碳债券的估值及敏感性分析

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1、碳债券的估值及敏感性分析冯建芬;陈静;杜冬云;刘巧梅【摘 要】论文以 2014年 5 月 13 日中广核电附加碳收益中期票据的成功发行为背 景,在假设核证碳减排量(CER)服从几何分形过程的情况下，结合分形过程的蒙特卡 洛模拟,研究了中期碳债券的设计和估值问题,并分析了不同的期权条款设计带来的 风险差异.研究认为相对较复杂的强路径依赖型亚式浮息碳债券,在碳现货价格波动 性较大的情况下,简单的欧式浮息碳债券是更好的设计选择.期刊名称】科学决策年(卷),期】2015(000)010【总页数】16页(P17-32) 【关键词】 碳债券;分形布朗运动;亚式价差期权;敏感度分析【作 者】 冯建芬;陈静;

2、杜冬云;刘巧梅【作者单位】 对外经济贸易大学金融学院;对外经济贸易大学金融学院;对外经济贸易大学金融学院;中国农业银行股份有限公司鄄城支行【正文语种】 中 文【中图分类】 F830.912014年5月13日，以中广核风电有限公司为发行主体，浦发银行为主承销商的10 亿元中广核风电有限公司附加碳收益中期票据在银行间市场成功发行，利率为5.65%。这是国内首单与节能减排相关的绿色债券，与碳排放权挂钩，采用固定利率加浮动利率双定价确定交易收益。此次碳债券的固定发行利率为 5.65%，较同 期限AAA信用债估值低46BP，充分体现了投资者对附加碳收益的信心。这次碳 债券的发行创新并非一帆风顺，而是历时

3、两年，两次注册，直到2014年才成功发 行，该碳债券作为碳金融与债券相结合的创新性金融产品，填补了国内与碳市场相 关的直接融资产品的空白，具有里程碑的意义。碳债券的正确估值和合理设计是其 能够广泛推广的一个关键问题，相比其他金融产品，碳排放权价格具有有效期确定， 政策性强的特点，因此波动性更强，这决定了碳排放权价格与其他金融产品建模不 同，如何为此类产品建模并进一步为其结构化产品定价是本文要研究的核心问题。 国内已有文献针对碳金融产品的创新都给予了肯定的观点，但缺乏对碳金融产品的 量化分析和估值模型构建。如李正升,王俊程(2014)1对政府如何走出跨区域治理 污染的困境通过理论建模给出了建议，

4、曹静(2009)2、丁丁和冯静茹(2013)3、 边永民和刘琳(2013)4研究了碳排放的交易机制问题，吴玉宇(2009)5、孙力军 (2010)6等针对我国碳金融产品的创新机制和对策进行了研究，指出了我国碳金 融产品创新的必要性和重要性，吴劲军(2011)7特别对我国碳理财产品发展给出 了建议，而韩韬(2010)8探讨了在我国引入碳期权机制的问题。王树茂 (2009)9， 温天(2013)10以及谭建生，麦勇冠(2013)11均强调了碳债券的作用：王树茂 (2009)9认为鉴于节能环保技术的实施期限，企业可通过发行碳债券进行融资； 而由温天10执笔的长江商学院关于共同货币制度的研究报告则建议

5、将以碳排放权 为标的的碳券作为辅助黄金的“共同货币”，建立黄金+碳金融的共同货币制。相对而言，在碳价格的建模方面，国外学者研究相对深入。Daskalakis和Markellos(2008)13用 EUA(European emission allowances)期货数据来检测 碳市场的有效性，Benz和Klar(2008)14, Chevallier(2011)15也通过计量模型 给出了碳交易市场非有效的结论。Seifert et al.(2008)16将碳减排的融资成本等 同于未来碳价的衍生产品价值。Barrieu和Fehr(2011)17将碳排放的速度过程改 为含跳的扩散过程。Benz和T

6、ruck(2009)18结合区制转移模型和AR( 1)-GARCH(1,1)模型对EU ETS碳价的收益率进行建模。由于我国碳现货价格的不统 一，国内学者同样使用国外碳市场数据进行了分析，魏一鸣等(2010)12选取了 ECX在不同时段不同碳期货合约的数据来研究碳价格的波动性特征，其通过混沌 理论分析指出碳期货价格波动具有分形市场特征。分析已有的实证结果可以发现，碳市场的非有效性是学者实证达成的一项共识，而 分形市场体现了市场的非有效性，这一点在魏一鸣等 (2010)中也给予了实证支持 本文将在上述已有研究结果的基础上，在假设碳现货价格服从几何分形过程的情况 下，设计和估值两种浮息碳债券-欧式

