有限元分析中的单元性质特征与误差处理

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1、第六章 有限元分析中的单元性质特征与误差处理 6.1单元节点编号与带宽存储 6.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质 6.3边界条件的处理与支反力计算 6.4单元刚度矩阵的缩聚 6.5为以函数构造与收敛性要求 6.6C0型单元与 C1型单元 6.7单元的拼片试验 6.8有限元分析数值解的精度与性质 6.9单元应力的计算结果的误差与平均处理 6.10控制误差和提高精度的 h方法和 p方法 6.1单元节点编号与带宽存储 计算机进行有限元分析时， 需要存储所有单元和节点信 息，随着所求解问题自由度 的增大，计算规模的增大， 整体刚度矩阵的规模非常巨 大。 由于整体刚度矩阵中显现出 相邻单元之间的关联性，因

2、 此矩阵中的大部分数据都为 零，反映非零数据的一个指 标就是带宽。 由于刚度矩阵是对称的，可以看出，若节点的自由度数目为 m，则 每一个单元在整体刚度矩阵的半带宽为 di=（第 i个单元中节点编号的最大差值 +1） m d=max（ di ） （ i=1， 2 n） 其中 n为整个结构系统的单元数。显然 对于二维问题， m=2 对于三维问题， m=3 88 7877 6766 585655 464544 363433 2322 141211 0 0 00 000 00000 00000 K KK KK KKK KKK KKK KK KKK 88 7877 6766 585655 464544

3、363433 2322 141211 0 0 0 0 00 0 K KK KK KKK KKK KKK KK KKK 84838281 74737271 64636261 54535251 44434241 34333231 24232221 14131211 KKKK KKKK KKKK KKKK KKKK KKKK KKKK KKKK 6.2形状函数矩阵 与刚度矩阵 的性质 以一维杆单元为例，杆单元 的位移场为 12( ) 1 ijee iu i ju j xxu x a a x u u ll N u N u i u j uN N N 形函数矩阵 1、左端发生单位位移，右端固定 2、右端发

4、生单位位移，左端固定 3、发生刚体位移 6.2形状函数矩阵与 刚度矩阵的性质 仍然以一维杆单元为例，它的刚度方程为 1、考虑单元左端发生单位位移，右端固定情况 2、考虑单元右端发生单位位移，左端固定情况 3、考察刚体位移 11 12 1 1 21 22 2 2 k k u p k k u p 性质 1：单元刚度矩阵的对角元素 kii表示要使单元的第 i个节点产生 单位位移，而其它的节点位移为 0时，需要在 i点施加的节点力。 性质 2：单元刚度矩阵的对角元素 kij（ ij）表示要使单元的第 j个节 点产生单位位移，而其它的节点位移为 0时，需要在 i点施加的节点 力。 性质 3：单元刚度矩阵

5、是对称的。这可以由功的互等定理得到。对 于线弹性体，力所做的功跟加载次序无关，这可以利用上面的性 质 1和 2得到。 11 12 11 21 22 21 1 0 k k k k k k 11 12 12 21 22 22 0 1 k k k k k k 第一种加载状态 第二种加载状态 第一种加载状态下的外力在第二种加载状态下移动相应位移做的功为 1 1 2 1 2 10 + 1 =k k k 第二种加载状态下的外力在第一种加载状态下移动相应位移做的功为 1 2 2 2 1 21 + 0 =k k k 根据功的互等定理，可以得到结论： 刚度矩阵 是 对称 的。 性质 4：单元刚度矩阵是半正定的。

6、 性质 5：单元刚度矩阵是奇异的。 性质 6：单元刚度矩阵的任意行或列代表一个平衡力系，当节点位 移全部为线位移时，任意行或列的代数和应该为 0。 同样，由单元刚度矩阵所组装的整体刚度矩阵也有以下性质： 1）对称性 2）奇异性 3）半正定性 4）稀疏性 5）非零元素呈现带状分布 11 22 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 11 0 22 11 . . . . . . 22 1 . . . . . . 2 nn t ij i j ij n n n n n n n n n U q Kq k u u k u k u u k u u

7、k u k u u k u u k u k u u k u u 6.3边界条件的处理与支反力的计算 位移边界条件在大多数情况下有两种类型。 1、零位移边界条件 2、给定具体数值的位移边界条件 根据上述两类边界条件，刚度方程的求解有以下几种方法： 1、直接法 2、置“ 1”法 3、乘大数法 4、罚函数法 直接法 ab b a bb b b K q P K q P aa ab a a ba bb b b K K q P K K q P 0aq aa ab b a ba bb b b K u K q P K u K q P aa ab a a ba bb b b K K q P K K q P aq

