数学建模-回归分析例题

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1、10.4 实例分析 10.4.1 人均国民收入与人均消费额的关系分析 现有 1981-1993年全国人均消费额度和人 均国民收入的数据 ,见表 10.4.1,试研究人均国 民收入对人均消费额产生的影响 . 表 10.4.1 年份 人均国 民收入 (元 ) 人均消 费金额 (元 ) 年份 人均国 民收入 (元 ) 人均消 费金额 (元 ) 1981 393.3 249 1988 1068.8 643 1982 419.14 267 1989 1169.2 699 1983 460.86 289 1990 1250.7 713 1984 544.11 329 1991 1429.5 803 198

2、5 668.29 406 1992 1725.9 947 1986 737.73 451 1993 2099.5 1148 1987 859.97 513 10.4.2 银行是否批准抵押贷款申请 ? 有一对夫妇用所拥有的一套面积为 1800 平方尺、每年房屋税为 1500美元且配有游泳 池的住房 ,向杰弗逊山谷银行提出抵押 19万 美元的申请 ,该银行搜集的房屋销售资料如 下 ,试以此判断该银行能否接受这对夫妇的 申请 ? 居住面积 (百平方尺 ) 15 38 23 16 16 13 20 24 19 21 17 房屋税 (百元 ) 1.9 2.4 1.4 1.4 1.5 1.8 2.4 4.

3、0 2.3 2.6 2.1 游泳池 (1 为有 ,0为 无 ) 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 销售价格 (千元 ) 145 228 150 130 160 114 142 265 140 149 135 10.4.3 储蓄与居民收入模型的曲线分析 在社会经济现象中 ,变量与变量之间的关系是错 综复杂的 ,既可以是线性相关关系 ,又可以是非线性 相关关系。究竟如何来确定变量间是什么关系呢 ?最 直观的办法就是绘制变量与变量之间的散点图 ,由图 形进行判断并选择配合适当的预测模型 ,如 :直线模 型、二次曲线模型、双曲线模型、 S型曲线模型等等， 再利用模型作进一步的统计分析。 SP

4、SS 中的曲线配 合过程就实现了这一功能 .下面就居民储蓄与居民收 入模型为例作介绍 ,由 1997年中国统计年鉴可得 中国城镇居民家庭人均生活费收入（ x） 和城镇储蓄 （ y） 两个变量（ 1984年至 1996年）数据如下： 城镇居民家庭人均生活费收入（元）： 685.3 827.9 916.0 1119.4 1260.7 1387.3 1544.3 1826.1 2336.5 3179.2 3892.9 4377.2 城镇储蓄（亿元）： 1057.2 1471.5 2067.6 2659.2 3734.8 5192.6 6790.9 8678.1 11627.3 16702.8 234

5、66.7 30850.2 试对城镇居民家庭人均生活费收入与城镇 储蓄两变量配合最佳曲线模型。 1、你支持当权领导人的执政纲领吗？ 支持（ 1） 不支持不反对（ 2） 不支持（ -1） 2、你未来 5年内打算买私家车吗？ 买（ 1） 不买（ 2） 3、这批产品质量合格吗？ 合格（ 1） 不合格（ 2） 10.4.4 新教学方法效果评价分析 人们经常会碰到这样一些问题： 以上这些问答均以文字表述，若对其进行 赋值（见括号内数字），并作为因变量进行回 归分析，就可得到虚拟因变量模型；常用的虚 拟因变量模型有 Logistic模型、 Probit模型。 Logistic模型方程如下： Ln（ P/1-

6、P） =B。 +BiXi 其中： P表示出现 1的概率， 1- P表示出现 0的 概率， B。 是常数项， Bi是回归系数， Xi是共 变变量（即自变量）。 当因变量只是一具有两种属性分类的变 量时 ,可采用 SPSS中的 Analyze二项逻辑回归 进行参数估计及模型检验。若因变量超过两 类，可以利用多项逻辑回归来进行参数估计 及模型检验。 资料 :Spector & Mazzeo在 1980年发表的 一项关于课程“中级宏观经济学”的新教学方法 PSI（ Personalized system of instruction） 的效果评价研究，数据资料如表 10.4.20所示。 表 10.4.

7、20 T GAP TUCH PSI LG T GAP TUCH PSI LG T GAP TUCH PSI LG 1 2.66 20.00 0 0 12 3.32 23.00 0 0 23 2.89 14.00 1 0 2 2.89 22.00 0 0 13 3.57 23.00 0 0 24 3.51 26.00 1 0 3 3.28 24.00 0 0 14 3.26 25.00 0 1 25 3.54 24.00 1 1 4 2.92 12.00 0 0 15 3.53 26.00 0 0 26 2.83 27.00 1 1 5 4.00 21.00 0 1 16 2.74 19.00

8、0 0 27 3.39 17.00 1 1 6 2.86 17.00 0 0 17 2.75 25.00 0 0 28 2.67 24.00 1 0 7 2.76 17.00 0 0 18 2.83 19.00 0 0 29 3.65 21.00 1 1 8 2.89 21.00 0 0 19 3.12 23.00 1 0 30 4.00 23.00 1 1 9 3.03 25.00 0 0 20 3.16 25.00 1 1 31 3.10 21.00 1 0 10 3.92 29.00 0 1 21 2.06 22.00 1 0 32 2.39 19.00 1 1 11 2.63 20.0

