流体动力学微分形式基本方程.ppt

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1、流 体 力 学 顾伯勤 主编 研 究 生 教 材 退 出 中国科学文化出版社 第二篇 流体动力学基本原理及流体工程 流体动力学微分形式基本方程 流体动力学积分形式基本方程 伯努利方程及其应用 量纲分析和相似原理 流动阻力与管道计算 边界层理论 流体绕过物体的流动 气体动力学基础 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 退 出 返 回 第十章 第十一章 第十二章 第五章 流体动力学微分形式基本方程 连续性方程 理想流体运动方程 实际流体运动方程 第一节 第二节 第三节 退 出 返 回 流体运动须遵循物质运动的某些普遍规律，如 质量、动 量和能量守恒定律 。这些普遍规律应用于流体运动就可 得到联系

2、流体速度、密度、压力、温度等参数之间的关系 式，这些关系式称为流体动力学的基本方程。基本方程可 以对微元体建立，得到微分形式的基本方程；也可以对控 制体建立，通过对控制体和控制面的积分而得到流体参数 间的积分关系式。求解微分形式基本方程或求解对微元控 制体建立的积分形式的基本方程，可以给出流场细节，即 空间各点上压力、温度、速度、密度等流体参数的分布。 本章讨论微分形式的基本方程。 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 1页 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第一节 连续性方程 第 2页 zyxxww xx ddd)( 图 5.1 正六面体流体微团 x z

3、y dy dx dz wxdydz o 在研究流体运动时，对于流体量的处理上必须遵循物质不灭原理。因 为流体充满整个流场，连续不断运动，所以在流体力学中物质不灭原理 又称为连续性原理。反映这个原理的数学关系式叫做连续性方程。 一、笛卡儿坐标系统的连续性方程 在流场中取一六面体微团，其边长为 xd ， yd ， zd （图 5.1）。沿 方向在单位时间 x 内流入六面体的流体质量为 zyw x dd沿 x 方向在单位时间内流出六面体的流体 zyx x ww x x ddd 沿 x 方向在单位时间内净流出 质量为 六面体的流体质量为 zyx x w x ddd 第五章 流体动力学微分形式基本方程

4、退 出 返 回 第一节 连续性方程 第 3页 同理可得： 沿 y 方向在单位时间内净流出六面体的流体质量为 zyx y w y ddd 沿 z 方向在单位时间内净流出六面体的流体质量为 zyx z w z ddd 单位时间内净流出整个六面体的流体质量为 zyx z w y w x w zyx ddd 另外，流体密度随时间的变化也影响六面体中流体的质量。设在 t 时刻流体密度为 时刻流体密度为 ， 则在单位时间 内由于密度变化而使六面体中增加的流体质量为 ， tt d tt d zyxt ddd 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第一节 连续性方程 第 4页 根据连续流动原理，

5、净流出六面体的流体质量与六面体中流体的增加量之 和为零，六面体中流体的质量是不变的，即 0 z w y w x w t z yx 式（ 5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到 zwywxwtt zyx d d （ 5.1） 则连续性方程也可写成 0dd1 zwywxwt zyx 写成向量形式 0DD wt （ 5.3） 0)( w t （ 5.3a） 或 （ 5.2） 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第一节 连续性方程 第 5页 对于稳定流动， 0 t ，于是式（ 5.1）变为 0 z w y w x w zyx 即 0 w （ 5.4a） （ 5.4） 对于

6、不可压缩流体， 为常数，则连续性方程为 0 zwywxw zyx （ 5.5） 0 w （ 5.5a） 即 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第一节 连续性方程 第 6页 rrww r r d o 图 5.2 扇形六面体流体微团 z A r B dr D C dz d r 二、圆柱坐标系统的连续性方程 rw 在圆柱坐标系统中，取一扇形六面体流 体微团 ABCD，如图 5.2所示。单位时间内 流入 AB、 BC、 CA面的流体质量分别为 zrwr dd ， zrw dd ， rrw z dd 单位时间内流出 CD、 DA、 BD面的流体质量 分别为 zrrr r ww r r

