圆锥曲线的综合问题课件

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1、第 八 章 第七节 圆锥曲线的综合问题 ( 理 ) 泰安二中数学 * 重点难点 引领方向 重点： 直线与圆锥曲线位置关系的判定，弦长与距离的 求法 难点： 直线与圆锥曲线相交弦长与中点弦 问题 基础梳理导学 夯实基础 稳固根基 1 直线与圆、椭圆的方程联立后，消去一个未知数得到 关于另一个未知数的一元二次方程，可据判别式 来讨论交 点个数 . 相交 0 直线与圆锥曲线有 交点 相切 0 直线与圆锥曲线有 切点 相离 0 ， 1 k 2 0 ， 即 2 3 3 k 2 3 3 且 k 1 时 ，方程 ( *) 有 两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点 4 3 k 2 0 ， 1 k 2

2、0 ， 即 k 2 3 3 时，方程 ( *) 有两个相同的实 数解， 即直线与双曲线相切 4 3 k 2 0 ， 1 k 2 0 ， 即 k 2 3 3 时，方程 ( *) 无实数 解， 即直线与双曲线没有公共点 综上所述 ，当 2 3 3 k 2 3 3 ，且 k 1 时， 直线 l 与双曲线有两个公共点； 当 k 1 或 k 2 3 3 时， 直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； 当 k 2 3 3 时， 直线 l 与双曲线没有公共点 点评： 直线与双曲线有且只有一个公共点时，应考虑直 线与双曲线相切和直线与双曲线的渐近线平行两种情形 ( 2012 安 徽江南十校联考 ) 已知双曲线的

3、中心在原点，坐标 轴为对称轴，一条渐近线方程 y 4 3 x ，右焦点 F ( 5,0) ，双曲线 的实轴为 A 1 A 2 ， P 为双曲线上一点 ( 不同于 A 1 ， A 2 ) ，直线 A 1 P ， A 2 P 分别与直线 l ： x 9 5 交于 M ， N 两点 ( 1) 求双曲线的方程； ( 2) 求证： FM FN 为定值 解析： ( 1) 依题意可设双曲线方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ， 则 b a 4 3 ， c 5 ， c 2 a 2 b 2 ， a 3 ， b 4. 所求双曲线方程为 x 2 9 y 2 16 1. ( 2) 证明： A 1 ( 3,0)

4、 ， A 2 ( 3,0) ， F ( 5,0) ， 设 P ( x ， y ) ， M ( 9 5 ， y 0 ) ， A 1 P ( x 3 ， y ) ， A 1 M ( 24 5 ， y 0 ) A 1 ， P ， M 三点共线， ( x 3) y 0 24 5 y 0 ， y 0 24 y 5 x 3 ， 即 M ( 9 5 ， 24 y 5 x 3 ) ， 同理得 N ( 9 5 ， 6 y 5 x 3 ) FM ( 16 5 ， 24 y 5 x 3 ) ， FN ( 16 5 ， 6 y 5 x 3 ) ， FM FN 256 25 144 25 y 2 x 2 9 . x 2

5、 9 y 2 16 1 ， y 2 x 2 9 16 9 ， FM FN 256 25 144 25 16 9 256 25 256 25 0 ， 即 FM FN 0( 定值 ). 例 3 ( 201 1 皖南八校联考 ) 如图，椭圆 C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 2 2 ，点 F 1 、 F 2 分别是椭圆的左、右焦点，直线 x 2 是椭圆的准线方程， 直线 l ： y kx m 与椭圆 C 交于不同的 A 、 B 两点 直线与椭圆的位置关系 ( 1) 求椭圆 C 的方程； ( 2) 若在椭圆 C 上存在点 Q ，满足

6、OA OB OQ ( O 为坐 标原点 ) ，求实数 的取值范围 解析： ( 1) 依题意有 c a 2 2 ， a 2 c 2 ， 解得 a 2 ， c 1 ， b 1 ， 所求椭圆 C 的方程为 x 2 2 y 2 1. ( 2) 由 y kx m ， x 2 2 y 2 2 ， 得 (1 2 k 2 ) x 2 4 k mx 2 m 2 2 0 ， 16 k 2 m 2 4( 1 2 k 2 )(2 m 2 2) 8( 1 2 k 2 m 2 ) ， 由 0 ，得 1 2 k 2 m 2 ， 设点 A 、 B 的坐标分别为 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2

7、) ， 则 x 1 x 2 4 km 1 2 k 2 ， x 1 x 2 2 m 2 2 1 2 k 2 . y 1 y 2 k ( x 1 x 2 ) 2 m 2 m 1 2 k 2 . 当 m 0 时，易知点 A 、 B 关于原点对称，则 0 ； 当 m 0 时，易知点 A 、 B 不关于原点对称，则 0 ， 由 OA OB OQ ，得 x Q 1 x 1 x 2 ， y Q 1 y 1 y 2 ， 即 x Q 4 km 1 2 k 2 ， y Q 2 m 1 2 k 2 . 点 Q 在椭圆上， 有 4 km 1 2 k 2 2 2 2 m 1 2 k 2 2 2 ， 化简得 4 m 2

