数学建模初等模型

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1、数学建模 （ Mathematical Modeling) 黑龙江科技学院理学院 工程数学教研室 第二章 初等模型 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 线性代数模型 初等模型 第二章 极限、最值、积分问题的初等模型 经济问题中的初等模型 重点 :各种简单的初等模型 难点 :简单初等模型的建立和求解 生活中的问题 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 建模举例 2.1 生活中的问题 2.1.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 模 型 假 设 通常 三只脚着地 放稳 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形 ; 地面高度连续变化，可视为数学

2、上的连续 曲面 ; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置 利用正方形 (椅脚连线 )的对称性 用 (对角线与 x轴的夹角 )表示椅子位置 四只脚着地 距离是 的函数 四个距离 (四只脚 ) A,C 两脚与地面距离之和 f() B,D 两脚与地面距离之和 g() 两个距离 x B A D C O D C B A 椅脚与地面距离为零 正方形 ABCD 绕 O点旋转 正方形 对称性 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 用数学语言把椅子位置和四只脚着地

3、的关系表示出来 f() , g()是 连续函数 对任意 , f(), g() 至少一个为 0 数学 问题 已知： f() , g()是 连续函数 ; 对任意 ， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在 0，使 f(0) = g(0) = 0. 模型构成 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 模型求解 给出一种简单、粗糙的证明方法 将椅子 旋转 900，对角线 AC和 BD互换。 由 g(0)=0， f(0) 0 ，知 f(/2)=0 , g(/2)0. 令 h()= f()g(), 则 h(0)0和

4、h(/2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数 , 据连续函数的基本性 质 , 必存在 0 , 使 h(0)=0, 即 f(0) = g(0) . 因为 f() g()=0, 所以 f(0) = g(0) = 0. 评注和思考 建模的关键 假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子 和 f(), g()的确定 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 2.1.2 分蛋糕问题 妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的 蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点 对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下 的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给 你。哥哥利用高等数学知识解决了这个问题，

5、你知道他用的是什么办法吗？ 问题归结为如下一道证明题： 已知平面上一条 没有交叉点 的 封闭曲线， P是曲线所围图形上 任一点，求证：一定存在一条过 P的直线，将这图形的面积二等 分。 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 只证明了直线的存在性， 你能找到它么？ P ? P S1 S2 l 若 S1 S2 不妨设 S1 S2 (此时 l与 x轴正向的夹角记为 ) 0 以点 P为旋转中心，将 l按逆时 针方向旋转，面积 S1， S2就 连 续依赖于 角 的变化，记为 21 , SS 21 SSf 令： 而 在 上连续，且 f 00, 0 1 0 2 0 0f S S 0 1 0 2

6、 0 0f S S 由零点定理得证 。 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 2.1.3出租车收费问题 某城市出租汽车收费情况如下：起价 10元 （ 4km以内），行 程不足 15km，大于等于 4km部分，每公里车费 1.6元 ；行程 大于等于 15km部分，每公里车费 2.4元 。计程器每 0.5km记 一次价。 例如，当行驶路程 x（ km）满足 12x12.5时，按 12.5km计价；当 12.5 x13时，按 13km计价； 例如，等候时间 t(min)满足 2.5t5时，按 2.5min计价收费 0.8元； 当 5t0为比例常数 )。 1.建立细菌繁殖的数学模型。 2

7、.假设一种细菌的个数按指数方式增长，下表是收集到的 近似数据。 天数 细菌个数 5 936 10 2190 由于细菌的繁殖时连续变化的， 在很短的时间内数量变化得很小， 繁殖速度可近似看做不变。 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 解 :建立数学模型 将时间间隔 t分成 n等分，在第一段时间 内，细菌繁殖的数 量为 ，在第一段时间末细菌的数量为 ，同样， 第二段时间末细菌的数量为 ；以此类推，最后一段 时间末细菌的数量为 ，经过时间 t后，细菌的总数是 nt，0 n tkA 0 n tkA 1 0 2 0 1 n tkA n n tkA 1 0 kt n n eAntkA 00