7、浮息碳债券和亚式浮息碳债券，为企业发行 浮息碳债券提供详细的设计思路和产品估值方法，并通过敏感度分析比较了不同浮 息条款带来的风险差异，为企业和投资者了解产品风险提供参考。论文具体内容安 排如下，第二部分结合碳排放权价格波动特征和我国收益率水平对碳债券具体条款 进行设计；第三部分介绍碳价格的建模方法分形布朗运动模型及其参数估计方法； 第四部分利用BlueNext市场的碳价格数据进行模型参数估计，碳债券的估值及对 设计的碳债券进行敏感性分析；第五部分为论文小结。2.1 产品损益结构 碳价格具有波动性强的特点，在2007年6月至2011年12月间，平均波动率达 到35%*这里使用的是2007年6月

8、至2011年12月BlueNext交易所CER现货 的日价格数据进行的计算。所以发行人一般都会承诺投资者最低收益，即产品是保 本型理财产品，同时发行人为了控制融资成本，会设定收益上限，故本文将设计两 款5年期价差型保本碳债券，这与第一支国内交易的碳债券理财产品结构相符， 且5年也是利率期限结构的一个关键期限，设碳债券每年年末付息：一款是嵌入 将欧式牛市价差期权的欧式浮息碳债券，相当于1个固息债券与5个欧式牛市差 价期权组合的结构化产品；另一款是嵌入亚式牛市价差期权的亚式浮息碳债券，使 该产品关于碳价格具有强路径依赖性质，可以在一定程度上降低碳价波动带来的影 响，相当于1 个固息债券与 5 个亚

9、式牛市价差期权组合的结构化产品。两种产品 在每期的利息支付损益图是类似的，如图 1-图 3 所示。 值得说明的是，对于碳减排项目来说，通常需要较长的建设期，故碳债券也多为中 长期债券，在附息次数为 n 的情况下，欧式浮息债券包含了 2n 个不同到期期限的 欧式期权产品。亚式浮息债券同样如此，且 2n 个不同到期期限的亚式浮息债券需 要基于远期价值进行估计。相比于单纯的一次附息的零息浮息债券来说，估值复杂 度较高。根据碳债券的收益结构，可以写出其到期损益公式，其中，固定收益部分损益为： 浮动收益部分，每期欧式牛市价差期权损益为： 每期的亚式牛市价差期权损益为：这里的平均值是对每一付息年份内每个月

10、月末碳现货价格求算数平均值。2.2 碳债券具体条款设计 本文仍是基于国内第一支上市交易的碳债券“中广核风电有限公司附加碳收益中期 票据”进行的设计改进，在不影响估值分析准确性的程度下，通过息票利率的确定 达到债券的固定收益特征，对于挂钩碳现货价格方面，假定买入一组欧式或亚式的 以碳排放权价格为标的的牛市价差期权。发行债券的实体选择方面，考虑到电力企业是碳排放的大户，因此本文以中国五大 电力集团中的中国大唐集团作为发债实体，进行其碳债券价值的仿真估计，将估值 日即碳债券的发行日设定为2011 年1月4日。(1) 附息债券条款设计票面价值B：参考国内债券市场上面值的设置标准，将碳债券的面值设为10

11、0,即 B=100。到期期限T:本文将附息债券设置为中期债券，期限为5年，即T=5;每年年末 付息一次。收益率：本文将2011 年1月4日的一年期存款利率3.25%作为最低收益率，即 将中期债券设为每年年末支付票面价值的 3.25%作为利息，第五年年末支付本息 和 103.25%。执行条款：本款债券不可提前赎回、回售，也不能到期转换成股权。(2) 价差期权条款设计执行价格：对于买入的低执行价格的看涨期权，参照我国理财产品嵌入期权的执行 价格设定，采用平价的方式，即以产品发行日的标的资产价格作为执行价格，设定X1=X0,如此设定也更能体现期权的波动性价值。同时因为我国现有理财产品的 最大收益设定

