人教版八年级上册数学全册同步讲义

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1、第1讲三角形中的线段知识要点梳理知识点一：1、三角形有关概念（1）三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。（2）三角形的基本元素：三角形的三条边：即组成三角形的线段；三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角。三角形的顶点：即相邻两边的公共端点。（3）三角形的特征：三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接；三角形是一个封闭的图形。（4）三角形的符号：三 角 形 用 符 号 表 示。顶点是A、B、C 的三角形，记 作“ABC”，读 作“三角形ABC”；注意：A B C 是三角形A B C 的符号标记，

2、单独的没有意义 三角形ABC的边A B 可用边A B 所对的角C 的小写字母c 表示，A C 可用b 表示，BC可用a 表示。2、三角形的分类按边分类：不等边三角形三角朝等腰三角般底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形要点诠释：不等边三角形：三边都不相等的三角形；等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边,两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角；等边三角形：三边都相等的三角形.(2)按角分类:直角三角形三角形斜三角形.锐角三角形钝角三角形要点诠释：锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形；钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.知识点二：三角形三边间的关系定理

3、：三角形任意两边之和大于第三边。定理的数学语言：如图1,|bc|ac,b+ca,c+a b都能成立，则以a、b、c为三边的长可以构成一个三角形(此法一般不用)；|b-c|a c,则以a、b、c为三边的长可构成一个三角形。(3)已知三角形两边的长，可以确定第三边的取值范围：设三角形的两边的长为a、b,则第三边的长c的取值范围是卜一同。3 ：4 ：7 D、2 ：3 ：46 .如果三角形的两边分别为7和 2,且它的周长为偶数，那么第三边的 长 为（）A、5 B、6 C、7 D、8二、填空题1 .如图4,图中所有三角 形 的 个 数 为,在a A B E 中，A E 所 对 的 角 是,/A B C

4、所对的边是一，A D在4 A D E 中，是 的对边，在A A D C 中，是 的对边；2 .如图5,已知N 1=O.5/B A C,Z2 =Z 3,则/B A C 的 平 分 线 为,N A B C 的平分线为；3 .如图6,I）、E 是边A C 的三等分点，图中有 个三角形，B D 是三角形 中 边上的中线，B E是三角形 中 边上的中线；4 .如图7,在A B C 中，A D 是中线，则4 A B D 的面积 Zk A C D 的 面 积（填5 .如图 8,A A B C 中，Z A =4 0 ，Z B=7 2 ,C E 平分 N A C B,C D J _A B 于 D,D F 1 C

5、 E,则/C D F：度。三、解答题1.已知等腰三角形的一边等于8 c m,另一边等于6 c m,求此三角形的周长;已知等腰三角形的一边等于5 c m,另一-边等于2 c m,求此三角形的周长。提高拓展：1.如图3所示,在4A B C中，已知点D,E,F分别为边BC,AD,C E的中点，且5谢=4城,则S阴 影=（）A.2 c m B.1 c m2 C.L c m2 D.2 42.已知三角形三边长为a、b、c,化简|a+6 c|T a 6一c|3.在AABC中，AB=AC,AD是中线，AABC的周长为34cm,AABD的周长为3 0 cm,求AD的长.课后巩固1.已知三角形的三边长分别为3、X

6、、8,若x的值为奇数，则x的 值 有（）。A、1个 B、2个 C、4个 D、3个2.下列各组三条线段中，不熊组成三角形的是（）。A、三线段之比为 2：2：3 B、a+1,a+2,a+3（a 0）C 5cm,6 cm,10 cm D、3cm,5cm,9 cm4.下列说法：三角形的高、中线、角平分线都是线段；三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的高有两条在三角形外部，还有一条在三角形内部；如果P是a A B C的AC边的中点，则PB是a A B C的中线。其中正确的是（）。A、B、C、D、5、如图 2,DEBC,CD 是aABC 的平分线，/A B C=6 0。，/A=50 ,则NEDC=（6、

7、如图，A D 为 A B C 的中线，若 AB=1 0,AC=7,则4 A B D 与4 A C D 的周长之差是:第2讲三角形中的角、多边形知识点梳理：知识点一：三角形的内角与外角（-）三角形的内角：（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的角.（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于（3）三角形内角和定理的作用：在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数;已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；求一个三角形中各角之间的关系.（二）三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫 做 三 角 形 的.三角形的外角和为（2）特点：外角的顶点在三角形

8、的一个顶点上；外角的一条边是三角形的一边；外 角 的 另 一 条 边 是 三 角 形 某 条 边 的.（3）性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 的和.三角形的一个外角（大于，等于或小于）与它不相邻的任何一个内角.知识点二：多边形（-）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做.注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.（二）多边形的对角线：连接多边形 的两个顶点的线段，叫

9、做多边形的对角线.从边形的一个顶点出发，可以画 条对角线，边形一共有 条对角线.（三）多边形的内角和公式：边形的内角和为.内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数.（四）多边形的外角和定理：多 边 形 的 外 角 和 等 于.外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点三：镶嵌（-）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.（二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个 时，就能拼成一个平面图形.典例分析：题型一：