8、 1lim kteAy 0 设细菌的总数为 y,则所求的数学模型为： 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 海报设计问题 现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 128平方分米，上下空白个 2分米，两边空白个 1分米，如何 确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？ 8128422442 x xyxs 最小 令此式对 x的导数为 0，解得： x=16,此时 y=8,可使空白面积 最小。 其中 0s 这个问题可用求一元函数最值的方法解决 x 2 1 y 思考 ：若海报改为左右两栏，横 向粘贴，印刷面积为 180平方分米， 要求四周留下空白宽 2分米，留 1分米 宽竖直中缝。

9、如何设计它的尺寸使总 空白面积最小 ? 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中 等水平的工人早上 8： 00开始工作，在 t小时之后，生产出 Q(t)=-t3+9t2+12t 个晶体管收音机。 问：在早上几点钟这个工人的工作效率最高？ 工人上班效率问题 工作效率最高，即生产率最大， 此题中，工人在 t时刻的生产率 为产量 Q关于时间 t的变化率： Q(t) ，则问题转化为求 Q(t) 的最大值 解：工人的生产率为 0186 ttQtR 12183 2 tttQtR 比较 R(0)=12,R(3)=39,R(4)=36,知 t=3时，

10、即上午 11： 00， 工人的工作效率最高。 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌 子进价每听 30美分，外地牌子的进价每听 40美分。店主估计， 如果当地牌子的每听卖 x美分，外地牌子卖 y美分，则每天可 卖出 70-5x+4y听当地牌子的果汁， 80+6x-7y听外地牌子的果 汁。 问： 店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大 收益？ 最大利润问题 想一想高等数学中二 元函数求最值的方法 解： 每天的总收益为二元函数： yxyyxxyxf 768040457030, 0 xf令 ， ，则有驻点 x=53,y=55 判断可

11、知 （ 53， 55） 为最大值点。 0 yf 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 一零售商收到一船共 10000公斤大米，这批大米以常量每月 2000公斤运走，要用 5个月 时间，如果贮存费是每月每公斤 0.01元， 5个月之后这位零售商需支付贮存费多少元？ 商品的贮存费问题 将区间 0t5分为 n个等距的小区间，任取第 j个小区间 【 tj,tj+1】 ，区间长度为 tj+1-tj= t，在这个小区间中， 每公斤贮存费用 =0.01 t 第 j个小区间的贮存费 =0.01 Q(tj) t 总的贮存费 = n j j ttQ 1 01.0由定积分定义： 总贮存费 = 元2 5

12、 02 0 0 01 0 0 0 001.001.0 1 0 5 0 dttdttQ 解 ： 令 Q(t)表示 t个月后贮存大米的公斤数，则 Q(t)=10000-2000t 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 某公路管理处在城市高速公路出口处，记录了几个星期内平 均车连行驶速度，数据统计表明：一个普通工作日的下午 1： 00至 6： 00之间，次口在 t时刻的平均车辆行驶速度为： S(t)=2t3-21t2+60t+40(km/h) 左右，试计算下午 1： 00至 6： 00内的平均车辆行驶速度？ 车辆平均行驶速度问题 解 ： 平均车辆行驶速度为 hkmdttttdtts /

13、5.784060212161161 6 1 236 1 此题是求函数 s(t)在区间 【 1， 6】 内的平均值 一般地，连续函数在区间上 的平均值，等于函数在此区 间上的定积分除以区间长度。 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 设产品产量为 q,产品价格为 p,固定成本 c0，可变成 本为 c1. 2.5 经济问题中的初等模型 （ 1） 总成本函数 ： （ 2） 供给函数 ： （ 3） 需求函数 ： （ 4） 价格函数 ： qccqcc 10 pfsQ pg0Q qpQfp 01 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 qCqRq L qCCm qRRm mmm