8、u -1b b b b b aq K P K u 1、既可以处理零约束，又可以处理非零约束的情况。 2、处理过程直观。 3、待求矩阵的规模变小（维数变小），适合于手工处理。 4、矩阵的节点编号及排序改变，不利于计算机的规范化处理。 置“ 1”法 bb b bK q P1 0 0 0 a b b b b q K q P 0aq 1、只能处理零约束情况。 2、待求矩阵的规模不变，不需重新排列，适合于计算机处理。 3、保持整体刚度矩阵的对称性，利于计算机的规范化处理。 ab b a bb b b K q P K q P aa ab a a ba bb b b K K q P K K q P 0aq

9、直接法 乘大数法 a a a b a a a b a b b b b M K K q M K u K K q P 1、 既可以处理零约束，又可以处理非零约束的情况。 2、待求矩阵的规模不变，不需重新排列。 3、保持整体刚度矩阵的对称性，利于计算机的规范化处理。 ab b a bb b b K q P K q P aa ab a a ba bb b b K K q P K K q P 0aq 直接法 aa a ab b aa ba bb b b M K q K q M K u K u K q P 罚函数法 罚函数法的最大好处是可以直接求出位移边界上的支反力。 支反力的计算： 除了罚函数法能够求出

10、支反力以外，其它的方法都需要求解一定的 方程得到。 6.4单元刚度矩阵的缩聚 采用高次位移函数的单元也常被称为高阶单元。对于高次单元来 说，除了几何端点以外，其余的那些节点可能与其它的单元不发 生关系，当中间的节点与其它单元无关时，我们称作是内部节点。 而其余的节点是外部节点。既然内部节点与其他单元无关，那么 在组成整体刚度之前，就可以把他们消去，也就是把内部节点的 位移用外部节点的位移来表示。 以一维三节点杆单元为例 1 1 2 2 3 3()u x N u N u N u 1 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2 2 2 3 2 2 3 1 3 2 3 3 3 3 k k k u p k

11、 k k u p k k k u p 以一维三节点杆单元为例 1 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2 2 2 3 2 2 3 1 3 2 3 3 3 3 k k k u p k k k u p k k k u p aa ab a a ba bb b b K K q P K K q P aa a ab b a ba a bb b b K q K q P K q K q P 1 1 a a a a b b b b b a a a b b b b b a a K q K K P K q P q K P K q 其中 a代表的是 外部节点 ， b代表的是 内部节点 。 6.5位移函数构造与收敛性要

12、求 单元中的位移模式一般采用设有待定系数的有限多项式作为近似 函数，优先多项式的选取原则应该考虑以下几个方面： 1、待定系数是由节点位移条件确定的，因此它的个数应该与节点 位移 DOF个数相等。 2、在选取多项式时，必须选择常数项和完备的一次项。单元位移 模式中的常数项和一次项可以反映单元的刚体位移合唱应变的特 性。这是因为当划分的单元数趋于无穷时，即单元缩小趋于一点， 此时单元应变趋于常数。 3、选择多项式应该由低到高，尽量选取完全多项式以提高单元的 精度。 因此，在构造一个单元的位移函数时，应该参考由多项式函数构 成的 Pascal三角形和上述原则进行函数项次的选取与构造。 收敛性问题 在

13、有限元分析中，当节点数目或单元插值函数的项数趋于无穷大时， 即单元尺寸趋于零时，最后的解答如果能够无线的逼近准确解， 那么这样的位移函数或形函数是逼近于真实的，这就称为收敛。 为使有限元分析的解答收敛，位移函数必须满足一些收敛准则，这 些准则都经过过严密的理论验证。主要包括以下三个方面。 收敛性准则 定义：当单元尺寸趋于零时，有限元的解趋于真实解。 准则 1：完备性准则（针对单元内部）。如果在势能泛函中所出现 的位移函数的最高阶导数是 m阶，则有限元解答收敛性的条件之一 是选取单元内的位移场函数至少是 m阶完全多项式。 准则 2：协调性准则（针对单元之间）。如果在势能泛函中位移函 数所出现的最