8、(1 2 k 2 ) 2 (1 2 k 2 ) 2 ， 1 2 k 2 0 ， 4 m 2 2 (1 2 k 2 ) ， 由 两式得 2 4 ，则 2 2 且 0. 综上可得实数 的取值范围是 2 b 0) 的左、右焦点， A 是椭圆 C 的顶点， B 是直线 AF 2 与 椭圆 C 的另一个交点， F 1 AF 2 60 . ( 1) 求椭圆 C 的离心率； ( 2) 已知 AF 1 B 的面积为 40 3 ，求 a ， b 的值 分析： ( 1) 利用 F 1 AF 2 60 知， AF 1 F 2 是等边三角形， 可求 e .( 2) 因为 F 1 AF 2 已知， AF 1 已知，则可

9、设出直线 AB 方 程与椭圆方程联立求出 B 点坐标，再求出 | AB |，利用 S 1 2 | AF 1 | AB | sin60 40 3 ，求 a ， b . 解析： ( 1) 由题意可知， AF 1 F 2 为等边三角形， a 2 c ， 所以 e 1 2 . ( 2) a 2 4 c 2 ， b 2 3 c 2 ， 直线 AB 的方程可设为： y 3 ( x c ) 将其代入椭圆方程 3 x 2 4 y 2 12 c 2 ，得 B ( 8 5 c ， 3 3 5 c ) 所以 | AB | 1 3 | 8 5 c 0| 16 5 c . 由 S AF 1 B 1 2 | AF 1 |

10、 | AB | si n F 1 AB 1 2 a 16 5 c 3 2 2 3 5 a 2 40 3 ，解得 a 10 ， b 5 3 . 点评： ( 1) 本题考查椭圆的标准方程和几何性质，直线和 椭圆的位置关系等基础知识，考查数形结合思想、逻辑推理 能力和运算求解能力 ( 2) 第 ( 2) 问也可这样解：设出 | AB | t ， 利用 a ， t ，结合椭圆定义表达 AF 1 B 三边，再利用余弦定理 求得 a 、 t 关系，代入面积公式求 a ， b . 例 4 抛物线 C ： y 2 2 px ( p 0) 与直线 l ： y x m 相交 于 A ， B 两点，线段 AB 的中

11、点横坐标为 5 ，又抛物线 C 的焦 点到直线 l 的距离为 2 ，则 m _. 分析： 由直线 l 与抛物线 C 两交点 A 、 B 中点的横坐标 为 5 ，可得 m 与 p 的一个方程，再由 C 的焦点到直线 l 的距 离为 2 ，可得 m 与 p 的另一个方程，两方程联立可求 m 与 p 的值 求参数的值或取值范围问题 解析： 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， AB 的中点为 M ( x 0 ， y 0 ) 由 y 2 2 px ， y x m ， 消去 y 得， x 2 2( m p ) x m 2 0. 由根与系数的关系得， x 1 x 2

12、2( p m ) ， x 0 p m ， p m 5. 又抛物线 C 的焦点 p 2 ， 0 到直线 l 的距离为 p 2 m 2 2 . 即 | p 2 m | 4 由 、 得， p 2 ， m 3 ， 或 p 14 3 ， m 1 3 . 经检验， 两组解均合题意 答案： 3 或 13 如图所示，设椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 的左右焦点分别为 F 1 ( c, 0) ， F 2 ( c, 0) ，离心率 e 2 2 ， M ， N 是直线 l ： x a 2 c 上的 两个动点，且满足 F 1 M F 2 N 0. ( 1) 若 | F 1 M | | F 2

13、 N | 2 5 ，求 a ， b 的值； ( 2) 证明： 当 | M N |取最小值时， F 1 M F 2 N 与 F 1 F 2 共线 分析： ( 1) e c a 2 2 ， a 2 b 2 c 2 ， 可将椭圆中的基本量 a 、 b 、 c 用一个字母 a 表示，再 由 | F 1 M | | F 2 N | 2 5 及 F 1 M F 2 N 0 列方程组求得 a 、 b . ( 2) 利用 ( 1) 的结论和基本不等式可得出 | MN |取最小值的条 件，在此条件下可找到常数 ，使 F 1 M F 2 N F 1 F 2 ；在 y 1 y 2 3 2 a 2 条件下，不妨设 y

14、 1 0 ，则 y 2 3 a 2 2 y 1 代入 | MN | 2 中更简 明 解析： 由 e 2 2 ，得 b c 2 2 a ，所以焦点 F 1 ( 2 2 a, 0) ， F 2 ( 2 2 a, 0) ，直线 l 的方程为 x 2 a ，设 M ( 2 a ， y 1 ) ， N ( 2 a ， y 2 ) ， 则 F 1 M ( 3 2 2 a ， y 1 ) ， F 2 N ( 2 2 a ， y 2 ) ，由 F 1 M F 2 N 0 得 y 1 y 2 3 2 a 2 0) 相交于 B 、 C 两点当直线 l 的斜率是 1 2 时 ， AC 4 AB . ( 1) 求抛物