14、CRqCqRL （ 5） 收益函数 ： （ 6） 利润函数 ： （ 7） 边际成本函数 ： （ 8） 边际收益函数： （ 9） 边际利润函数： qqp qRR 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 例 1 某品牌收音机每台售价 90元，成本为 60元，厂家为鼓励 销售商大量采购，决定凡是订购量超过 100台以上的，每多 订购一台，售价就降低 1分（例如某商行订购 300台，订购量 比 100台多 200台，于是每台就降价 0.01 200=2元，商行可 按每台 88元的价格购进 300台）。但最低价格为 75元 /台。 （ 1）建立订购量 x与每台的实际售价 p的数学模型。 （

15、2）建立利润 L与订购量 x的数学模型。 （ 3）当一商行订购了 1000台时，厂家可获利润多少？ 据此不难将售价与订购量归纳为如下的数学模型： 1 6 0 075 1 6 0 010001.010090 10090 x xx x p 当 x100时，每台售价 90元；当订 购量超过 1600台时，每台售价 75元； 当订购量在 100到 1600台之间时，每 台售价为 90-(x-100) 0.01 每台利润是实际售价 p与成本 60元之差，所以 L=(p-60)x 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 例 2 一房地产公司有 50套公寓要出租，当租金定为每月 180 元时，公

16、寓会全部租出去，当租金每月增加 10元时，就有一 套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费 20元的整修维 护费。 （ 1）建立总收入 R与租金 x之间的数学模型。 （ 2）当房租定为多少时可获得最大收入？ 解 ： （ 1） 建立数学模型： 10682010 1805020 xxxxR （ 2） 求 R的最大值。 0101201068 xxxR 得 x=350(元 /月 ) 总收入 R等于租出的公寓数 50-(x-180) /10)乘以每套公寓的纯利 润 x-20 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 例 3 某不动产商行能以 5%的年利率借得贷款，然后它又把 此款贷给顾客。若他

17、能贷出的款额与他贷出的利率的平方成 反比（利率太高无人借贷）。 (1)建立年利率 x与利润 p间的数学模型。 (2)当以多大的年利率贷出时，能使商行获得利润最大？ 解 (1) 贷出的款额为 k/x2,k0为常数，商行可获得利润： 205.0 xkxp (2)下面求当 x取何值时， p最大。 0 xp 得 x=0.1,即贷出年利率为 10%时，商行获得利润最大。 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 2.6 线性代数模型 所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下，系统由一状态 逐步转移到另一状态是否可能，如果可以转移的话，应如何 具体实现？ 例 1 人、狗、鸡、米过河问题 这是一个人

18、所共知而又十分简单的智力游戏。某人要带狗、 鸡、米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河， 而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如何过河。 在本问题中，可采取如下方法：一物在此岸时相应分量为 1， 而在彼岸时则取 为 0，例如 （ 1,0,1,0） 表示人和鸡在此岸， 而狗和米则在对岸。 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 （ i） 可取状态 ：根据题意，并非所有状态都是允许的，例如 （ 0,1,1,0）就是一个不可取的状态。本题中可取状态（即系 统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是： （ ii） 可取运算 ：状态转移需经状态运算来实现。在实际问 题中，摆一次

19、渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维 向量（转移向量），用它来反映摆渡情况。例如 （ 1， 1， 0， 0）表示人带狗摆渡过河。根据题意，允许使用的转移向量 只能有（ 1， 0， 0， 0，）、（ 1， 1， 0， 0）、 （ 1， 0， 1， 0）、（ 1， 0， 0， 1）四个。 人在此岸 人在对岸 (1， 1， 1， 1) (0， 0， 0， 0) (1， 1， 1， 0) (0， 0， 0， 1) (1， 1， 0， 1) (0， 0， 1， 0) (1， 0， 1， 1) (0， 1， 0， 0) (1， 0， 1， 0) (0， 1， 0， 1) 总共有十个可取 状态 ， 对一般

