第9讲函数概念与平面直角坐标系

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1、第三单元函数及其图象第9讲函数概念与平面直角坐标系考纲要求1会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标2掌握坐标平面内点的坐标特征3了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析4能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值.命题趋势函数作为基础知识，在各地的中考试题中主要以填空题、选择题的形式来考查函数的基本概念、函数自变量的取值范围、函数之间的变化规律及其图象.一、知识梳理一、平面直角坐标系与点的坐标特征1平面直角坐标系如图，在平面内，两条互相垂直的数轴的交点O称为原点，水平的数轴叫_，竖直的数轴叫_，整个坐标平面被x轴、y轴分割成

2、四个象限2各象限内点的坐标特征点P(x，y)在第一象限x0，y0；点P(x，y)在第二象限x0，y0；点P(x，y)在第三象限x0，y0；点P(x，y)在第四象限x0，y0.3坐标轴上的点的坐标特征点P(x，y)在x轴上y0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上x0，y为任意实数；点P(x，y)在坐标原点x0，y0.二、特殊点的坐标特征1对称点的坐标特征点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标为_；关于y轴的对称点P2的坐标为_；关于原点的对称点P3的坐标为_2与坐标轴平行的直线上点的坐标特征平行于x轴：横坐标_，纵坐标_；平行于y轴：横坐标_，纵坐标_3各象限角平分线上点的坐标特征第一、三象

3、限角平分线上的点横坐标与纵坐标_，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标_4点的平移将点P(x，y)向右(或向左)平移a个单位，可以得到对应点(xa，y)或(xa，y)；将点P(x，y)向上(或向下)平移b个单位，可以得到对应点(x，yb)或(x，yb)三、距离与点的坐标的关系1点与原点、点与坐标轴的距离点P(x，y)到x轴和y轴的距离分别是|y|和|x|，点P(x，y)到坐标原点的距离为.2坐标轴上两点间的距离(1)在x轴上两点P1(x1,0)，P2(x2,0)间的距离|P1P2|_.(2)在y轴上两点Q1(0，y1)，Q2(0，y2)间的距离|Q1Q2|_.(3)在x轴上的点P1(x1,

4、0)与y轴上的点Q1(0，y1)之间的距离|P1Q1|.四、函数有关的概念及图象1函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有_确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量2常量和变量在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量3函数的表示方法函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)_；(3)图象法4函数图象的画法(1)_：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2)_：以x的值为横坐标，对应y的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3)_：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点五、函数自变量取值范围

5、的确定确定自变量取值范围的方法：1自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母_的实数2当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为_3当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数4在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分二、自主测试1在平面直角坐标系中，点M(2,3)在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限2点M(2,1)关于x轴对称的点的坐标是()A(2，1) B(2,1)C(2，1) D(1，2)3小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间

6、的函数关系如图所示下列说法错误的是()A他离家8 km共用了30 minB他等公交车时间为6 minC他步行的速度是100 m/minD公交车的速度是350 m/min4在平面直角坐标系中，点P(2，x21)所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限5函数y中自变量x的取值范围是_考点探索考点一、平面直角坐标系内点的坐标特征【例1】若点P(a，a2)在第四象限，则a的取值范围是()A2a0 B0a2Ca2 Da0方法总结 解这类题的关键是明确各象限内点的坐标特征，总结规律，再结合规律列出不等式(组)求解触类旁通1 在平面直角坐标系中，如果mn0，那么点(m，|n|)一定在()

7、A第一象限或第二象限 B第一象限或第三象限C第二象限或第四象限 D第三象限或第四象限考点二、图形的变换与坐标【例2】在如图所示的方格纸中，把每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”根据图形，解决下面的问题：(1)请描述图中的格点ABC是由格点ABC通过哪些变换方式得到的？(2)若以直线a，b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点C的坐标为(3,1)，请写出格点DEF各顶点的坐标，并求出DEF的面积解：(1)先将ABC绕点C按顺时针方向旋转90，再向右平移5个单位得到ABC(或先平移再旋转也可)(2)D(0，2)，E(4，4)，F(2，3)SDEF624221614.方法