12、不超过8%，因此设X2 = 1.08S0。标的资产：本文采用BlueNext交易所的CER现货作为标的资产，一方面是因为 BlueNext交易所作为全球最大的CER交易市场与我国联系最为紧密，另一方面是 因为我国CDM项目产生的碳排放权就是CER，因此CER产品价格对我国研究 CDM项目的碳减排收益具有直接的参考价值。但需要注意的是CER的现货价格 以欧元标价，而本款债券产品在我国发行，以人民币计价。(3) 碳债券基本条款小结 所设计碳债券的基本条款总结如表1所示。在期权部分，对于第一个改进，即欧式浮息债券估值，正如上文所说，期权部分是 一年期、两年期、三年期、四年期、五年期五个牛市价差期权的

13、加和。对于第二个 改进，即亚式浮息债券，期权部分涉及到远期和路径依赖的特性，故需要运用数值 模拟方法对远期期权进行估值。为表示模型方便，我们首先在表2中给出本部分内容需要用到的符号。3.1 碳价格建模 已有学者对于欧美碳交易市场进行实证检验，发现碳价格市场具有明显的分形特征， 我们采用两个碳排放失效年份间即2008年之后2013年之前的BlueNext交易所 的CER现货和CER期货的日结算数据作为研究对象，利用Hurst(1951)19提出 的重标极差法(R/S分析)检验了碳市场的分形特征，同时估计了分形周期，实证发 现CER现货市场和期货市场均存在明显的分形特征，H0.5，约为0.58，说

14、明碳 市场存在长记忆性，这种记忆周期在现货市场大约在200 天左右，在期货市场大 约在130 天左右，因此采用分形过程对碳价进行建模比较合适。这里我们假设碳 现货价格服从几何分形布朗运动，拟风险中性下其价格过程为：由Wick-Ito-Skorohod积分下的Ito公式可以得到：故由(6)碳现货价格的波动率可以采用历史碳价格数据估计，估计公式为：其中3.2 欧式牛市价差期权的估值过程 对于欧式牛市价差期权，只需要比较到期日碳价与执行价的关系就可进行估值。在 碳现货价格服从几何分形布朗运动的情况下，可以采用分形“B-S公式”计算欧式 牛市价差期权价值，参考Necula(2002)20给出的任意时刻

15、t 】0,T的欧式看涨 期权的分形B-S公式：在假设欧元兑人民币汇率与碳现货价格独立的情况，可以通过(10)分别计算出碳债 券中两个内嵌期权的价值。3.3 亚式牛市价差期权估值过程对于亚式浮息债券，每一期浮息部分的支付不是与利息支付日碳价相关，而是与整 个浮息间隔内平均碳价相关，因此每一期浮息支付可以视为两个亚式看涨期权组合 而成的亚式牛市价差期权。由于此类期权存在远期期权，且具有路径依赖性质，因 此定价要借助数值解法进行近似求解。本文参考 Asmussen(1999)21 ，借助于蒙 特卡洛方法，模拟了分形布朗运动下五年期碳现货价格，进而对亚式牛市价差期权 进行估值。具体步骤如下：(1) 假

16、设碳价的变动过程符合几何分形布朗运动，如(5),首先将(5)欧拉离散化为(11) 由于分形布朗运动存在增量相关性，在将债券有效期等分为 n 份的情况下，利用 分形布朗运动的自相似性特征，n个分形布朗运动增量间的方差-协方差矩阵为： 其中Cij二卜j + 1|2H +卜j- 1|2H-2卜j|2H,i,j = 1.,n因此可以通过抽取均值向量为0 向量，方差-协方差矩阵为的n维联合正态分布随机数获得一条路径上分形布朗 运动的增量随机数，进而通过递推(11)获得一条标的碳现货价格的路径。(2) 采用蒙特卡洛模拟方法，产生足够多的(本文设定为 10 万条)5 年期的碳价路径 对于每条路径，取60个观

