1995考研数二真题及解析

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1、19951995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 5 小题小题,每小题每小题 3 3 分分,满分满分 1515 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1)设y cos(x)sin221,则y.x(2)微分方程y y 2x的通解为.2x 1t(3)曲线在t 2处的切线方程为.3y t(4)lim(n1222n n1n n22n).2n nn(5)曲线y x2ex的渐近线方程为.二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 5 小题小题,每小题每小题 3 3 分分,满分满分 1515 分分.每小题给出的

2、四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一项符只有一项符合题目要求合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).)(1)设f(x)和(x)在(,)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)0,(x)有间断点,则 ()(A)f(x)必有间断点 (B)(x)必有间断点(C)f(x)必有间断点 (D)2(x)必有间断点f(x)(2)曲线y x(x1)(2 x)与x轴所围图形的面积可表示为 ()(A)(B)20 x(x1)(2 x)dx2110 x(x1)(2 x)dxx(x1)(2 x)dx10(C)(D)x(x1)(2 x)dxx(x1)(2 x)dx1220 x(

3、x1)(2 x)dx(3)设f(x)在(,)内可导,且对任意x1,x2,当x1 x2时,都有f(x1)f(x2),则()(A)对任意x,f(x)0 (B)对任意x,f(x)0(C)函数f(x)单调增加 (D)函数 f(x)单调增加(4)设函数f(x)在0,1上f(x)0,则f(1)、f(0)、f(1)f(0)或f(0)f(1)的大小顺序是 ()(A)f(1)f(0)f(1)f(0)(B)f(1)f(1)f(0)f(0)(C)f(1)f(0)f(1)f(0)(D)f(1)f(0)f(1)f(0)(5)设f(x)可导,F(x)f(x)(1|sin x|),若使F(x)在x 0处可导,则必有 ()(

4、A)f(0)0 (B)f(0)0(C)f(0)f(0)0 (D)f(0)f(0)0三、三、(本题共本题共 6 6 小题小题,每小题每小题 5 5 分分,满分满分 3030 分分.).)(1)求limx01cosx.x(1cosx)f(y)(2)设函数y y(x)由方程xed2y e确定,其中f具有二阶导数,且f 1,求2.dxyx2(3)设f(x 1)ln2,且f(x)ln x,求(x)dx.x 221xarctan,x 0,(4)设f(x)试讨论f(x)在x 0处的连续性.x2 0,x 0,x 1cost(5)求摆线一拱(0 t 2)的弧长.y t sint(6)设单位质点在水平面内作直线运

5、动,初速度vt0 v0,已知阻力与速度成正比(比例常数为 1),问t为多少时此质点的速度为四、四、(本题满分本题满分 8 8 分分)求函数f(x)v0？并求到此时刻该质点所经过的路程.3x20(2t)etdt的最大值和最小值.五、五、(本题满分本题满分 8 8 分分)设y e是微分方程xy p(x)y x的一个解,求此微分方程满足条件yxln20的特解.六、六、(本题满分本题满分 8 8 分分)x如图,设曲线L的方程为y f(x),且y 0,又MT,MP分别为该曲线在点M(x0,y0)处的切线和法线,已知线段MP的长度为 y(x0),试推导出点P(,)的坐标表达式.y0七、七、(本题满分本题满

6、分 8 8 分分)设f(x)(1 y)y(x0),(其中y0y03220yP(,)LM(x0,y0)TOxx0sintdt,计算f(x)dx.0t八、八、(本题满分本题满分 8 8 分分)设limx0f(x)1,且f(x)0,证明f(x)x.x19951995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 5 小题小题,每小题每小题 3 3 分分,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】2xsin(x2)sin21xcos(x2)sinx22x【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法则,si

7、n21cos(x2)sin2y cos(x)x21x1111cos(x2)2sincos(1)2xxxx2cos(x2)sin1x.2xsin(x2)sin22xx sin(x)2xsin22【相关知识点】复合函数求导法则：y(f(x)的导数为y(f(x)f(x).(2)【答案】y c1cos xc2sin x2x【解析】微分方程y y 2x对应的齐次方程y y 0的特征方程为r 1 0,特征根为r1,2 i,故对应齐次方程的通解为C1cos xC2sin x.设非齐次方程的特解Y axb,则Y a,Y 0,代入微分方程y y 2x,得20axb 2x,比较系数得a 2,b 0,故Y 2x.所

