数字信号处理DSP第二章2z反变换

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1、2021/4/11 数字信号处理 二、 z反变换 实质：求 X(z)幂级数展开式 z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法 ( ) ( )x n IZ T X z z反变换 : 从 X(z)中还原出原序列 x(n) ( ) ( ) ( ) n n X z Z T x n x n z 2021/4/11 数字信号处理 1、围线积分法（留数法） 根据复变函数理论，若函数 X(z)在环状区域 内是解析的，则 在此区域内 X(z)可展开成罗朗级数，即 而 其中围线 c是在 X(z)的环状 收敛域内环绕原点的一条 反时针方向的闭合单围线。 , 0 ,x x x xR z R R R

2、 （） () nn xx n X z C z R z R 11 () 2 n n cC X z z d zj Re z Im jz 0 xR xR C 0 , 1 , 2 ,n 2021/4/11 数字信号处理 若 F(z)在 c外 M个极点 zm，且分母多项式 z的 阶次比分子多项式高二阶或二阶以上， 则： 11( ) ( ) ( , ) 2 n xxcx n X z z d z c R Rj 1( ) ( ) nF z X z z ( ) R e ( ) kzz k x n s F z ( ) R e ( ) mzz m x n s F z 利用留数定理求围线积分，令 若 F(z)在围线

3、c上连续，在 c内有 K个极点 zk， 则： 2021/4/11 数字信号处理 留数的计算公式 单阶极点的留数： R e ( ) ( ) ( ) rrz z r z zs F z z z F z 2021/4/11 数字信号处理 2 ( ) 1 / 4 4( 4 ) ( 1 / 4 )zX z zzz例1 ： ， ，求其z 反变换 Re z Im jz 0 C 41/4 2 11( ) ( , ) 2 ( 4 ) ( 1 / 4 ) n xxc zx n z dz c R R j z z 解： 21 1() ( 4 )( 1 / 4 ) ( 4 )( 1 / 4 ) n nzzF z z z

4、z z z 其中： 1 1 () 4 n F z c z 当时 在围线 内只有一阶极点 1 4 ( ) R e ( ) zx n s F z 1 1 4 1() 4 ( 4 ) ( 1 / 4 ) n z zz zz 4 15 n 2021/4/11 数字信号处理 1 1 ( ) ( 1 ) 0 4 n F z c z n z 当时 在围线 内有一阶极点 和- 阶极点 4( ) R e ( ) zx n s F z 1 4 4 4 1 / 4 n z zz zz 24 15 n c z= 4 F (z)而围线 外只有一阶极点 ，且 的分母多项式 阶次高于分子多项式阶次两次以上 244 ( )

5、( 1 ) ( 2 )15 15 nn x n u n u n Re z Im jz 0 C 41/4 2021/4/11 数字信号处理 2 ( ) 4( 4 ) ( 1 / 4 )zX z zzz例2 ： ， ，求其z 反变换 Re z Im jz 0 C 4 1/4 解： 收敛域是圆的外部 l i m ( ) 1 X (z) z= z Xz 又， 即 在 处收敛 ( ) ( ) 0 0 x n x n n 是一个因果序列，即 ， ()xn 是右边序列 1 0 ( ) c ( 4 ) ( 1 / 4 ) 0 ( ) 0 n z n F z zz xn 同样当 时，由 在 外无 极点，且分母阶

6、次比分子阶次高两阶以上，由 围线外极点留数为 可得 2021/4/11 数字信号处理 0n 当时 1 () ( 4 ) ( 1 / 4 ) nz Fz zz 14 4cz 在围线 内有一阶极点 ， Re z Im jz 0 C 4 1/4 4 1 / 4( ) R e ( ) R e ( ) zzx n s F z s F z 11 1 4 4 1 ( 4 ) ( ) 11 4 ( 4 ) ( ) ( 4 ) ( ) 44 nn zz zz zz z z z z 21 ( 4 4 ) 15 nn 21( ) ( 4 4 ) ( ) 15 nnx n u n 思考： n=0,1时， F(z) 在

7、围线 c外也无极点， 为何 ( ) 0 xn 2021/4/11 数字信号处理 2 1 1( ) 1 ( 1 )( 1 ) aX z a a z a z 例3 ： ， ，求z 反变换 2 1 1 11() 2 ( 1 ) ( 1 ) n c ax n z d z j a z a z 解： 22 1 11 1 ( 1 ) () ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) c X( z ) n na a zF z z az az a z a z a 其中： 为 收敛域内闭合围线 1( ) ,X z z a a 而题中未给出收敛域，根据 的极点 有三种可能的收敛域： 1 1 1 ) 2 ) 3 ) za

8、 za a z a 2021/4/11 数字信号处理 Re z Im jz 0 C 1a a 11 ) za 收敛域是圆的外部 li m ( ) 0z Xz 又， ( ) ( ) 0 0 x n x n n 是因果序列，即 ， 0n 当时 1()F z c z a a 在围线 内有一阶极点 ， 1( ) R e ( ) R e ( ) za zax n s F z s F z 1 22 1 11 ( 1 ) ( 1 )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn z a z a a z a zz a z a a z a z a a z a z a nnaa ( ) ( ) ( )nnx