17、察点，即N=60,则每年有12个观察点,At=T/No(3) 对于每一条路径，在每年末浮动利息支付日，计算当年12个观察点的碳价的算 术平均值，与执行价比较，再通过人民币无风险利率期限结构折现，即得出亚式牛 市价差期权的价值的一个样本值。(4) 十万条路径估值的算术平均值即为亚式牛市价差期权的估值。3.4 碳债券估值实证(1) 附息债券的估值 不论欧式浮息债券或者亚式浮息债券，就固定收益部分而言，价值相同，都为上述 附息债券条款设计中的附息债券，因此本文先就附息债券进行估值。 债券的估值采用现金流法。对于附息债券的定价，公式为： 正如前文所述，本文假定设计的此款理财产品在2011年年初即201

18、1年1月4日 发行，到期日为2016年1月4日，发行方为大唐电信。查找数据后发现，中诚 信给予大唐电信的中长期信用评级一直是AA-级别，因此以同级别的中长期附息 债券收益率作为折现利率估计此款浮息债券的价值*数据来源于wind数据库。具 体AA-级别的5年期债券收益率数据如表3所示：因此附息债券部分价值为：(2) 欧式牛市价差期权的估值期权估值中涉及人民币无风险利率的估计和欧元无风险利率的计算以及分形布朗运 动下CERs现货价格的hurst指数的估计和波动率参数估计问题。这里，人民币无 风险利率选取的是发行日同期限的中债国债即期收益率* 数据来源于 wind 数据库， 时间跨度T=5年；同时假

19、设欧元无风险利率为常数，因为rq非常低，接近于0， 并且变动幅度很小，所以这个假设是合理的。分形布朗运动下Hurst指数的估计 采用hurst(1951)提出的经典的R/S分析方法，数据采用2008年8月至2012年 4月的CERs现货日数据，共计940个交易数据。在估计出hurst指数的基础上， 对波动率采用(10)，利用BlueNext交易所2010年一年的CER现货交易数据进行 估计，具体估计值见表 4.基于上述参数，利用(9)可以计算出每一年浮息部分的期权价值，如表5所示： 故在分形布朗运动下，此五年期欧式浮息碳债券期权部分价值为： 将债券部分估值和期权部分估值加和，最终得出此五年期欧

20、式浮息碳债券价值为：(3) 亚式牛市价差期权的估值分形布朗运动的参数估计同 3.1 节，由于本文设定亚式价差期权价值取决于每年的 月平均值，故在蒙特卡洛模拟中时间步长取为1个月，每年12步，估计60个时 间分段，通过模拟10万条路径来近似估计亚式价差期权的价值，上述过程通过 matlab软件来实现。最终求出五个亚式牛市价差期权的总价值为12.6490。将债 券部分估值和期权部分估值加和，最终得出此五年期亚式浮息碳债券价值为：(4) 估值结果汇总及分析根据上文欧式浮息债券和亚式浮息债券的估值分析，可以得出碳债券在分形布朗运 动下的估值结果如表6所示。从估值结果可以看出，欧式浮息碳债券和亚式浮息碳

21、债券采用同样的固定收益证券， 所以附息债券价值一致；对于期权部分，两者估值结果接近，但是几次实验均表明 亚式浮息债券期权部分收益更大，这与单个亚式期权和欧式期权的价值比较相反。 这一结果是合理的，主要是对于牛市价差期权而言，牛市价差期权卖出的是一个虚 值看涨期权，其受波动率影响比执行价较低的看涨期权大，因而波动率越大，虚值 看涨期权价值增加要大于平价看涨期权价值增加幅度，这导致牛市价差期权组合价 值降低。而亚式浮息债券相比欧式浮息债券，由于其采用的是标的资产的平均值， 导致波动率降低，因此亚式价差期权价值较高。这一点与在后续章节进行的期权价 值关于波动率的敏感性分析结论是一致的。为了更好地对碳

22、债券估值进行分析，也为了对碳债券套期保值提供建议，本文进行 了敏感性分析，分别是对碳现货价格和波动率O进行的，即计算并分析三个希腊 字母Au的值和变动情况。需要说明的是，上述模型参数的变动不影响碳债券债 券部分的价值，仅影响碳债券期权部分即浮息部分的价值，因此本文仅对碳债券期 权部分进行敏感性分析，并对五年期欧式期权组合和亚式期权组合进行对比。需要 说明是在进行亚式价差期权敏感性分析时，为了剔除模拟误差带来的影响，这里使 用了公共随机数的蒙特卡洛模拟方差减小技术。4.1 关于标的资产价格的敏感性分析 本文采用上文所述模型，保持其他参数不变，仅将碳现货价个从初始碳价的 5%变 到500%，间隔为