7、dddd ， zrww ddd ， rrz z ww z z ddd 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第一节 连续性方程 第 7页 单位时间内，微团中净流出的流体质量为 zr z wrw r wrw zr r ddd 由于微团中流体密度增加而使微团中增加的流体质量为 zrrt ddd 根据连续性原理，微团中流体质量的总变化应等于零，所以 01 z ww rr w r w t zrr 此即圆柱坐标系统的连续性方程。 （ 5.6） 对于不可压缩流体， 为常数，连续性方程为 01 zwwrrwrw zrr （ 5.7） 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第二节

8、理想流体运动方程 第 1页 zyxxpp ddd 图 5.3 流体微团在 x方向所受的力 x z y dy dx dz pdydz X o 运动方程描述流体在运动中所受的力与流动参量之间的关系。理想 流体是指无粘性的流体。工程实践中的流体都是具有粘性的，它们并不 是理想的流体，但在很多情况下，流体的粘性力和其他力比起来作用很 小，因而可视为理想流体。 一、理想流体运动方程的建立 建立运动方程的基础是牛顿第二运动定 律。在理想流体流场中取出一微小六面体 微团。微团所受的力有表面力（压力）和 体积力（质量力）。六面体在 轴方向上 所受的表面力和单位质量的体积力如图 5.3 所示。设单位质量的体积力

9、为 X、 Y、 Z， 则在 x x 轴方向根据牛顿第二运动定律 应有 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 2页 t wzyxzyxXzyx x ppzyp x d dddddddddddd 化简得 t w x pX x d d1 y 、 z 轴方向力的平衡关系式，于是有 同理可推导得到 t w x pX x d d1 t w y pY y d d1 （ 5.8） t w z pZ z d d1 第二节 理想流体运动方程 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 3页 tp D D1 wF 式中， kjiF ZYX 称为单位质量的体积力矢量。 （ 5.8a） （

10、 5.8）式就是理想流体的运动方程，它是欧拉于 1755年提出的，故又称 欧拉运动方程。它给出了压力、体积力与惯性力的关系。对于给定的流体 （密度已知，或者已知压力与密度的关系，例如气体方程），在已知体积 力场（即 X、 Y、 Z已知）内，根据此式和连续性方程进行积分，可解出任 意时刻 t ，流场中任意位置（ x， y， z）的 p， wx， wy， wz。但是实际对该 式进行解析计算是有困难的，往往需要给定限制条件。最简单的限制条件 是讨论沿流线的运动和无旋流场。这两种情况都是有现实意义的，后面将 详细讨论。 第二节 理想流体运动方程 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第

11、4页 欧拉方程在圆柱坐标系统中的形式，可以用上述同样的方法得到，在流场 中取微小扇形六面体微团，然后根据牛顿第二运动定律列出微团的力的平 衡方程，从而得到该坐标系统的欧拉运动方程，具体形式如下 r pF r w z www r w r ww t w rrzrrrr 12 r pF r ww z www r w r ww t w r zr 1 （ 5.9） z pF z www r w r ww t w zzzzzrz 1 式中 rF 、 F 、 zF 分别为单位质量的体积力在 r、 、 z方向的分量。 第二节 理想流体运动方程 、 p、 T，除了用欧拉方程和连续性方程外，还要增加状态方程和能量

12、 方程来求解。 求解理想流体运动问题主要依靠欧拉方程和连续性方程。方程是普遍 的，但各个问题的初始条件和边界条件不同，因此对各个具体问题应作 具体分析。 初始条件是指流体运动开始瞬时所对应的条件。在理想流体力学问题 中，所要求的是 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 5页 二、理想流体运动方程的求解 对不可压缩流体的流动，未知量为 p、 xw 、 yw 、 zw 连续性 方程就能求解。对可压缩流体的流动，其未知量有 xw 、 yw、 zw、 xw 、 yw 、 zw 、 、 p、 T，因此，在 时，这些物理量 0tt ),(),( 10 zyxftzyxw x ，故欧拉方程