9、 n a a u n 2021/4/11 数字信号处理 Re z Im jz 0 C 1a a 2 ) za 0n 当时 ()F z c在围线 内无极点 ( ) 0 xn 故 0n 当时 ( ) 0F z c n z 在 内有- 阶极点 1,c z a a 在 外有一阶极点 且分母阶次比分子高两阶以上 1( ) R e ( ) R e ( ) za zax n s F z s F z ()n n n na a a a ( ) ( ) ( 1 )nnx n a a u n 2021/4/11 数字信号处理 Re z Im jz 0 C 1a a 0n 当时 ()F z c z a在 内有一阶极点

10、 ( ) R e ( ) nzax n s F z a 0n 当时 ( ) 0F z c z a n z在 内有一阶极点 和- 阶极点 1 ,c z a 在 外有一阶极点 且分母阶次比分子高两阶以上 1( ) R e ( ) nzax n s F z a ( ) ( ) ( 1 ) nnnx n a u n a u n a 13 ) a z a 2021/4/11 数字信号处理 2、部分分式展开法 X(z)是 z的有理分式，可分解成部分分式： 12 ()( ) ( ) ( ) ( ) () K BzX z X z X z X z Az ( ) ( )x n IZ T X z 12 ( ) (

11、) ( )KIZ T X z IZ T X z IZ T X z 对各部分分式求 z反变换： 2021/4/11 数字信号处理 0 1 () () () 1 M i i i N i i i bz Bz Xz Az az 11 0 1 1 () 1 1 M N M r r n kk n k n k kki ACX z B z z z z z () R e 1 , 2 , , k k zz Xz A s k M r z 用留数定理求系数： 2021/4/11 数字信号处理 1 12 5( ) 2 3 16 zX z z zz 例： ， ，求z反 变换 Rez Im jz 03 2 2 3 3 53

12、1 23z z XzA Re s z z z z 1 1 2 2 5 5 5 1 6 6 2 3 z z zXz z z z z z z 解 ： 125 2 3 2 3 Xz AA z z z z z 1 2 2 521 23z z XzA Re s z z z z 2021/4/11 数字信号处理 11 23 Xz z z z 11112 3 1 2 1 3zzXz z z z z 23z 1 1 ( ) 1 nZ T a u n z a az 1 1 ( 1 ) 1 nZT a u n z a az 1 1 12z 2 ( )n un 2z 1 1 13z 3 ( 1 ) n un 3z

13、2 3 1nnx n u n u n 2021/4/11 数字信号处理 3、幂级数展开法（长除法） 把 X(z)展开成幂级数 ( ) ( ) n n X z x n z 1 0 1 2( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2)x z x z x z x z 级数的系数就是序列 x(n) 2021/4/11 数字信号处理 根据收敛域判断 x(n)的性质，在展开成相应 的 z的幂级数 将 X(z) X(z)的 x(n) 展成 z的 分子分母 按 z的 因果序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列 xzR xzR 2021/4/11 数字信号处理 解：由 Roc判定 x(n)是因果序

14、列， 用长除法展成 z 的负幂级数 1 1( ) ( 1 )X z z aaz 例： ， ，求z 反变换 1 2 2 3 3 0 ( ) 1 nn n X z az a z a z az ( ) ( )nx n a u n 1 1 1 1 2 2 22 2 2 3 3 33 11 1 az az az az a z az a z a z az 1 2 2 3 31 a z a z a z 2021/4/11 数字信号处理 1 1( ) ( 1 )X z z aaz 例： ， ，求z 反变换 1 2 2 3 3 1 ( ) nn n X z a z a z a z az - ( ) ( 1 )n

15、x n a u n 解：由 Roc判定 x(n)是左边序列， 用长除法展成 z 的正幂级数 1 1 1 1 2 2 22 11 1 az az az a z a z az 1 2 2 3 3a z a z a z 2021/4/11 数字信号处理 2 ( ) 1 / 4 4( 4 ) ( 1 / 4 )zX z zzz例： ， ，求z 反变换 解： X(z)的 Roc为环状，故 x(n)是双边序列 极点 z=1/4对应右边序列，极点 z=4对应左边序列 先把 X(z)展成部分分式 16 1 () 15 15 ( 4 ) ( ) 41 / 4 1 / 4 X z z z z z z z 2021/4/11 数字信号处理 1 1 6() 15 1 / 44 zzXz zz 2 2 23 3 4 16 16 4 4 4 zz zz z zz z 2314 4z z z 1 1 1 4 11 4 16 1 1 4 1 1 4 6 zz z z z 12111 4 1 6zz 2021/4/11 数字信号处理 2 1 2 31 1 1( ) 1 4 1 5 4 4X z z z z z z 1+ 16 244 ( ) ( ) ( 1 )15 15 nn x n u n u n 2 01 11 4 15 4 n n n n nn zz