20、情况 ， 应找出状态为可取 的充要条件 。 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 规定一个状态向量与转移向量之间的运算。规定状态向量与 转移向量之和为一新的状态向量，其运算为对应分量相加， 且规定 0+0=0， 1+0=0+1=1， 1+1=0。 在具体转移时，只考虑由可取状态到可取状态的转移。问题 化为： 由初始状态（ 1， 1， 1， 1）出发，经奇数次上述运算转化为 （ 0， 0， 0， 0）的转移过程。 我们可以如下进行分析 ： （第一次渡河） ( 不可取) ( 不可取) ( 可取) ( 不可取) ( 0 , 1 , 1 , 1 ) ( 0 , 1 , 1 , 0 ) (

21、 0 , 1 , 0 , 1 ) ( 0 , 0 , 1 , 1 ) ( 1 , 0 , 0 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 , 1 ) ( 1 , 0 , 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 1 , 1 , 1 ) 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 （第二次渡河） ( 1 , 0 , 0 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 , 1 ) ( 1 , 0 , 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 0 , 0 ) ( 0 , 1 , 0 , 1 ) ( 可取) ( 不可取) )回到原先出现过的状态( 循环, ( 不可取) ( 1 , 1 , 0 ,

22、1 ) ( 1 , 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 0 , 0 , 1 ) 以下可继续进行下去，直至转移目的实现。上述分析实际 上采用的是穷举法，对于规模较大的问题是不宜采用的。 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 例 2 夫妻过河问题 这是一个古老的阿拉伯数学问题。有三对夫妻要 过河，船最多可载两人，约束条件是根据阿拉伯 法律，任一女子不得在其丈夫不场的情况下与其 他男子在一起，问此时这三对夫妻能否过河？ 这一问题的状态和运算与 前一问题有所不同，根据 题意，状态应能反映出两 岸的男女人数，过河也同 样要反映出性别 故可如下定义： （

23、i） 可取状态 ： 用 H和 W分别表示此岸的男子和女子 数，状态可用矢量 （ H， W） 表示，其中 0H、 W3。可取状态为（ 0,i）， (i,i)， (3,i)， 0i3。 (i,i)为可取状态，这是因为总可以适当安排而使他 们是 i对夫妻。 （ ii） 可取运算 ： 过河方式可以是一对夫妻、两个男人或两个女人， 当然也可以是一人过河。转移向量可取成 ( 1)im,( 1)in)， 其中 m、 n可取 0、 1、 2，但必须 满足 1m+n2。当 j为奇数时表示过河。 当 j为偶 数时表示由对岸回来，运算规则同普通向量的加 法。 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 问题

24、归结为由状态 (3,3)经 奇数次 可取运算，即由可取状 态到可取状态的转移，转化 为 (0,0)的转移问题。和上题一样， 我们既可以用计算机求解，也可以分析求解，此外，本题还 可用 作图 方法来求解。 在 HW平面坐标中，以 “ ”表示可取状态， 从 A(3,3)经奇数 次转移到 达 O(0,0)。奇数次 转移时向左或下移 动 1-2格而落 在一个可取状态上， 偶数次 转移时向右或上移 动 1-2格而落在 一个可取状态上。为了区分起见 ,用 红 箭线表示 奇 数次转移， 用 蓝 箭线表示第 偶 数 次转移 ,下图给出了一种可实现的方案 , 故 A(3,3) O(0,0) H W 这 三 对夫

25、妻是可以过河的 。假如按 这样的方案过 河 ,共需经过 十一 次摆 渡。 不难看出 ,在上述规则下 ,4对夫妻就无法过 河了 ,读者可以自行证明之 .类似可以讨论船 每次可载三人的情况 ,其结果 是 5对夫妻是 可以过河的 ,而 六 对以上时就 无法过河 了。 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 常染色体遗传模型 下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成 每种基因型的概率，如 表所示。 在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一 个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果 我们所考虑的遗传特征是由两个基 因 A和 a控制的，（ A、 a为表示两类基因