13、加上 的数值应是给出的，即 ),(),( 20 zyxftzyxw y 第二节 理想流体运动方程 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 6页 ),(),( 30 zyxftzyxw z ),(), 40 zyxftzyp ),(),( 50 zyxftzyx ),(),( 60 zyxftzyxT 其中， f1至 f6是给定的函数。 对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条 件。 边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于 流体不能穿过这种壁面，同时流体与边界壁面间不会形成空隙，则紧贴边 界壁面的那层流体沿壁面法线方向的流体速度分量为

14、零，即 ，而其 切向分量不为零。对移动的固体壁面，该层流体速度的法向分量必须等于 固体边界壁面上相应点的速度的法向分量，即 0nw WnFn ww 又如根据作用力和反作用力相等的定律，流体作用于边界壁面或自由 面上外界介质流体质点的力，等于边界壁面或外界介质作用于该流体上的 力，即 WF FF 第二节 理想流体运动方程 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 7页 例题 5.1 有一稳定流场，其速度分布为 kjiw AzAyAx 2 ， 1s0.1 A 试证明它是不可压缩流动。又假定质量力为重力， z 轴垂直向上， 3k g/m1 0 0 0 ，长度单位为 m，试计算点 M（

15、2， 2， 5）处的压力梯度。 。 解 ：连续性方程和运动方程分别为 0)( wt tp DD1 wF 对不可压缩流动连续性方程变为 0 w 将速度分布代入上式得到 02 AAA 因此，该流动为不可压缩流动。 第二节 理想流体运动方程 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 8页 由于质量力为重力，则运动方程为 tpg D D1 wk tgp D D wk kji gzAyAxA 222 4 将给定的 A， x， y， z代入，得到 3k N/ m8.2922 kji p 第二节 理想流体运动方程 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第三节 实际流体运动方程 第

16、 1页 一、实际流体运动方程的建立 欧拉方程是属于理想流体的运动方程，理想流体是没有粘性的。实际 流体具有粘性，因此作用在流体微团上的力将更加复杂。现仍取流场中 边长为 的微团六面体来分析（图 5.4）。由于流体具有粘性， 因而，作用在每个正方形面上的力，除去法向力外还有切向力（剪切力 ）。而法向力也和理想流体情况不同，它不只是流体的表面力（压力） ，而且还有由于剪切变形引起的附加的法线方向的力。用 表示法向应力 ，用 表示切向应力。则所有作用在微团上沿 x轴方向的表面力的合力为 xd 、 yd 、 zd zxyyzyxxP yxyxyxxxxxxxx dddddd yxzz zxzxzx d

17、dd yzxzyx zxyxxx ddd x轴方向的质量力为 zyxXF x ddd o 图 5. 4 微元体上的应力分布 x z y d y d x d z xx xz xy yx yz yy zx zz zy x x xx xx d x x xy xy d x x xz xz d y y yx yx d y y yz yz d y y yy yy d z z zz zz d z z zy zy d z z zx zx d 退 出 返 回 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 2页 第三节 实际流体运动方程 根据牛顿第二运动定律列出 x轴方向力的平衡式如下 zyxtwFP

18、xxx ddddd 即 t wzyxzyxXzyx zyx xzxyxxx d dddddddddd 同样可得到沿 y和 z轴方向力的平衡关系式，经化简得到 t w zyxX xzxyxxx d d t w xzyY yxyzyyy d d （ 5.10） t w yxzZ z yzxzzz d d 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 3页 第三节 实际流体运动方程 将弹性力学中的应力应变关系式应用到流体力学中，作如下替换：用流 体力学中的变形速率代替弹性力学中的应变；用流体的动力粘度 代替 固体的剪切模量 G；用流体压力的负值（ ）代替弹性力学中的平均法 向应力。当流体流