10、三角形的内角和例1、若三角形的一个角是另一个角的6倍，而这两个角的和比第三个角大44。，求此三角形的最大角。针对练习1、在ABC 中，ZB=20+ZA,/C=/B-1 0 ，求/A 的度数.2.如图，AE是 ABC的角平分线，AD1.B.C于点D,若NBAC=128。，Z C=3 6,则/D A E的度数是题型二：三角形的内角和外角例2、如图在直角4A B D中，/。=9（）,乙4=3（）。,：为人。上一点（不与人、。重合），则无可能是（）A、10 B、20 c、30。D、25。思考：本题你能求出X的范围吗？例 3、如图NABC的平分线和A A B C 的外角NACE的平分线交于点D,ZB D

11、 C =3 0 ,求 44的度数。针对练习1 .如图，C D A B,Z1=1 2 0,Z 2=8 0,则N E 的度数是()2 .如图所示，已知D是 A B C 边 A B 上一点，E 是边A C 上的一点，B E、C D 相交于点F,(1)若N A=6 2 ,Z A C D =1 5 ,Z A B E =2 0 .求N B D C 和求N B F D 的度数；(2)试说明N B F O/A.题型三：多边形的内角和外角例 4、(1)一个多边形的每一个外角都等于3 0 ,这 个 多 边 形 的 边 数 是,它的内角和是(2)正多边形的内角和等于1 4 4 0 ,那 么 这 个 正 多 边 形

12、的 边 数 为.(3)正 八 边 形 的 每 个 内 角 为 对角线有 条针对练习1 .已知一个多边形的每一个内角都等于1 0 8。，则 这 个 多 边 形 的 边 数 是.2 .正 十 二 边 形 每 个 内 角 的 度 数 为.3 .一个多边形的内角和是外角和的2倍，则 这 个 多 边 形 的 边 数 为.题型四：平面镶嵌问题例 5、一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另一个为（）A,正三边形 B.正四边形 C.正五边形 D.正六边形针对练习：1、下列正多边形中，不能够铺满地面的是（）.（A）正三角形（B）正方形（C）

13、正六边形（D）正八边形2、现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等.同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（）A.2 种 B.3 种 C.4种 D.5种3、某公园便道用三种不同的正多边形地砖铺设，其中已选好了用正十二边形和正方形两种，还需要选用，使这三种组合在一起把便道铺满.题型五综合找规律如图，N A C D 是A A B C 的外角，N A B C 的平分线与/A C D 的平分线交于点A”N A C 的平分线与N A D 的平分线交于点AZ,，NA.iBC的 平 分 线 与 的 平 分 线 交 于 点 A n.设N A=。.则：（1

14、）求NAi的度数；，（2）N 2的度数.针对练习：1.如图所示，ZABC,Z A C B 的内角平分线交于点0,Z A B C 的内角平分线与N A C B 的外角平分线交于点D,ZABC与/A C B 的相邻外角平分线交于点E,且NA=6 0 ,则NB0 C=,ZD=,ZE=.巩固练习一、选择题1、下面各角能成为某多边形的内角的和的是（）A、4 3 0 B、4 3 4 3 C、4 3 2 0 D、4 3 6 0 2、下列说法第送的个数是（）（1）钝角三角形三边上的高都在三角形的外部（2）三角形中，至少有两个锐角，最多有一个直角或钝角（3）三角形的一个外角等于它的两个内角的和（4）三角形的一个

15、外角大于它的任何一个内角（5）三角形的三个外角（每个顶点只取一个外角）中，钝角个数至少有2个A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个3、若一个三角形的三个内角度数之比为3：2：1,则与之相邻的三个外角度数之比为（）A.3：2：1 B.1：2：3 C.5：4：3 D.3：4：54.如图，直线4。，N1=4O，Z 2=6 5,则N 3=（）A.65 B.70 C.75 D.855.如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，Z l=3 0,N 2=5 0。，则N3的度数为（）A.80 B.50 C.30 D.206.如图所示，己知 A B C为直角三角形，N B=90 ,若沿图中虚线剪去NB

16、,则N1+N2等 于（）A、90 B、1 3 5 C、2 70 D、3 1 5 二.填空题1.某多边形内角和与外角和共1080,则这个多边形的边数是2.如图，则NA+NB+NC+ND+/E+NF=3.用三种边长相等的正多边形铺地面，己选了正方形和正五边形两种，还应选正_ _ _ _ _边形。4、一个四边形的四个内角中最多有_ _ _ _ _个钝角，最多有 个锐角.5、一个多边形的每一个外角都等于72,这 个 多 边 形 的 边 数 是，它的内角和是 度，对角线有 条6.如图，已知，A B/7 C D,直线EF分别交AB,C D于E、F,点G在直线EF上，G H A B,若NEGH=32。，则Z

17、 D F E的度数为.7.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张 ABC纸片，点D、E分别是边AB、A C上，将 ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若/A=70。，则/1+/2=。.若/A=a ,则/1+/2=。.（用a表示）8.将一副直角三角板如图放置，使含30。角的三角板的一条直角边和含45。角的三角板的一条直角边重合，则a-.三、解答题1、已知：如图，在 ABC中，ZB=ZC,A D平分外角NEAC.求证：AD/BC.2、如图,在ABC中,D 是 BC边上一点,/：L=N 2,/3=/4,N B A C=6 3,求NDAC 的度数.3 将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C 作 CF平