8、总结 在平面直角坐标系中，图形的平移、对称、旋转等变换会引起坐标的变化，同样，坐标的变化也会引起图形的变换，两者紧密结合充分体现了数形结合的思想触类旁通2 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A，C的坐标分别为(4,5)，(1,3)(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；(2)请作出ABC关于y轴对称的ABC；(3)写出点B的坐标考点三、函数图象的应用【例3】如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O点的直线距离为s，则s关于t的函数图象大致为()解析：本题是典型的数形结

9、合问题，通过对图形的观察，可以看出s与t的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O到点A时，s与t成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A到点B时，s不变；(3)当蚂蚁从点B回到点O时，s与t成一次函数关系，且回到点O时，s为零答案：C方法总结 利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，要看清横坐标和纵坐标表示的是哪两个变量，探求变量和函数之间的变化趋势，仔细观察图象(直线或曲线)的“走势”特点，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题触类旁通3 在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间(时)变化的图象(全程)如图所示有下列说法：起跑后

10、1小时内，甲在乙的前面；第1小时两人都跑了10千米；甲比乙先到达终点；两人都跑了20千米其中正确的说法有()A1个 B2个 C3个 D4个考点四、函数自变量取值范围的确定【例4】函数y中自变量x的取值范围是()Ax3 Bx3且x1Cx1 Dx3且x1解析：由题意得x30，且x10，所以x3且x1.答案：B方法总结 自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义，主要体现在以下几种：含自变量的解析式是整式：自变量的取值范围是全体实数；含自变量的解析式是分式：自变量的取值范围是使得分母不为0的实数；含自变量的解析式是二次根式：自变量的取值范围是使被开方式为非负的实数；含自变量的解析式既是分式又是二次根式

11、时：自变量的取值范围是它们的公共解，一般列不等式组求解；当函数解析式表示实际问题时：自变量的取值必须使实际问题有意义触类旁通4 函数y中自变量x的取值范围是()Ax3 Bx3 Cx3 Dx3经典考题1(2012四川成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(3,5)关于y轴的对称点的坐标为()A(3，5) B(3,5)C(3，5) D(5，3)2(2012重庆)2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行，小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为s，

12、下面能反映s与t的函数关系的大致图象是()3(2012湖南湘潭)下列函数中，自变量x的取值范围是x3的是()Ay ByCyx3 Dy4(2012浙江绍兴)小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家300米的报亭，母亲随即按原速度返回家父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系的图象分别是_(只需填写序号)5(2012山东菏泽)如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA10，OC8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标预测试题1在平面

13、直角坐标系中，点A(2,3)与点B关于x轴对称，则点B的坐标为()A(3,2) B(2，3) C(2,3) D(2，3)2下列函数中，自变量x的取值范围为x1的是()Ay By1Cy Dy3以平行四边形ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B，D两点的坐标分别为(1,3)，(4,0)，把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是()A(3,3) B(5,3) C(3,5) D(5,5)4若点P(a，ab)在第四象限，则点Q(b，a)在()A第四象限 B第三象限C第二象限 D第一象限5在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所标示的两个标志点A(2,3)，B

14、(4,1)，A，B两点到“宝藏”点的距离都是，则“宝藏”点的坐标是()A(1,0) B(5,4)C(1,0)或(5,4) D(0,1)或(4,5)6小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢走至离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是()7如图所示，正方形ABCD的边长为10，点E在CB的延长线上，EB10，点P在边CD上运动(C，D两点除外)，EP与AB相交于点F，若CPx，四边形FBCP的面积为y，则y关于x的函数关系式是_8小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2 400 m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96 m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2 min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距离为s1 m，小明爸爸与家之间的距离为s2 m，图中折线OABD，线段EF分别是表示s1，s2与t之间函数关系的图象(1)求s2与t之间的函数关系式；(2)小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？7