26、的符号）那么就有三种基因对，记为 AA， Aa， aa。 1 0 0 0 aa 0 1 0 Aa 0 0 0 1 AA 后 代 基 因 型 aa aa Aa aa Aa Aa AA aa AA Aa AA AA 父体 母体的基因型 双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究 一个较简单的特例 。 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 例 4.8 农场的植物园中某种植物的基因型 为 AA,Aa 和 aa。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物 相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这 种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？ （ a） 假设 ：令 n=0,1,2

27、, 。 （ i） 设 an,bn和 cn分别表示第 n代植物中，基因型 为 AA,Aa和 aa 的植物占植物总数的百分比 。令 x (n)为第 n代植物的基因型分 布： n n n n c b a x )( 当 n=0时 0 0 0 )0( c b a x 表示植物基因型的 初始分布（即培育 开始时的分布） 例 3 农场的植物园中某种植物的基因型 为 AA,Aa和 aa。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物相 结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后， 这 种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？ 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 （ b） 建模 根据假设 (ii)，

28、先考虑第 n代中的 AA型。由于第 n 1代的 AA 型与 AA型结合。后代全部是 AA型；第 n 1代的 Aa型与 AA 型结合，后代是 AA型的可能性为 1/2，而 第 n 1代的 aa型与 AA型结合，后代不可能 是 AA型。因此当 n=1,2 时 111 02 11 nnnn cbaa 11 2 1 nnn baa即 类似可推出 112 1 nnn cbb cn=0 显然有 （ ii） 第 n代的分布与 第 n 1代的分布之间的关系是通过表确 定的。 1000 cba (2) (3) (4) 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 (1) 将 （ 2）、（ 3）、（ 4）

29、式相加，得 111 nnnnnn cbacba 根据 假设 (I)， 可递推得出： 1000 cbacba nnn 对于 (2)式 .(3)式和 (4)式，我们采用矩阵形式简记为 ,2,1,)1()( nMxx nn 其中 n n n n c b a xM )( , 000 1 2 1 0 0 2 1 1 （ 注：这里 M为转移矩阵的位置） (5) 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 由 （ 5） 式递推，得 )0()2(2)1()( xMxMMxx nnnn (6) （ 6） 式给出第 n代基因型的分布与初始分布的关系。 为了计算出 Mn，我们将 M对角化，即求出可逆矩 阵

30、P和对角 库 D，使 M=PDP-1 因而有 Mn=PDnP-1, n=1,2, 其中 n n n nD 3 2 1 3 2 1 00 0 这里 ， ， 是矩 阵 M的三个特征值。对于 (5)式中 的 M，易求得它的特征值和特征向量： =1， =1/2， =0 1 2 3 1 2 3 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 因此 1 2 1 0 1 1 0 0 1 , 000 0 2 10 001 321 eeeD 所以 100 210 111 321 eeeP 通过计算， P-1=P，因此有 )0(1)( xPPDx nn 0 0 0 100 210 111 000 0 2 1

31、0 001 100 210 11 c b an 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 即 0 0 01 1 )( 000 2 1 2 1 0 2 1 1 2 1 11 c b a c b a x nn nn n n n n 0 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 0 0 1 0000 cb cbcba nn nn 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 所以有 0 2 1 2 1 2 1 2 1 1 0 1 0 0 1 0 n nn n nn n c cbb cba 当 n 时， 0 2 1 n ，所以从（ 7）式得到 0,0,1 nnn cba 即在极限的情况下