18、分NDCE交 DE于点F.(,1)求证：CF/7AB.(2)求NDFC 的度数.拓展提高:L (河北)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若N3=50。，则N l+N 2=()C.130D.1802.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720。，那么原多边形的边数为()A.5B.5 或 6 C.5 或 7 D.5 或 6 或 73.(1)如图1 是一个五角星ABCDE,请算出N A+/B+/C+N D+/E 的大小.(2)如图2,3,4,5 的变式图形中，上面的结论成立吗？为什么AAA图1C D图44、(1)如图N 1+/2与N B+/C有什么关系？为什么？(2)把图4 A

19、 B C沿DE折叠，得到图，填空：Z 1+Z 2/B+N C(填当/A=40 时，Z B+Z C+Z 1+Z 2=(3)如图，是由图的ABC沿DE折叠得到的，如果NA=30,则x+y=360-(Z B+Z C+Z 1+Z 2)=360 一=,猜想NBDA+NCEA 与NA 的关系为5、一个零件的形状如下图所示，规定NA=90,Z B和N C分别是3 2 和21,检验工人量得/BDC=149。，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的原因。6、如图所示，在ABC中，NA=a,ZABC的内角平分线或外角平分线交于点P,且NP=B,试探求下列各图中a与B的关系，并选择一个加以说

20、明.A(1)PAAp第3讲全等三角形的性质【知识点与方法梳理】全等形：形状与大小都完全相同的两个图形就是全等 形.平移、翻折、旋转前后的图形全等全等三角形的记法：A 4 B C全等于ADM,记作：A B C A D E F ,其中乙4与ZD为对应角，A B与D E为对应边。全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边相等.(2)全等三角形的对应角相等.找对应边和对应角的常用方法有：(1)有公共边的，公共边是对应边.(2)有公共角的，公共角是对应角.(3)有对顶角的，对顶角是对应角，一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边.(4)一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角(5)全等三角形对应角所

21、对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边.(6)全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角【经典例题】例 1 如图，已知A A B E 丝Z A CD,Z A D E=Z A E D,/B=/C,指出其他的对应边和对应角.例 2、如图，如果图中的两个三角形全等，根据图中所标数据，可以推理得到N a =例 3、如图所示，AABD 经A A C E,点 B 和点C 是对应顶点，AB=8,BD=7,AD=6,则 BE的长是【经典练习】1、如图，X A B g X A D E,则 1 生,ZE=Z.若N B4E=1 30 ,/为 Z M O,则N胡小2.X A B 8X D E

22、F,且/8 C的周长为 1 2,若 4?=3,E六4,则 AO.3、/ABC/BAD,/和 氏 C 和是对应顶点，如果 4?=8 c m,垃X6 c m,49=5 c m,贝!BC=c m.4、如图，ABEg Z ACD,AB=AC,BE=CD,Z B=5 0,/AEC=1 20,则N D A C 的度数等于.5.如图 1,若ABC岭AAD E,Z EAC=35 ,则N BAD=度.6、已知：DE2XMNP,A E F=N P,乙F=Z _ P,Z2？=48 ,/=5 2,例=1 2c m,求：的度数及O E 的长.7、在4?。中，N B=N C,与儿笫全等的三角形有一个角是1 0 0 ,那

23、么 在 中 与 这 1 0 0 角对应相等的角是（）A.Z A B.Z B C.Z C D./B 或N C8、如图所示，X A B M X C D B,下面四个结论中，不正确的是（）A./劭 和 心力的面积相等 B./!；沙 和 必 的 周 长 相 等C.Z A+Z ABD=AC+ACBD D.ADHBC,且 AD=BC9、如图，在aABC 中，Z A：Z B：Z C=3：5：1 0,又M N C0 ABC,则/BCM：N BCN 等于1 0、如图，已知ABEZ/XACF,Z E=Z F=9 0 ,Z CM D=7 0 ,则N 2=度.【巩固练习】基础训练题1、如图，4ABC咨Z XCD A,

24、并且BC=D A,那么下列结论错误的是（）A、Z 1=Z 2 B、AC=CA C、AB=AD 1）、Z B=Z D2、下列说法错误的有（）只有两个三角形才能完全重合；如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同;两个正方形一定是全等图形；边数相同的图形一定能互相重合.A、4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个3、已知 AABC 与 AD EF 全等，Z A=Z D=9 0 ,Z B=37 ,则 N E 的度数是（)A、37 B、5 3C、37 或 6 3D、37 或 5 34.一个三角形的三边为2、5、x,另一个三角形的三边为y、2、6,若这两个三角形全等，则 x+y=5、已知如图 ABC

25、g Z XD EF,且 BC=EF,Z B=Z D E F.则N A=,AC=_ _ _ _、D E=7、如图，AACB岭4A CB ,Z BCB,=30 ,则N A C A 的度数为9、如图，ABC Z D EF,D F 和 AC,FE 和 CB 是对应边.若/A=1 0 0 ,N F=47 ,则N D EF 等于1 0、如图，Z ABCaAD E,Z D AC=6 0 ,Z BAE=1 0 0 ,BC、D E 相交于点 F,则/D FB 的度数是能力提高题1.已知等腰aABC 的周长为 1 8 c m,BC=8 c m,若AABC丝Z A B C ,则4A B()A、7 c m 2c m