19、动停止（静止流体）或者作匀速运动时，所有剪切应 力都将消失，法向应力中只剩下压力（ ），而对于存在剪切应力的一 般情况，此种压力仍然存在，并且与坐标方向无关，所以在一般实际流 体的运动方程中仍可认为 ，只有在速度梯度和温度 梯度极高时才有较大偏差。 p p pzzyyxx 31 经过上述替换，可以得到实际流体运动时的应力与变形速率的关系如下 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 4页 第三节 实际流体运动方程 w322 xwp xxx w322 ywp yyy w322 zwp zzz x w y w yx yx y w z w zy zy zwxw xzxz 由式（ 5.1

20、1）的前三式可以看出，粘性流体运动中的法向应力由两部分 组成，即静压力 p和剪切变形引起的附加的法线方向的应力。将式（ 5.11） 代入式（ 5.10）可得 （ 5.11） 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 5页 第三节 实际流体运动方程 w322dd xwxxpXtw xx z w x w zx w y w y xzyx w322dd ywyypYtw yy x w y w xy w z w z yxzy w322dd zwzzpZtw zz ywzwyzwxwx zyxz 式（ 5.12）就是实际流体的运动方程，或称纳维 斯托克斯（ Navier- Stokes）方程

21、。 当流体的粘度不变时，式（ 5.12）可以写成 （ 5.12） 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 6页 第三节 实际流体运动方程 2222223dd zwywxwxxpXtw xxxx w 2 2 2 2 2 2 3d d z w y w x w yy pY t w yyyy w 2222223dd zwywxwzzpZtw zzzz w 或者写成向量形式 wwFw 23DD pt （ 5.13） 对于不可压缩流体，因为 0 w ，则写成 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 7页 第三节 实际流体运动方程 2 2 2 2 2 2 d d z w y

22、w x w x pX t w xxxx 2 2 2 2 2 2 d d z w y w x w y pY t w yyyy 2 2 2 2 2 2 d d z w y w x w z pZ t w zzzz 或者写成向量形式 wFw 2 DD pt （ 5.14） 对于圆柱坐标系统，考虑一扇形六面体微团（以 r， r+dr， ， +d， z， z+dz六个面为边界面），按牛顿第二运动定律取力的平衡，可以得到圆柱 坐标系统的纳维 斯托克斯方程。考虑粘度为常数时，其形式如下（推导 从略） 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 8页 第三节 实际流体运动方程 r wp r r 2

23、3 2 w （ 5.15） rwwrp r 1232 w z wp z z 2 3 2 w rr wrrwrr 1 zwrw rzrz r wzw zz 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 9页 第三节 实际流体运动方程 rwzwwwrwrwwtw rzrrrr 2 （ 5.16） w rrp 311 rrrrr F wrrwzwwrrwrrr 222 2 2 2 2 211 rwwzwwwrwrwwtw rzr w rr p 311 Fwrrwzwwrrwrrr r 222 2 2 2 2 211 zwwwrwrwwtw zzzzrz w zzp 311 zzzz Fz

24、ww rr wr rr 2 2 2 2 2 11 式中 Fr， F， Fz为单位质量的体积力在 r， ， z方向的分量。 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 10页 第三节 实际流体运动方程 对于不可压缩流体， 0 w 。对于稳定流动，有 0tw上述方程显然便可简化。 二、实际流体运动方程的求解 由纳维 斯托克斯方程、连续性方程、状态方程、能量方程（热力学第一 定律）和粘度温度关系式 )(T 七个方程可以联立求解出 xw 、 yw、 zw p、 、 T、 七个未知量。求解必须在一定的初始条件和边界条件下进行， 对于稳定流动，只需给出边界条件。由于粘性流体的粘附效应，固体壁