23、5%，计算出后绘制成对比图4-图6，图中横轴为初始碳价 的百分比。从图4可以看出，无论是亚式价差期权，还是欧式价差期权，都展现出了牛市价 差的形状，与理论一致，说明该敏感性分析是可行的。同时对比欧式和亚式可以发 现，在碳价小于 S0 时，欧式期权价值较亚式期权价值大，但随着碳价越来越高时， 亚式期权随碳价增大的幅度更大，高于欧式期权，最终稳定在 34，而欧式价差期 权价值在 31。当碳价小于等于 S0 时，亚式期权和欧式期权保持一致的上涨趋势。这种情形发生的原因在于，当S0很小时，虽然碳价有一定的波动率，但碳价很难 达到期权的执行价，故看涨期权很可能不被执行，为深度虚值期权，因而期权组合 价值

24、较小，随着碳价逐渐接近so，看涨期权多头开始盈利，故价差期权价值增大。 当碳价增大超出看涨期权空头的执行价时，碳价对于价差期权的影响被空头和多头 仓位抵消，所以价差期权价值趋于稳定。同时可以看到，在碳价小于S0,亚式期 权价值一直略小于欧式期权，这可能是因为亚式期权平均碳价的方法减少了期权执 行的可能性，但两者价值非常接近，随着碳价大于S0,波动率的影响被放大，导 致亚式期权价值增大的幅度大于欧式期权，使得亚式的曲线在欧式曲线之上，并高 出一定的幅度。碳价变动给两种价差期权带来的风险进一步可以通过图 5 中 delta 的变化看到。由图5 可以看出，两条曲线的变动趋势具有一致性，体现出两者同为

25、同一标的资 产的牛市价差期权的性质。欧式期权delta的最大值出现在0.8S0时，亚式期权的 最大值出现在1.05S0时。曲线整体呈右偏性质，当碳价低于曲线最高点对应的碳 价时，大于0且呈递增趋势，表明为了对碳债券进行套期保值，需要交易的碳 现货数量呈上升趋势；当碳价大于曲线最高点对应的碳价时，大于0且呈递减 趋势，表明为了对碳债券进行套期保值，需要交易的碳现货数量呈下降趋势。另外， 从图像上可以看出，亚式期权delta变动幅度较欧式期权大，正如上文所述，这是 受价差期权的结构影响，使得亚式期权有较大的变动幅度。如图6所示，欧式期权、亚式期权gamma随碳价格变动趋势具有一致，但亚式 期权曲线

26、有更多的毛刺。如果将亚式期权进行平滑处理，作趋势线，可以看到与欧 式期权较为一致的走势线。在图中，当碳价小于1.05S0 （亚式）/0.75S0（欧式）时， 大于0且大体上呈下降趋势，表明碳债券凸性大于0 ，这是因为当碳价很小时，看 涨期权执行的可能性很低，因而碳债券类似于普通的没有隐含期权的债券一般凸性 大于0 ；随着碳价慢慢增大，当碳价大于1.05S0小于2.50S0（亚式）/大于0.75小 于1.15S0（欧式）时，小于0且呈下降趋势，表明碳债券的凸性正负性出现了变动， 因为内嵌的牛市价差期权组合逐渐开始产生效应，碳债券价格随着利率下降以减速 度上升，或者说债券的有效持续期随着利率的下降

27、而缩短，随着利率的上升而延长， 因为利率下降时买入期权的可能性增大了；当大于1.15S0时，小于0且大体上 呈上升趋势，并越来越接近 0，说明碳债券的凸性在碳价更大时保持为负，但绝对 值趋近于 0。4.2 波动率的敏感性分析这一部分我们将碳现货价格的波动率。从0.05变到1,间隔0.05，分别计算出亚式、欧式牛市价差期权的价值以及希腊字母u值并绘制成下图7和图8 从图7 中可以看到，随着波动率的增加，欧式牛市价差期权的价值在减少，亚式 牛市价差期权的价值先增大后减小，在波动率达到 40%左右时，两价差期权价值 非常接近，这与上文碳现货实际波动率0.4153下对两组价差期权组合的估值结果 一致。