26、或 7 c m C、5 c m D 2c m 或 5 c m2、如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则乂=C中一定有一条边等于.度.3、如图，A A B E 和A A C D 是a A B C 分别沿着AB,AC边翻折1 8 0 形成的,若N BAC=1 5 0 ,则 的 度 数 是4、如图所示，己知ABCg aAD E,B C 的延长线交D E于 F,Z B=Z D=25 ,Z ACB=Z AED=1 0 5 ,Z D AC=1 0 ,则 N D FB 为第4讲全等三角形的判定（一）【知识点与方法梳理】三 角 形 全 等 的 判 定 一（定 理）：三边对应相等的两个

27、三角形全等，简 写 为“边 边 边”或“SSS”.三 角 形 全 等 的 判 定 二（公 理）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简 称“边 角 边”或“SAS”）利用尺规作图法做一个角等于已知角的理论依据是：三角形的全等边边边定理注 意：边边角不能判断两个三角形全等例 如：如图，ABC与4ABD中，AB=AB,AC=AD,Z B=Z B【经 典 例 题】例1.如 图：已知N AOB。利用尺规作图法求作:N A B C,使N A B C =Z AOB例2.如 图，已 知AC=FE、BC=D E,点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB.求证：ABC丝Z FD E例3.已知：AB=AC

28、、AD=AE,Z 1 =Z2.求证：Z ABD g Z ACE.例 4、已知，Z ABC和4 E C D 都是等边三角形，且点B,C,D在一条直线上求证：BE=AD【经典练习】1.如图，已知,AB=CD,CE=D F,AE=BF,贝!AEBF 吗?为什么？A2、如图，将两根钢条AA、BB 的中点0连在一起，使 AA、BB 可以绕着点0自由转动，就做成了一个测量工件，则 A B 的长等于内槽宽A B,那么判定OAB丝OA B 的理由是（）（A）边角边（B）角边角（C）边边边（D）角角边3.已知：如图，AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点.求证：ABE AACF.4.已知，如图，点 B、F、C

29、、E 在同一直线上，AC、D F相交于点G,A B 1 B E,垂足为B,D E X B E,垂足为E,且 AB=D E,BF=CE.求证：Z XABC丝AD EF；5、如图，AB=AC,BD=CD,求证：Z 1=Z 2.6、如图，已知 AB=CD,AC=BD,求证：Z A=Z D.7、如图，A C 与 B D 交于点。，AD=CB,E、F 是 B D 上两点，且 AE=CF,D E=BF.请推导下列结论:(D AD/BC；(2)AE/CF.8、已知：如图，A 8=4 C,A D =A E ,Z1=Z 2 0 求证：AABD=AA CE o9.如图,AE=AD,要使A ABD丝A ACE,请你

30、增加一个条件是10.如图，AB=AD,CB=CD.求证：AC 平分/BAD11.己知 AC=FE,BC=DE,点 A,D,B,F 在一条直线上，AD=BF,求证：ZE=ZC2112.如图，Z B A C Z A B D,请你添加一个条件：使A=8 C （只添一个即可）.13.在四C中，ABAC,BE、是中线，则由 可 得 g A A E B.14.已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF=CE,BEDF,BE=DF.求证：ZABE必ZCDF.【巩固练习】基础训练题1、如图 1,AB=AD,CB=CD,NB=30,/BAD=46,则/A C D 的度数是（A.12O0 B.125 C.127

31、D.1O402、如图2,线段A D与BC交于点0,且AC=BD,A D=B C,则下面的结论中不正确的是（）A.AABC ABAD B.ZCAB=ZDBA C.0B=0C D.ZC=ZD3、如图3,在 A B C和A iB iJ中，已知AB=AiB”BC=B1C1,则补充条件,可得到 ZABCg A AJBICI.4.已知如图，A、E、F、C四点共线,BF=DE,AB=CD.请你添加一个条件，使DEC04BFA：在的基础上，求证：DE/7BF.5、已知:如图 AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE,求证:ZBDC=ZDAE6、如图，1中，AB=AC,A D 平分NBAC,试说明aABD也Z

32、iACD。7、已知：如图,AD/BC,ADCB.求证：ADC=ACBA 08、已知：如图，AD/BC,AD=CB,AE=CF.求证：AAFD s ACEB 9、已知：如图，点 A、B、C、D 在同一条直线上，AC=DB,AE=DF,EA 1 AD,ED _L AO,垂足分别是A、D 求证：EAB=FDC10、如图，在A 4 8 c中，。是4 5上一点，O F交A C于点E,DE=FE,AE=CE,A B与C F有什么位置关系？说明你判断的理由。能力提高题1、己知：如图，N C A B =N D B A ,A C =B D。求证N C A O=N D B O2、已知：如图，D、E 分别是a A

33、B C 的边A B,A C 的中点，点F 在D E 的延长线上，且E F=D E.求证：(1)B D=F C (2)A B C F3、已知：如图，A B=A C ,E B=E C ,A E 的延长线交B C 于D.求证：B D=C D.4、己知:如图,A B=A C,A D=A E=B C,Z B A C=Z D A E,Z B D A=Z B C E.求证：(1)B D=C E (2)B E=A B5、如图，已知，A B D E,A B=D E,A F=D C。请问图中有那几对全等三角形？请依次给予证明。6.已知如图：AB=CD,BE=ED,ZBAD=ZBDA,求证：AC=2 AE，梃 荥，