15、线 G 的方程； ( 2) 设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b ，求 b 的取 值范围 综合应用 解析： (1) 设 B ( x 1 ， y 1 ) ， C ( x 2 ， y 2 ) ，当直线 l 的斜率是 1 2 时， l 的方程为 y 1 2 ( x 4) ，即 x 2 y 4. 由 x 2 2 py ， x 2 y 4 ， 得 2 y 2 (8 p ) y 8 0 ， y 1 y 2 4 ， y 1 y 2 8 p 2 ， 又 AC 4 AB ， y 2 4 y 1 由 、 、 及 p 0 得： y 1 1 ， y 2 4 ， p 2 ，则抛物线 G 的方程为： x 2 4

16、 y . ( 2) 设 l ： y k ( x 4) ， BC 的中点坐标为 ( x 0 ， y 0 ) ， 由 x 2 4 y ， y k x 4 ， 得 x 2 4 kx 16 k 0 x 0 x C x B 2 2 k ， y 0 k ( x 0 4) 2 k 2 4 k . 线段 BC 的中垂线方程为 y 2 k 2 4 k 1 k ( x 2 k ) ， 线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为： b 2 k 2 4 k 2 2( k 1) 2 ， 对于方程 ，由 16 k 2 64 k 0 得： k 0 或 k 0 ， 解得 10 b 10 . 设 M ( x 1 ， y 1 )

17、， N ( x 2 ， y 2 ) ，则 x 1 x 2 8 2 b 5 ， x 1 x 2 8 b 2 16 5 ， y 1 y 2 ( 2 2 x 1 b )( 2 2 x 2 b ) 1 2 x 1 x 2 2 b 2 ( x 1 x 2 ) b 2 b 2 8 5 . 因为 QM ( x 1 2 ， y 1 ) ， QN ( x 2 2 ， y 2 ) ， 所以 QM QN ( x 1 2 ， y 1 ) ( x 2 2 ， y 2 ) x 1 x 2 2 ( x 1 x 2 ) y 1 y 2 2 9 b 2 16 b 14 5 . 因为 10 b 0 ， m 4 ，即 M ( 1,

18、 4) ， 双曲线左顶点 A ( a ， 0) ， k MA 4 1 a ， 又双曲线的一条渐近线方程为 y 1 a x ， 由题意知 4 1 a 1 a ， a 1 9 . 二、填空题 3 设双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的左、右顶点分别为 A 1 、 A 2 ，若点 P 为双曲线右支上的一点，且直线 PA 1 、 PA 2 的斜率 分别为 1 2 、 2 ，则双曲线的渐近线方程为 _ 答案 y x 解析 由题知 A 1 ( a, 0) ， A 2 ( a, 0) 设点 P ( x 0 ， y 0 ) ，则 y 0 x 0 a 1 2 ， y 0 x 0

19、 a 2 ， y 2 0 x 2 0 a 2 1. 又由于点 P 在双曲线上，所以有： x 2 0 a 2 y 2 0 b 2 1 y 2 0 b 2 x 2 0 a 2 1 x 2 0 a 2 a 2 y 2 0 x 2 0 a 2 b 2 a 2 由 、 可知 b 2 a 2 1 b a 1. 所以双曲线的渐近线方程为 y x . 三、解答题 4 ( 201 1 南京月考 ) 设点 F 0 ， 3 2 ，动圆 P 经过点 F 且和 直线 y 3 2 相切，记动圆的圆心 P 的轨迹为曲线 W . ( 1) 求曲线 W 的方程； ( 2) 过点 F 作互相垂直的直线 l 1 ， l 2 分别交

20、曲线 W 于 A 、 B 和 C 、 D . 求四边形 ACBD 面积的最小值 解析 (1) 过点 P 作 PN 垂直于直线 y 3 2 于点 N ，依题 意得 | PF | | PN |，所以动点 P 的轨迹是以 F (0 ， 3 2 ) 为焦点，直线 y 3 2 为准线的抛物线，即曲线 W 的方程是 x 2 6 y . ( 2) 如图所示，依题意，直线 l 1 ， l 2 的斜率存在且不为 0 ， 设直线 l 1 的方程为 y kx 3 2 ， 由 l 1 l 2 ，得 l 2 的方程为 y 1 k x 3 2 . 将 y kx 3 2 代入 x 2 6 y ，化简得， x 2 6 kx

21、9 0 ， 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 x 1 x 2 6 k ， x 1 x 2 9 ， 所以 | AB | x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 1 k 2 x 1 x 2 2 4 x 1 x 2 6( k 2 1) 同理，可得 | CD | 6( 1 k 2 1) ，所以四边形 ACBD 的面积 S 1 2 | AB | | CD | 18 ( k 2 1 ) ( 1 k 2 1) 18( k 2 1 k 2 2) 72 . 当且仅当 k 2 1 k 2 ，即 k 1 时， S m i n 72 ，故四边形 ACB D 面积的最小 值是 72.