14、高阶导数是 m阶，那么位移函数在单元交界面上必须 具有直至 m-1阶的连续导数，即 Cm-1连续性。 以一般的梁问题为例 21 dd2 ll UW E I z v x p x v x x 从上式可以看出，所出现的物理量是关于位移的最高阶导数为 2，因 此假定形状函数的时候，形函数至少应该包含完整的二次多项式。 由准则 2可知，位移函数为 C1连续，即在单元之间的位移函数至少要 求一阶导数连续。 以一般的平面问题为例 1 d 2 dd p x x y y z z x y x y y z y z z x z x x y z x y zs UW b u b v b w p u p v p w A 从

15、上式可以看出，所出现的物理量是关于位移的最高阶导数为 1，因 此假定形状函数的时候，形函数至少应该包含完整的一次多项式。 由准则 2可知，位移函数为 C0连续，即在单元之间的位移函数要求零 阶导数连续。亦即函数的本身连续，而其一阶导数可以不连续。 协调元与非协调元 当单元的位移函数满足完备性要求时，称单元是完备的（一般都比 较容易满足），当单元的位移函数满足协调性条件时，称单元是 协调的（在单元与单元之间的公共边界上对于高阶连续性要求较 难满足）。 当单元的位移函数即完备又协调时，则有限元分析的解答是收敛的， 即当单元尺寸趋于零时，有限元分析的解答趋于真实解。我们称 这种单元为协调单元。 一般

16、情况下，当泛函中的导数高于一阶时，则要求许可函数在单 元交界面上具有 C1或更高的连续性，这时构造单元的插值函数往 往比较困难。如果在单元之间的交界面上位移或导数不连续，将 在交界面上引起无限大的变形，这时必须产生附加应变能，而我 们建立泛函时，并没有考虑这种情况。因此，基于最小势能原理 得到的有限元分析解答就不可能收敛于正确解。 在某些情况下，可以放松对协调性的要求，只要这种单元能够通过 拼片试验，有限元分析的解答仍然可以收敛于正确的解答。这样 的单元称为非协调性单元。 6.6C0和 C1型单元 C0型单元 在泛函中位移函数的最 高阶导数为 1，在交界面 上具有 0阶的连续导数， 即节点上仅

17、仅要求位移 连续。 杆单元、平面问题单元、 空间问题单元等 6.6C0和 C1型单元 C1型单元 在泛函中位移函数的最高 阶导数为 2，在交界面上具 有 1阶的连续导数，即节点 上除要求位移连续外，还 要求 1阶导数连续。 梁单元、板单元、壳单元 等 6.7单元的拼片试验 由于非协调单元之间的位移不能保 证位移协调，可以通过拼片试验来 考证是否能描述常应变和刚体位移， 若能通过拼片试验，则解得收敛性 就能得到保证。 如图所示的单元状况，其中至少一 个节点被单元所完全包围，若节点 i 完全被单元所包围，节点 i的平衡方 程为 1 0m eei j j ie K u P 对于非协调单元，需要考察它

18、的收敛性，即考察它是否具有常应 变的能力，因此，我们设计这样一个试验（ 拼片试验 ）： 当对单元片中的各个节点赋予对应于常应变状态的位移和载荷值 时，核对对 i点平衡方程的正确性，如果能够满足，也就是单元满 足常应变要求，因此当单元尺寸不断减小时，有限元解能够收敛 于真正解。 以平面问题为例 0 1 2 0 1 2 j j j j j j u a a x a y v b b x b y 由片面问题的平衡方程可知，当单元内的应变或应力都为常数时， 则对应的体积力为零。对应于图中的 i点，它的边界力也为零， 因此 。所以此时，通过拼片试验的前提是，当赋予各节 点以上位移模式的位移时， i点的平衡方

19、程变为 0eiP 1 0m eij j e Ku 即必须在节点 i施加附加约束，该约束力所作的功等于单元交界 面上位移不协调引起的附加应变能。 仍以平面问题为例 0 1 2 0 1 2 j j j j j j u a a x a y v b b x b y 由片面问题的平衡方程可知，当单元内的应变或应力都为常数时， 则对应的体积力为零。对应于图中的 i点，它的边界力也为零， 因此 。所以 i节点以外节点有以上位移模式的位移时，对 于 i点的平衡方程 0eiP 如果求解上式得到的位移值和常应变状态下的位移相一致，则认 为通过拼片试验。否则认为不能通过拼片试验。 1 0m eij j e Ku 6

