， PC， PD， PE， PF， 并 擦去 x轴 ， y轴 ， z轴 ， 便得到六棱锥 P ABCDEF的直观图 P ABCDEF(图 3) 三棱锥 P ABC的底面是边长为 2的正三角形 ， 顶点 P 在底面上的射影为 ABC的中心 O， 三棱锥的高为 2， 画出 其直观图 解析 (1)过正三角形中心 O作 EF BC， 交 AB、 AC 于 E、 F， 连结 AO， 延长交 BC于 D， 则 D为 BC中点 ， 以 O为 原点 ， EF、 AD所在直线分别为 x轴 、 y轴建立直角坐标系 xOy， 画对应的
7、坐标系 xOy， 使 xOy 45 . (2) 在 y 轴正半轴上，截取 O A 1 2 OA ，负半轴上 截取 O D 1 2 OD ，过 D 作直线 l x 轴，在 l 截取 D B DB ， D C DC ，连结 A B ， A C . (3) 过 O 点作与 x 轴垂直的 z 轴，在 z 轴正半轴 上截取 O P OP 2 ，连结 P A ， P B ， P C ， 则 P A B C ，即为此三棱锥的直观图 . 例 3 如图 (1)的平行四边形 ABCD为一个平面 图形的直观图 ， 其中 DAB 45 .请画出它的实际形 状 解析 在图 (1)中建立如图所示的坐标系 xAy， 再建
8、一个直角坐标系 xAy， 如图 (2)所示 在 x轴上截取线段 AB AB， 在 y轴上截取线段 AD， 使 AD 2AD. 图 (1) 图 (2) 过 B作 BC AD， 过 D作 DC AB， 使 BC与 DC交于点 C， 则四边形 ABCD即为 ABCD的实际图形 例 4 利用下图所示的三视图 ， 画出它的直观图 分析 由正视图和俯视图知该几何体为柱体 ， 由侧 视图知 ， 该几何体是一横放的三棱柱 解析 该几何体是一个三棱柱 ， 直观图如下图所示 下图是一个几何体的直观图 ， 画出它的三视图 解析 三视图如图所示 1 若棱锥的底面是正多边形 ， 顶点在底面射影是底面 正多边形的中心 ，
9、 这样的棱锥称为正棱锥 ， 由正棱锥被平 行于底面的平面截得的棱台为正棱台 画正四棱台的直观 图 (尺寸自定 ) 解析 取正四棱台上底面边长 3cm， 下底面边长 5cm、 高 4cm， 首先画两个有相同对称中心 ， 且边相互平行的正 方形 (边长分别为 3cm和 5cm)， 画出对应的直观图 ABCD， EFGH.过 O作 z轴 ， 使 zOx 90 ， 分别过 E， F， G， H作与 z轴平行的直线 ， 并在其上截取对应的 EA1 FB1 GC1 HD1 4cm.连结 A1B1， B1C1， C1D1， A1D1， AA1， BB1， CC1， DD1即得四棱台 ABCD A1B1C1D1的 直观图 ABCD A1B1C1D1. 点评 1 z轴画法应使 zOx 90 2 在 z轴上 (或平行于 z轴的直线上 )的线段在直观图中 保持长度不变 3 几何体中 ， 位于底面 (xOy平面 )以外的点 ， 常常先 向 xOy平面投影 ， 找出在 xOy平面上的对应点 ， 再在直观图 中画出
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