32、，培育的植物都 是 AA型。 若在上述问题中，不选用基 因 AA型的植物与每一植物结合， 而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基 因型的概率如 表所示。 1 1/4 0 aa 0 1/2 0 Aa 0 1/4 1 AA 后 代 基 因 型 aa aa Aa Aa AAAA 父体 母体的基因型 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 （ 7） 并且 )0()( xMx nn ，其中 1 4 1 0 0 2 1 0 0 4 1 1 MM的特征值为 2 1,1,1 321 通过计算，可以解出与 、 相对应的两个线性无关的特 征向量 e1和 e2，及与相对应的特征内 量 e3：

33、 1 2 1 2 1 , 1 0 0 , 1 0 1 321 eee 因此 0 2 1 0 111 0 2 1 1 , 111 200 101 1PP 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 )0(1)( xPPDx nn 0 0 0 0 2 1 0 111 0 2 1 1 2 1 00 010 001 111 200 101 c b a n 解得： 0 1 0 0 0 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 bcc bb baa n n n n n n 当 n 时， 021 n ，所以 0000 2 1,0, 2 1 bccbbaa nnn 因此 ， 如果用基因 型相同的

34、植物培育 后代 ， 在极限情况 下 ， 后代仅具有基 因 AA和 aa。 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 2.7 建模举例 （人员疏散问题） 考虑学校的一座教学楼，其中一楼有一排四间相同的教 室，学生们可以沿教室外的走廊一直走到尽头的出口。试建 立数学模型来分析人员疏散所用的时间。 想一想疏散撤离所用的时间依赖于 哪些因素？ D L3 L4 L2 L1 n4+1 n1+1 n2+1 n3+1 因此我们 假设 (1) 疏散时人们排成单行有序撤离； (2)撤离人员间距均匀且行进速度保持 不变； (3)忽略队列中人的身体厚度； (4)队列的密集程度与队列行进的速度 相互独立，互不

35、影响。 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 建立模型 根据假设，疏散撤离的队伍中人与人之间的距离是常数， 记为 d(米 )；队列行进的速度也是常数，记为 v(米 /秒 )。设第 i个 教室中的人数为 ni+1,第 i个教室的门口到前一个教室的门口的距 离为 Li(米 )，教室门的宽度为 D(米 )。疏散时教室内第一个人到 达教室门口所用的时间忽略不计。 考虑第一个教室人员的疏散：这个教室撤空的时间为 n1d/v(秒 ) 秒vdnvLT 111 是指最后一个人离开 教室，到达教室门口 所用的时间 而最后一个人到达出口所用的时间是所用的时间是 类似地，第二个教室撤空的时间为 n2d

36、/v(秒 )，而最后一个人到达 出口所用的时间是所用的时间是： 秒vdnv DLLT 2212 如果两支疏散队伍重叠，即第二个 教室的第一个撤离者到达第一个教室 门口时，第一个教室的人还没有疏散 完毕，就会造成混乱！ 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院 两个教室的人员完全撤出教学 （ 单队 ） 楼所用的时间的 数 学模型 为： dLdn v dnnL dLdn v dnDLL T 21 211 21 221 12 1 1 1 类似可得出四个教室的人员完全撤出教学 （ 单队 ） 楼所用 的时间的数学模型 （ 略 ） 模型分析及改进： 疏散时间主要由两部分构成： v nd v LT

37、 队伍的排尾走一个队伍的 长度达到排头的位置所用 的时间 。 队伍的排头从教室门口 走出教学楼的时间 如果队列十分紧密使得 d=0, 那么疏散时间就与教室内的 人数无关了 ！ 理学院 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 设人的身体厚度是相同的 ， 记为 W,则模型可修改为： v wdn v LT 由此得到，队伍应以最密 集的队形，以人所可能的最 大速度进行疏散。 实际是这样吗？ 队列最大的行进速度是队列密集程度的函数 ， 记为 v(d)， 则模型可修正为： dv wdn dv L T 理学院 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 本章小结 本章介绍了一些与实际问题相关的简单的 数学模型、旨在使大家对数学建模问题有 一个初步的了解，通过建模举例对数学建 模的基本思想和步骤有一个初步的了解。 黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 理学院