34、伸 阿，蜘）第5讲全等三角形的判定（二）【知识点与方法梳理】复习巩固：三角形全等的判定一（公理）：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.三角形全等的判定二（定理）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简 称“边角边”或“SAS”）新课要点：三角形全等的判定三（定理）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 全 等（可以简写成“角 边 角 或 ASA）.三角形全等的判定四（定理）两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形 全 等（可以简写成“角 角 边 或 AAS）.【经典例题】例 1.如图，四边形ABCD的对角线AC与 BD相交于0点，Z1 =Z2,Z 3 =Z4.求

35、证：(1)A A B C A A D C；(2)BO=DO.例 2.如 图,Z D C E=9 0,C D=C E,A D 1 A C,B E 1 A C,垂足分别为 A、B,试说明 A D+A B=B E.例 3.已知：如图，A B=D E,直线 A E,B D 相交于 C,Z B+Z D=1 8 0,A F D E,交 B D 于 F.求证：C F=C D.【经典练习】1 .已知：如图，Z A B C=Z D E F,A B=D E,要说明A A B C 也D E F,(1)若 以“S A S”为依据，还须添加的一个条件为.(2)若 以“A S A”为依据，还须添加的一个条件为.(3)若

36、以“A A S”为依据，还须添加的一个条件为.2 .如图，在a A B C 中，N C=9 0,A D 平分/B A C,D E _ L A B 于 E,则4_ _ _ _.依据是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _3 .如图，已知A B=D C,A D=B C,E.F 在 D B 上两点且B F=D E,若/A E B=1 2 0，Z A D B=3 0，则/BCF=()A.1 5 0 B,4 0 C.8 0 D.9 04.如图,A B=C D,A D=B C,0为B D中点，过0点作直线与D A、B C延长线交于E、F,若N A D

37、 B=6 0,E 0=1 0,(1)求N D B C的度数(2)求F 0的长5 .如图，已知N 1=N 2,Z 3=Z 4,A B与C D相等吗？请你说明理由.6 .如图，C 为线段 A B 上一点，在 A C M 和C B N 中，A C=M C,B C=N C,N A C M=N B C N=6 0 ，求证：A N=M B,C E=C F7.如图，A B=A C,A D=A E.A B、D C 相交于 M,A C、B E 相交于 N,/D A B=N E A C.求证：A M=A NADE8.如图所示，在AA B C中,于点G.求证DF/BCZACB=90,CE1AB,AD=AC,AF 平

38、分/C A B 交 CE 于点 F,DF 的延长线交 AC若 AD=8cm,A G=5cm,求 DE 的长【巩固练习】基础训练题1.如图，ABCD,ADB C,那么AD=BC,A B=D C,你能说明其中的道理吗？（可添加辅助线）2.如图，AE1AB,ADAC,AB=AC,Z B=Z C,求证：BD=CE。3.已知/BAC=NDAE,ZABD=ZACE,BD=CE.求证；AB=AC,AD=AE；A4.已知BE_LAD,C F A D,且BE=CF。判断A D是ABC的中线还是角平分线？请说明理由。5.如图，四边形ABCD中，ABDC,BE、CE分另小平分NABC、Z B C D,且点E在A D

39、上。求证：BC=AB+DC。6.已知：AB/ED,NEAB=NBDE,AF=CD,E F=B C,求证：Z F=Z C能力提高题1.已知如图，E.F在BD上，且AB=CD,BF=DE,AE=CF,求证：AC与BD互相平分.2.已知：Z1=Z2,CD=DE,EF/AB,求证：EF=AC3.如图，已知N1=N2,Z 3=Z 4,求证：AD/BC4.已知：在AOB 和COD 中，0A=0B,OC=OD.(1)如图 1,若NAOB=NCOD=60,求证：AC=BD;/A P B=6 0。(2)如图2,若/人。8=/8。=0#6()。,则人(：与8。是否相等？(直接回答，不用证明)求此时的NAPB(用a

40、表示)5.如图9所示，ZXABC是等腰直角三角形，NACB=90,A D是BC边上的中线，过C作A D的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：ZADC=ZBDE.（提示:过C作CH垂直于AB,垂足为H,交AD于M）第6讲 全等三角形的判定（三）【知识点与方法梳理】复习巩固：三角形全等的判定一三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.三角形全等的判定二有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简 称“边角边”或“SAS”）三角形全等的判定三两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.三角形全等的判定四两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角

41、形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.新课要点：三角形全等的判定五斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等.（H L）【经典例题】例1.如图，B、E、F、C在同一直线上，AF_LBC于F,DE_LBC于E,AB=DC,BE=CF,求证：A B H C D例 2.已知 如图，ABBD,CDBD,AD=BC,求证：AD/7BC.例3.如图，AD是aA B C的高，E为AC上一点，BE交AD于F,具有BF=AC,FD=CD,试探究BE与AC的位置关系.例 4.如图，A、E、F、B 四点共线，ACJ_CE、BD_LDF、AE=BF、AC=BD,求证：zXACF丝BDE.【经典练习】1.如图，在