28、对于亚式期权价值先升高后降低的变动趋势，本文认为原因是，对于亚式期 权而言，波动率较小时，虚值期权基本上不能执行，波动率的增加只造成平值期权 价值的增加，期权组合的价值也增大。当波动率增加到一定范围时，虚值期权可能 被执行，同时受波动率增大的影响，虚值期权价值的增加幅度较平值期权更大，因 而期权组合价值在降低；但对于欧式价差期权，由于没有标的资产平均值降低波动 幅度，因此波动率的增加始终更多的增加了虚值期权的价值，导致欧式价差期权持 续降低。由图8可知，当波动率小于0.4时，亚式、欧式期权的Vega呈现完全不一样的变 动趋势，亚式期权Vega从正值变动到负值，欧式期权从负值慢慢增加，但一直为

29、负。但是当波动率增大到0.25以上时，两者Vega值变得越来越接近，在波动率 达到0.5 时两者相差很小，波动率增大到0.70时，两条曲线趋于重合，说明波动 率很小时，两种价差期权执行的可能性有较大差异，造成二者的价值差别很大，这 一点与上一幅期权价值变动曲线具有一致性。随着波动率逐渐增大，两个价差期权 组合执行的可能性变得比较接近，因而无论是期权价值曲线，或者是Vega曲线，都展现出趋同的性质。本文以中广核电附加碳收益中期票据的成功发行为背景，研究了碳债券的设计问题 和估值问题。文中以大唐发电为发行方，设计了5年期欧式浮息碳债券和5年期 亚式浮息碳债券，并运用分形布朗运动进行了估值和敏感性分

30、析。其中第一类欧式 牛市价差估值运用了分形“B-S公式”直接进行计算，第二类亚式牛市价差因其路 径依赖性，采用了分形布朗运动的蒙特卡洛数值模拟方法：由于分形布朗运动与布 朗运动最大的差别在于增量相关性，因此本文利用分形布朗运动的自相似性特征计 算了其增量的方差-协方差矩阵，进而利用多维联合正态分布进行了随机数抽样。 估值结果显示欧式浮息债券和亚式浮息债券估值结果比较接近，但亚式浮息债券价 值略高，进一步通过计算Au对两种碳债券进行了风险分析，结果发现：对于初 始碳现货价格的敏感性分析表明亚式、欧式价差期权敏感性变动具有一致性；同时， 受价差期权的影响，亚式价差期权变动幅度反而略大于欧式价差期权

31、；对于波动率 的敏感性分析表明，在碳价波动率较小时，亚式价差期权、欧式价差期权的敏感性 曲线变动方向相反，随着波动率逐渐上升至现实市场中的40%左右开始，亚式、 欧式价差期权敏感性变动具有一致性。因此，对于标的资产是BlueNext交易所的 CER现货的碳债券来说，欧式浮息债和亚式浮息债价值和风险差别不大，考虑到 亚式期权结构的复杂性，建议采用欧式价差期权作为碳债券的结构化部分。References：1 李正升，王俊程，基于政府间博弈竞争的越界流域水污染治理困境分析J.科学 决策,2014,12：67-76. Li Z S，Wang J C.An Analysis on the Conflic

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42、lowancesJ.Energy Economics，2009，No.31：4-15.19 Hurst H.Long term Storage Capacity of Reservoirs J.Transactions of the American Society of Civil E n g i n e e rs ， 195 1 ， 1 16：770-799.20 CiprianNecula，Option Pricing in a Fractional Brownian Motion EnvironmentR.Academy of Economic Studies Bucharest ，R

43、omania ， 2002， working paper.21 S.Asmussen，Stochastic Simulation with a View Towards Stochastic Processes.Notes of a ConcentratedAdvance Course at MaPhySto，Aarhus， Denmark，February 1999.Abstract：On the background of the successful issuance of the CGNPC wind additional carbon benefits of medium-term

44、notes in May 13，2014， this paper discusses the design and valuation of mid-term carbon bonds and analyzes the different risks incurred by different options embedded in the carbon bonds through Monte Carlo simulation of fractional process on the assumption that carbon emission reduction(CER)is subjec

45、t to the geometric fractional process.According to our result ， because of the large fluctuations in the CERs spot price，simple European carbon bonds are preferred to more complex strong-path dependent Asian carbon bonds.Key words：carbon bonds；fractional Brownian motion；Asian bull spread； sensitivity analysis