8、以通解为y C1cos xC2sin x2x.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y(x)是二阶线性非齐次方程*y P(x)yQ(x)y f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程y P(x)yQ(x)y 0的通解,则y Y(x)y*(x)是非齐次方程的通解.2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即y P(x)yQ(x)y 0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程变为y pyqy 0.其特征方程写为r pr q 0,在复数域内解出两个特征根r1,r2；分三种情况：(1)两个不相等的实数根r1,r2,则通解为y

9、 C1erx12C2er2x;rx(2)两个相等的实数根r1 r2,则通解为y C1C2xe1;(3)一对共轭复根r1,2i,则通解为y exC1cosxC2sinx.其中C1,C2为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程y P(x)yQ(x)y f(x)的一个特解y(x),可用待定系数法,有结论如下：x*kx如果f(x)Pm(x)e,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y(x)x Qm(x)e*的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1 或 2.x如果f(x)e Pl(x)cosx Pn(x)sinx,则二阶常系数

10、非齐次线性微分方程y p(x)yq(x)y f(x)的特解可设为(1)(2)y*xkexRm(x)cosx Rm(x)sinx,(1)(2)其中Rm(x)与Rm(x)是m次多项式,m maxl,n,而k按i(或i)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.(3)【答案】y 3x7 0【解析】切线的斜率为dydxt2dydtdxdt3t22tt2t23t 3.2t2当t 2时,x 5,y 8.故所求切线方程为y8 3(x5).化简得y 3x7 0.【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果(4)【答案】x(t)dy(t),则.dx(t)y(t)12an【解析】应用夹逼准则求数列的极

11、限.令12n222n n1n n2n nn12n22则an2n nnn nnn nn1n(n1)12n22n22nn 2n1 n1.2 n21222n nn n1 n11即 an,2 n221 n1111所以lim liman lim.n2 n2n22n21由夹逼准则,得liman.即n212n1lim(222).nn n1n n2n nn2又an(5)【答案】y 0【解析】函数y x2ex的定义域为全体实数,且21n(n1)n12n21,222n nn nn n2lim y limx2ex 0,xx2所以曲线只有一条水平渐近线y 0.【相关知识点】铅直渐近线：如函数y f(x)在其间断点x

12、x0处有lim f(x),则xx0 x x0是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim f(x)a(a为常数),则y a为函数的水平渐近线.x二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 5 小题小题,每小题每小题 3 3 分分,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】(D)【解析】方法一方法一：反证法,利用连续函数的性质,即有限多个在同一点处连续的函数之乘积,仍然在该点处连续.设函数(x)(x)f(x)必无间断点,这与无间断点,因为f(x)是连续函数,则(x)f(x)f(x)(x)有间断点矛盾,故应选择(D).方法二方法二：排除法,举出反例排除.设f(x)1,(x)1,x 0,1,x 0,

13、则 f(x)1,f(x)1,(x)1都处处连续,排除(A),(B),(C).故应选择(D).(2)【答案】(C)【解析】方法一方法一：利用定积分的求面积公式有220 x(x1)(2 x)dx x(x1)(2 x)dx012012 x(x1)(2 x)dxx(x1)(2 x)dx应选择(C).方法二方法二：画出曲线y x(x1)(2 x)的草图,所求面积为图中两面积之和,即x(x1)(2 x)dxx(x1)(2 x)dx,0112故应选(C).(3)【答案】(D)【解析】因为对任意x1,x2,当x1 x2时,x1 x2,则函数f(x1)f(x2),即 f(x1)f(x2),故 f(x)是单调增加

14、的.应选择(D).对于(A)(B)(C)可令f(x)x,则对任意x1,x2,当x1 x2时,都有f(x1)f(x2),但f(0)3x2x03 0,f(x)3(x)2 0,f(x)x3,在其定义域内单调减少.故排除(A)(B)(C).(4)【答案】(B)【解析】由f(x)0可知f(x)在区间0,1上为严格的单调递增函数,故f(1)f(x)f(0),(0 x 1)由微分中值定理,f(1)f(0)f(),(0 1).所以f(1)f(1)f(0)f()f(0),(0 1)应选择(B).(5)【答案】(A)【解析】函数f(x)在x x0处可导的充分必要条件是f(x0)与f(x0)存在且相等.由于F(x)