42、a A B C和 ABD中，ZC=ZD=90,若利用“AAS”证明aABC岭ZABD,则需要加条件或;若利用“HL”证明AABC丝A A B D,则需要加条件或.2 .如图，在a A B C 中，已知D是 B C 中点，D E _ L A B,D F 1 A C,垂足分别是E、F,D E =D F.求证：A B=A C3 .如图，C E A B,D F 1 A B,垂足分别为 E、F,A C D B,且 A C=B D,那么 R tA A E C R tA B F I)的理由是().A.S S S B.A A S C.S A S D.H L4 .已知：如图，A C 平分/B A D,C E _

43、 L A B 于 E,C F _ L A D 于 F,且 B C=D C.你能说明B E 与 D F 相等吗？5 .如图，在/式1 中，AB=AC,应 是过点/的直线，BD1 DE于 D,CE1 DE千 E.(1)若 6 c在比 的同侧(如图)且月氏龙，说明：(2)若理在比 的两侧(如图)其他条件不变，问与/C 仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由.【巩固练习】基础训练题1 .在 R tA A B C 和 R tA D E F 中，Z A C B=Z D F E=9 0,A B=D E,A C=D F,那么 R tA A B C 与 R tA D E F（填全等或不全等）2 .如图，点 C

44、在N D A B 的内部，C D _ L A D 于 D,C B _ L A B 于 B,C D=C B 那么R t A D C 之R tZ X A B C 的理由是（）A.S S S B.A S AC.S A S D.H L3 .下列说法正确的个 数 有（）.有一角和一边对应相等的的两个三角形全等；有两边对应相等的两个直角三角形全等；有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等；有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等.A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个4 .过等腰A A B C 的顶点A作底边的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是.5 .如图，Z M B C 中，Z C=9 0,A M

45、平分/C A B,C M=2 0cm,那么 M 到 A B 的距离是（）cm.6 .在A B C 和 A B C 中，如果A B=A B ,Z B=Z B,C=AC,那么这两个三角形（）.A.全等 B.不一定全等 C.不全等 D.面积相等，但不全等7.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A.相等 B.不相等 C.互余或相等 D.互补或相等8 .如图，Z B=Z D=90,要证明a A B C 与A A D C 全等，还需要补充的条件是.9.如图，在a A BC 中，Z A CB=90,A C=BC,直线 M N 经过点 C,且 A D

46、J _ M N 于 D,BE _ LM N 于 E,求证：D E=A D+BE.10.如图，已知A C_ LBC,A D 1BD,A D=BC,CE A B,D F A B,垂足分别为E、F,那么，CE=D F 吗？谈谈你的理由11.如图,已知 A B=A C,A B1BD,A CCD,A D,BC 相交于点 E,求证：(1)CE=BE；(2)CB1A I).能力提高题1.如图，E、F 分别为线段A C 上的两个动点，且 D E _ L4C于 E,BF _ LA C于 F,若 AB=CD,AF=CE,B D 交 AC于点M.(1)求证：MB=MD,ME=MF(2)当 E、F 两点移动到如图的位

47、置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由.2.如图，在ABC中，D是BC的中点，DELAB,D FA C,垂足分别是E、F,且DE=DF,试说明AB=AC.3.如图：BE1AC,CF1AB,BM=AC,CN=AB。求证：(1)AM=AN；(2)AM 1AN,4.如图，ABC中，NBAC=90度，ABAC,BD是NA8 c的平分线，8。的延长线垂直于过C点的直线于,直线CE交B A的延长线于F.求证：BD=2CE.第7讲角平分线的判定与性质【知识点与方法梳理】角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，

48、在这个角的平分线上。作已知角的平分线的方法：已知：NAO B （如图）求作：NAO B 的角平分线0C.作法：1.以 0 为圆心，适当长为半径作弧，交 0A 于 M,交 0B于 N。12.分别以M、N为圆心，大于5 M N 的长为半径作弧，两弧在N A O B 内部交于点C3.作射线0 C,射线0C即为所求。【经典例题】例 1.已知：如图，A BC中，Z C=90,A D 是A A B C 的角平分线，D E _ LA B于 E,F在 A C上 BD=D F,求证：CF=E B例 2.已知：如图，A D、BE 是A A B C 的两条角平分线，A D、BE 相交于0 点求证：0 在NC 的平分

49、线上例 3.如图A BCD,Z B =90 ,E 是 B C 的中点。D E 平分N A D C,求证：A E 平分N D A B。【经典练习】1如图，CD LA B,B E 1 A C,垂足分别为D,E,BE,CD 相交于点0,0 B=0 C,求证/BA 0=/CA 02.如图，0C是/A 0 B 的角平分线，P 是 0C上一点，PD J _ 0A 交于点D,PE J _ 0B交于点E,F是 0C上除点P、0 外一点，连结D F、E F,则 D F 与 E F 的关系如何？证明你的结论。3.如图，在CD上求作一点P,使它到OA,0B的距离相等（写出作法）。4.要将如图中的/MON平分，小梅设

50、计了如下方案：在射线OM,ON上分别取OA=OB,过A作DAJ_OM于A,交ON于D,过B作EBLON于B交0M于E,AD,EB交于点C,过0,C作射线0C即为MON的平分线，试说明这样做的理由.5.如图AABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE、D F分别垂直AB、A C,垂足为E、F,求证：EB=FC6.如图，在aABC 中，AD 为/BAC 的平分线，DE_LAB 于 E,DF_LAC 于 F,AABC 面积是 28cm?,AB=8cm,A C=6 cm,求 D E 的长.【巩固练习】基础训练题1.如图，在 R t Z A BC中，Z C=90,BD 是N A B C 的平分线，