9、0 0 0 22 3.62 28.00 1 1 GAP： 修该门课程前的学分绩点 PSI=1（ 使用方法 PSI） 或 0（不使用方法 PSI） TUCH： 修该门课程前摸底测试成绩 LG： 该门课程考试成绩。其取值为 1（ LG=A） 或 0（ LG=B或 C） 其中： 现分析 GAP、 PSI、 TUCH对 LG的影响。 10.4.5 家庭摄录机需求分析 当因变量具有相反的两种属性分类（如买 与不买，合格与不合格）或者因变量被分成几 组在不同竞争压力下产生不同的反应效果，以 上所有情况有一共同要求就是必须掌握全部观 察数及竞争压力的反应效果数据总数，这时可 用 Analyze中的 Prob

10、it回归过程进行分析。 Probit模型方程如下： -1（ Pi） =B。 +BiXi 其中： -1（ Pi） 是分布密度函数的反函数。 Pi为概率， b。 常数项， bi偏回归系数， xi是 响应变量。 由于家庭小型摄录机未来需求情况可 通过家庭购买或不购买这一具有相反属性 的因变量来体现，家庭居民人均年收入的 增加会刺激居民进一步的消费意愿，故可 利用概率回归分析方法来解决该问题。 资料：对某地区不同收入情况的家庭 作抽样调查，得到 1999年已购买家庭小型 摄录机家庭户数的资料表 10.4.29所示： 10.4.29 组别 人均年收入 （千元） 调查户数 （户） 购买户数 （户） 1 7

11、.81 50 0 2 8.05 50 5 3 8.24 50 15 4 8.43 50 26 5 8.63 50 38 6 8.83 50 45 7 9.13 50 50 10.4.6 化妆品销售额与广告费的关系分析 如果在社会经济中变量与变量之间的关 系呈现曲线关系时 ,就必须配合曲线模型来做 回归分析。例如 ,以下对不同地区的 15家商场 有关化妆品销售额（ y） 及其广告费支出（ x） （ 单位 :万元）的调查资料中，通过做散点图， 发现二者呈现曲线关系 ,再利用曲线配合，发 现指数曲线模型其可决系数最大 ,因而对化妆 品销售额及广告费支出进行非线性回归分析。 表 10.4.34 y x

12、 1 20.00 .20 2 25.00 .30 3 24.00 .20 4 30.00 .40 5 32.00 .35 6 40.00 .48 7 28.00 .30 8 50.00 .58 9 40.00 .43 10 70.00 .60 11 48.00 .55 12 39.00 .42 13 42.00 .40 14 65.00 .58 15 56.00 .51 10.4.7 电话线缆销售量分析 本例将采用加权最小平方法来估计多 元线性回归方程中的参数，因此必须确定 一合适的权数，利用 Weight Estimation 权数估计过程来做。 下表所示，其中： Y=年销售量（百万线 对英

13、尺）， X1=GNP（ 十亿元）， X2=新迁住宅 （千户）， X3=失业率（ %）， X4=半年期最低 利率， X5=话费收益率（ %） 表 10.4.37 电话线缆年销售量资料 time Y X1 X2 X3 X4 X5 1 5873 1051.8 1053.6 3.6 5.8 5.9 2 7852 1078.8 1486.7 3.5 6.7 4.5 3 8189 1075.3 1434.8 5 8.4 4.2 4 7497 1107.5 2035.6 6 6.2 4.2 5 8534 1171.1 2360.8 5.6 5.4 4.9 6 8688 1235 2043.9 4.9 5.9

14、 5 7 7270 1217.8 1331.9 5.6 9.4 4.1 8 5020 1202.3 1160 8.5 9.4 3.4 9 6035 1271 1535 7.7 7.2 4.2 10 7425 1332.7 1961.8 7 6.6 4.5 11 9400 1399.2 2009.3 6 7.6 3.9 12 9350 1431.6 1721.9 6 10.6 4.4 13 6540 1480.7 1298 7.2 14.9 3.9 14 7675 1510.3 1100 7.6 16.6 3.1 15 7419 1492.2 1039 9.2 17.5 0.6 16 7923

15、1535.4 1200 8.8 16 1.5 表 10.4.39 某农产品的供需及相关资料 10.4.8 农产品市场供求模型分析 当解释变量与扰动项相关时，可采用二段最小二乘 法求解参数，见表 10.4.39资料。 D： 农产品需求量 ,Pt： 农产品销售价格 ,S： 农产品的供给量 , Pft： 农产品收 购价格 ,Y： 消费者收入 ,T： 时间 . D S Pt Pft T Y 98.50 98.50 100.30 98.00 1.00 87.40 99.20 99.20 104.30 99.10 2.00 97.60 102.20 102.20 103.40 99.10 3.00 96.

16、70 101.50 101.50 104.50 98.10 4.00 98.20 104.20 104.20 98.00 110.80 5.00 99.80 103.20 103.20 99.50 108.20 6.00 100.50 104.00 104.00 101.10 105.60 7.00 103.20 100.00 100.00 104.80 109.80 8.00 107.80 100.30 100.30 96.40 108.70 9.00 96.60 102.00 102.00 91.20 100.60 10.00 88.90 95.40 95.40 93.10 81.00 1

17、1.00 75.10 92.40 92.40 98.80 68.60 12.00 76.90 94.50 94.50 102.90 70.90 13.00 84.60 98.80 98.80 98.80 81.40 14.00 90.60 105.80 105.80 95.10 102.30 15.00 103.10 100.20 100.20 98.50 105.00 16.00 105.10 100.50 100.50 86.50 110.50 17.00 96.40 99.90 99.90 104.00 92.50 18.00 104.40 105.20 105.20 105.80 89.30 19.00 110.70 106.20 106.20 113.50 93.00 20.00 127.10 （上接）