25、面上的流体质点和对应的固体壁面具有相同的速度，即 、 WF ww 注意到纳维 斯托克斯方程中，惯性项是非线性项，因而求解十分困难。 对于理想流体，存在速度势时，不可压缩理想流体的流动问题简化为求解 拉普拉斯问题，因而可以由许多简单的流动叠加成为复杂的流动。但对于 粘性流体，由于是非线性问题，就不能用叠加的方法求解。 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 11页 第三节 实际流体运动方程 迄今为止，除了一些经典问题以外，一般问题的解析求解仍然是不可能 的。近年来数值计算方法发展很快，借助于现代计算工具，使工程实际 中许多复杂的流体力学问题得以解决，而纳维 斯托克斯方程作为计算

26、基础是十分重要的。 例题 2 求解两块固定无限长二维平行平板间不可压缩流体的稳定层流 问题（图 5.5）。 解 ： x轴取在两平板中间，流动沿 x方向，故 wy=wz=0，对于不可压缩 流体的稳定平面流动，纳维 斯托克斯方程和连续性方程为 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 12页 第三节 实际流体运动方程 2 2 2 21 y w x w x p x ww xxx x y p 10 z p 10 0 xwx 第二、第三式说明压力 p仅是 x的函数，而与 y、 z无关，最后一式说明 wx 与 x无关，这样，第一式成为 2 2 d d d d y w x p x y x o

27、h p2 l p1 图 5.5 两平板内的流动 x o 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 13页 第三节 实际流体运动方程 上式左边为 x的函数，右边是 y的函数，对于不同变量的全微分等式， 仅当等式两边都等于常数时才能成立，故有 212d d 2 1 CyCy x pw x 由边界条件：当 2/hy 时， 0 xw ，得到 01C 、 4dd21 2 2 hxpC 则可得到流速分布 22 4d d 2 1 yh x pw x 可见 wx沿平板间隙高度方向是抛物线分布的，如图 5.5所示。 若板长为 l，入口和出口端压力分别为 p1和 p2，则流速分布公式可写成 2221

28、 42 1 yh l ppw x 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 14页 第三节 实际流体运动方程 流过板宽 b的流量为 l ppbhyyh l ppbywbQ hh x 12d4d2 21 3 2 0 22212 0 0rw r x o R p2 l p1 图 5.6圆管内的层 流流动 z 例题 3 求解长圆管内不可压缩流体的 稳定层流问题。设管长为 l、质量力不 计（图 5.6）。 解 ： 显然该问题中， ， 0 w 。 由柱坐标下不可压缩流体的连续性 方程和纳维 斯托克斯方程得到 0 zwz 0rp 0p 第五章 流体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 1

29、5页 第三节 实际流体运动方程 011 rwrrrzp z 由第一式和流动的对称性可知， zw 由第一式及流动的对称性可知， wz仅是 r的函数。由第二、第三式可 知 p仅是 z的函数。这就是说垂直于管子轴线各端面上速度分布是相同的， 同一端面上压力分布是均匀的。第四式中，第一项为 z的函数，第二项 为 r的函数，故仅当两项均为常数时，该式方能成立。对第四式进行积 分得到 21 2 ln d d 4 1 CrCr z pw z 由边界条件 0 Rrzw ， 0rzw 有界，得到 01C ， 22 dd41 RzpC 把 C1、 C2值代入得 22 d d 4 1 rR z pw z 第五章 流

30、体动力学微分形式基本方程 退 出 返 回 第 16页 第三节 实际流体运动方程 由第一式和流动的对称性可知， zw 因为 12dd p p pzl ，所以得到圆管内不可压缩流体稳定层流的速度分布为 22214 1 rRl ppw z 上式说明，流体沿等直径圆管作稳定层流运动时圆管端面上的速度是按 旋转抛物面分布的。 流量为 l ppRrrrR l pprrwQ RR z 8 d 2 d2 21422 0 21 0 课件说明 课件与南京工业大学顾伯勤教授主编的研究生 教材 流体力学 配套使用。课件中包涵了大 量的动画演示及公式推导演示，是利用多媒体 教学的必备工具。 课件采用 Microsoft PowerPoint制作，操作简便， 结构简单，内容全面。 制作：顾伯勤、李海峰、周剑锋 流体密封与测控技术研究室 退 出