51、交 A C于点D,若 CD=n,A B=m,则4 A B D 的面积是（）1cA.m+n B.m n C.2mn D.m n22.如图，己知A C 平分N P A Q,点 B,B，分别在边A P,A Q上,如果添加一个条件，即可推出A B=A B，,那么该条件不可以是（）A、BB_ LA C B、BC=BC C、Z A CB=Z A CB,D、N A BC=/A BC3、如图，F D A O于 D,F E 1 B 0 于 E,下列条件：O F是/AO B 的平分线；D F=E F；D O=E O；（4）Z O F D=Z O F E 其中能够证明 D OF g/X E OF 的条件的个数有（）

52、A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.如图，在 M8C 中，E、F分别是A B、A C 上的点，E F=5cm,BP、CP分别是N A 8 c 和2 4 C B 的角平分线，且 P D1 BC于 D,P E1 AB 于邑 P F1 AC 于 F,已知 PD=4cm贝 ij E F的周长是 cm.5.如图（7）：A C1BC,B M平分N A B C 且交A C 于点M,N是 A B 的中点且BN=BC。求证：(1)M N 平分N A M B,(2)Z A=Z CBM 6.如图：在 ABC中，Z B,N C相邻的外角的平分线交于点D。求证：点D在N A的平分线上。7.如图8、AB=CD,ZP

53、 CD的面积等于4 PA B的面积，求证：0 P平分NBOD。8.如图9、在a A B C中，Z B =60,ABC的角平分线AD、CE 交于点。，求证：AE+CD=AC能力提高题1.已知：如图，Z C=2 Z B,Nl=/2,求证：AB=AC+CD2.已知，如图 2,Z 1 =Z 2,P 为 BN 上一点，且 P DJ_BC 于 D,AB+BC=2BD,求证：ZBAP+ZBCP =180 o3、如图，已知NCAD=NCDA,AC=BD,E 在 BC 上，DE=EC,求证：AD 平分NBAEABDEC（提示:延长AE到P,使得EP二AE,连接CP,证三角形ABD与P AC全等）4.如图，已知A

54、BCD,0是NACD,N C AB的平分线的交点，且OE_LAC于E点，0 E=1 2,求A B与CD之间的距离A BEC0D第8讲全等三角形章节复习复习纲要：三角形全等的判定一三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.推理模式：在A A B C 与A D E F 中AB=DE：BC=EFAC=DF/.A BC A D E F(SSS)三角形全等的判定二有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简 称“边角边”或“SA S”）推理模式：在A A B C 与A D E F 中AB=DE；NB=NEBC=EF.,.A BC A D E F(SA S)三角形全等的判定三两角和它们

55、的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“A SA”）.推理模式：在a A B C 与A D E F 中NB=ZE BC=EFNC=NF.,.A BC A D E F(A SA)三角形全等的判定四两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以筒写成“角 角 边 或 A A S ）.推理模式：在a A B C 与A D E F 中NA=NO BD 1D F.A E=BF、A C=BD,求证：4 A CF 畛Z BD E.D经典练习：1、下列条件中，不能判定aABC丝ZA B C 的是（）A、AB=A B,NA=NA,AC=A C1B、AB=A B,NA=NA,NB=NBC、A

56、B=A B,NA=NA,ZC=ZCfD、/A=/A ,NB=NB,ZC=ZCZ2.在 ABC 与 ABC中，已知/A=4415,ZB=6712,NC=6833,ZA,=44015,且A C=A C,则这两个三角形（）A.一定不全等 B.一定全等 C.不一定全等 D.以上都不对3.已 知AABC中，AB=10,BC=15,CA=20,点。是AABC内 角 平 分 线 的 交 点，（三角形三个内 角 的 平 分 线 交 于 一 点）则AABO、ABC。、ACA。的 面 积 比 是（）A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:54.如图，已知点E在AABC的外部，点D在BC边上，D

57、E交AC于F,若N1=N2=N3,AC=AE,则有（）A.AABDAAFD B.AAFEAADC C.AAEFADFC D.AABC AADE5.如图，AB A C,点P为AABC的角平分线AD上一点，则下列说法正确的是（）A.AB-ACP B-P CC.AB-AC=P B-P CB.AB-AC P B-P CD.无法确定6.下列说法不正确的是（）A.有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等B.有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D.有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等7.在 A B C 中，A C=5,中线A D=4,则边A B

58、 的取值范围是（）A.1AB9 B.3AB13 C.5AB13 D.9ABBF D、AF A C,点P为AABC的角平分线AD上一点，则下列说法正确的是（）A.AB-ACPB-PCC.AB-AC=PB-PCB.AB-AC P B-P CD.无法确定6.下列说法不正确的是（）A.有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等B.有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D.有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等7、1.如图，在AABC 中，ADBC,C E 1A B,垂足分别是 D,E,AD,CE交于点H,已知EH=EB=3,A E=4,则CH的