20、.8有限元数值解的精度与性质 求解精度估计 以平面问题为例，单元的位移场可以展开成以下形式 .i i i uvu u x y xy 如果单元尺寸为 h，则上式中的 x和 y都是 h量级，若单元的位 移函数采用 p阶完全多项式，即它能逼近上述泰勒级数的前 p阶多 项式，那么位移解 u的误差将是 O（ hp+1）量级。 3节点 3角形单元 (p次多项式 )： 量级 位移 应变 应变能 误差 收敛速度 误差 误差 h/1量级 : O（ h2） O（ h2） O（ h） O（ h2） h/2量级 : O（ h2/4） 。 。 。 h/3量级 : O（ h2/9） 。 。 。 h/4量级 : O（ h2

21、/16） 。 。 。 这里讨论的都是仅仅局限于网格的离散误差，即当一个连续的求 解域被离散成有限个子域，由单元的试函数来逼近整体的域的场 函数所引起的误差。另外，实际误差还应该包括计算机的数值运 算误差。 21 2 2 4/4 ii ii Ohuu uu Oh 211 43i i iu u u 精确解与不同网格计算结果之间的关系 有限元分析的下限性质 有限元是把结构无限多的自由度简化为有限多的自由度，结构的 刚度被夸大了，即使是用无限多个自由度来描述，也必然使得原 系统刚度增加，变得更加刚硬，即刚度矩阵的总体数值变大，由 刚度方程知，计算出的位移结果偏小。 由于位移函数的收敛性准则包含完备性和

22、协调性两方面的要求， 而完备性要求比较容易满足，而协调性则较难满足，因此这往往 是研究的重点。 位移解的下限性质是基于协调单元单调收敛的前提得到的，在有 些情况下，使用非协调单元也可以得到工程上的满意解答，有时 甚至更好，这是由于位移不协调引所造成的误差与其它误差相抵 消的缘故。 6.9单元应力计算结果的误差和平均 应力结果的误差性质 对于弹性问题，其三大变量 对于一个具体问题，成了求 2关于的极值问题。它是一 个误差泛函。 t rue t rue t rue u u u 1 d d d2 p TTT tru e ij i tru e i tru estrue U W b u p u A t

23、r u euu 可见，对于求 近似解极值 的问题 从力学上看，是求位移变分引起的总势能为极小值的问题。 从数学上看，是求应变差和应力差在弹性矩阵加权意义下的最小 二乘问题。 因此，应变和应力的近似解的性质，是在加权残值最小二乘意义 上对真实应变和真实应力的逼近。 高斯点上的应力性质 高斯积分点上的应力和应变的 近似解将具有比其它位置高得 多的精度，这可以从图中看出。 公共节点上的应力平均 绕节点直接平均法 绕节点加权平均法，可以按体 积或面积加权平均 二单元平均法 1 1 r ee k l k leiir 1 ee r e e A A 6.10控制误差和提高精度的 h方法和 p方法 h方法：不

24、改变各单元基函数，只通过逐步加密单元使计算结果向 正确解逼近。它往往采用比较简单的单元。一般可以将误差控制 在 510%范围内。 其收敛性比 p方法差，但是由于不用高阶多项式位移模式，数值稳 定性和可靠性都好。 p方法：保持网格固定剖分不变，增加单元上基底函数的阶次，从 而改善计算精度。 实际证明： p方法收敛性好，由于使用高次多项式，会出现数值不 稳定现象，另外，计算机容量和速度的限制，多项式的阶次不能 太高，尤其在振动和稳定性问题求解高阶特征值时，这两个方法 都不能得到令人满意的结果，这是多项式插值本身的局限性造成 的。 r方法：不改变单元类型和数目，只通过移动节点来减小误差，因 而，单元的自由度数目不变。 自适应方法：它利用反馈原理，利用上一部的计算结果来修正有 限元模型，其计算量小，计算精度却显著提高它是一种需要多次 计算的方法，即多进程的方法，可以分别和 h方法、 p方法以及 h-p 方法相结合。 自适应方法由误差指示算子来监控，而收敛程度则由误差估计算 子来表征。它是一种能够自动调节其算法以改进求解过程的数值 方法，它包括以下很多技术： 误差估计 自适应网格改进 非线性问题中载荷增量的自适应选取 瞬态问题中时间步长的自适应调整等