59、长是（）A.1 B.2 C.3 D.48.在A B C中，A C=5,中线A D=4,则边AB的取值范围是（）A.1AB9 B.3AB13 C.5AB13 D.9AB,3)-24-x5-y5(2)(-0.12,2。隈(-8)2 0(3)(-6a+2)-3anb（4）（3*广（2 孙 2 J(5)(2/z+6)(n 3)(6)(2 x+3)(2%3)4小明和小刚共同解一道题（2 x+a）（3 x+力，由于粗心，小明抄错了第一个多项式中。前面的符号，得到的结果是6 炉+1民一 1 Q 小刚漏抄了第二个多项式中X 的系数，得到的结果是2/一9 X+1 0。（1）求 a、b的值;（2）计算出正确的结果

60、第2讲整式的除法知识点梳理：（1）同底数基相除，底数不变，指数相减。a,an=a-n（a w O,根、是正整数，且?）（2）任何不等于0的数的0次累都等于1。=1（。0）（3）单项式除以单项式，把系数与同底数幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（4）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。经典例题例 L 计算3（1）（一 一 /y 3 ）+（3/y）（2）（1 3 c2 ）.。*匕。(3)(2 )3.(_ 7 孙 2)+(14/y3)(4)(2a+()4 +(2Q+(产（12。-6，+3。）+3 a；(6)(2

61、1xy!-3 5 xy+7 x2y2)4-(-7 x2y).(7)(x+y)y(2 x+y)-8 x+2x.(8)(2 n +/?)2-(2a +b X2a-b)2b-b例 2.已知x=32 m+2,y=5+9,请你用含x 的代数式表示y.例 3.已知、y 满足(x+2 f+y-=0求 4(xy-1)2-(xy+2)(2-xy)4 xy 的值5 4例 4.(1)已知8”=12,4 =6,求 2f 的直(2)已知9 2 7”+3 劣的值为2 7,求 m的值.经典练习：L计算：(1)28x4y24-7x(2)-5asb3c-?15o4fa(3)(2x2y)3 (-7xy2)-?14x4y3(4)5

62、(2a+b)4-r(2a+b)2(5)-x-T-(-x)34-2X2.(6)(6 xy+5 x)+x(7)(15x2y-1 Oxy)4-5xy(8)(8a2-4ab)-r(-4a)(9)(25X3+15X-20X)4-(-5x)3)+(加4 2 4/y +(-6x y)(9)7机(4机2 P+7加2(1 1)(6-81)+(-2/)2.填空4元、1 12x、；1 631 2172 yJ 1 J(2)(6a3+4 a)4-2 a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _+_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(3)(1 2 x-8x+1 6x)4-(-4 x)(4)(x3/)-(x2y)4

63、 8 1 6-(6)(2 x2y)3(6x3y2)(8)(5/丫 +5/X 2(1 0)(-。6 卜 L*1 2 J(1 2)ab-5 a2b2)4a b第3讲乘法公式知识点梳理：(1)平方差公式：两个数的和乘这两个数的差，等于这两个数的平方差。即(。+勿 3-力)=/注：平方差公式中的a、b既可以是数，也可以是代数式(2)完全平方公式：两数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2 倍即：(a+b)2=a2+b2+2ab(a-b)2=a2+b2-2ab经典例题例 1.计算(1)(x+2)(x-2)=(2)(X+2)2=(3)(36+2)(30 2)=(4)例2)2=(5

64、)x +(y +l)J.v-(+1)解：原式=()2 (产(6)(at+b 3)解：原式=()-32=()2-2x3x()+3例 2.先化简，再求值：,1 1尸)，其中x=解：原式=当 x=L y=时3 2原式=例 3.已知(2 a +2/?+1)(2。+2/?-1)=63,求 a +b 的值。例 4.若/+2(加-3)x+1 6是完全平方式，求机的值等于。(2)若9/+1%+“是完全平方式，贝UM=o(3)多项式4 机2+1 加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，请你写出符合条件的这个单项式是.(4)已知。-6=5,a b =1 4,则。之+力：=例 5.已知a?+h2+2 a-4 b

65、+5=0,求2 a?+4 5 3 的值经典练习：1、选择题(1)下列计算结果是3 +8)2 的 是()A.(a b)(a +b)B.(a b)，C.(a +b)D.(a Z?)（2）下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A.(x-y)(x+y)B.(-x-y)(-x+y)C.(x+y)(x +y)D.(x-y)(y x)（3）下列各式中能用平方差公式计算的是（），不能用平方差公式的，能否用其他公式，请在横线上写上正确公式的代号.A.(3x +2)(3x +2)可选用公式_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _B.(3x +2)(3x 2)C.(3x-2)(3x-2)D.(

66、3x +2)(3x 1)可选用公式_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _可选用公式_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _可选用公式_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2、判断下列各题是否正确，并将错误的在“修正意见”栏中改正。原 题选择正误修正意见(a +3 b)(a 3 b)=a2 3 4 5 3Z?2。对。错(a +3 h)(a-3 h)=(a-b)2=(-b1。对。错(a-b)2=(X+2)2=X2+4。对。错(x+2)2 =(m+n)2=m2 4-m n +tv。对。错(m+)2 =(2Qb)(2c i+Z?)=2Q _ b。对。错(2a b)(2Q+方)=(-2a-b)(-2a-b)=4a2-b1。对。错(-2a -b)(2a b)=(1)(+2b)(a -2b)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(2)(3a +2