15、f(x)f(x)|sin x|,而f(x)可导,所以F(x)在x 0处可导等价于f(x)|sin x|在x 0可导.令(x)f(x)|sin x|,则f(x)|sin x|f(x)sin x(0)lim lim f(0),x0 x0 xxf(x)|sin x|f(x)sin x(0)lim lim f(0),x0 x0 xx于是要使F(x)在x 0处可导,当且仅当 f(0)f(0),即f(0)0.故选择(A).三、三、(本题共本题共 6 6 小题小题,每小题每小题 5 5 分分,满分满分 3030 分分.).)(1)【解析】利用等价无穷小计算,即当x 0时,sin xx.2 x x22sin2

16、1cosx1121.21lim原式 limlim2x02x2x0 x 1cosx1cosx2x02x2xsin2x22(2)【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数.方法一方法一：将方程两边对x求导,得ef(y)xef(y)f(y)y ey y,ef(y)即y y,f(y)e xf(y)e将xef(y)ey代入并化简,得y 1.x(1 f(y)两边再对x求导,得y 0 x(1 f(y)x(1 f(y)2(1 f(y)x(f(y)y)x(1 f(y)2 1yf(y).x2(1 f(y)x(1 f(y)2将y 1代入并化简得x(1 f(y)y 1f(y).322x(1 f(y)x(1 f(y

17、)方法二方法二：方程两边先取对数再对x求导.方程两边取对数得ln x f(y)y,求导得1 f(y)y y,x1.x(1 f(y)因为f 1,所以y 以下同方法一.【相关知识点】复合函数求导法则：y(f(x)的导数为y(f(x)f(x).(3)【解析】首先应求出(x)的表达式.由x2x211f(x 1)ln2 ln2,x 2x 112令x 1 t,得f(t)ln2t 1.又t 1f(x)ln(x)1 ln x,(x)1则(x)1x1 x.解得(x).因此(x)1x1(x)dx 必与f(x0)相等.x12dx(1)dx x2ln x1 C.x1x1(4)【解析】函数f(x)在x x0处的导函数连

18、续的充分必要条件是f(x0)与f(x0)存在且12x2当x 0时,f(x)arctan2,由于x1 x412x20 lim f(x)lim f(x)lim f(x)limarctan2,4x0 x0 x0 x0 x1 x22f(0)limx0f(x)f(0)f(x)1 lim limarctan2,x0 x0 x0 xx2x0所以lim f(x)lim f(x)f(0).x0故f(x)在x 0处连续.(5)【解析】由弧微分公式得ds 所以x(t)y(t)dt 22sin2t(1cost)2dt 2(1cost)dt,s 202(1cost)dt 22022ttt22sin2dt 2sindt

19、2sin dt00222t 4cos 4(11)8.20(6)【解析】设质点的运动速度为v(t),由题设,阻力为v(t),按牛顿第二定律有m其中质量m 1,即dv(t)v(t),dtdv(t)v(t).dtt这是简单变量可分离的微分方程,解之得v(t)Ce.另有初始条件v(0)v0,得v(t)v0e.当此质点的速度为tv0vt时,有0 v0e,得t ln3.33ln3到此时刻该质点所经过的路程为s 四、四、(本题满分本题满分 8 8 分分)【解析】对函数f(x)012tln3v0e dt v0e v1v0.0033tx20(2t)etdt两边求导并令f(x)0,得f(x)2x(2x2)ex0,

20、解得驻点x 0,x 2.2f(x)0,x 2,f(x)0,2 x 0,由于f(x)0,0 x 2,2 x ,f(x)0,f(x)严格单调增,f(x)严格单调减,f(x)严格单调增,f(x)严格单调减,所以f(2),f(2)为函数f(x)的极大值点,f(0)为函数f(x)的极小值点,且f(2)(2t)etdt (2t)etetdt 1e2,000222f(0)(2t)etdt 0,0tt又lim f(x)lim f(x)(2t)e dt (2t)exx000etdt 1,02所以f(2)1e为函数f(x)最大值,f(0)0为函数f(x)的最小值.【相关知识点】积分上限函数的求导公式：dxftdt

21、 fxx fxx.x dx五、五、(本题满分本题满分 8 8 分分)【解析】把y e和y e代入所给的一阶线性微分方程,得xxxex p(x)ex x,解得p(x)xex x.x线性方程被确定为xy(xe x)y x,即y(ex1)y 1.这是一阶线性非齐次微分方程,通解为y e(ex1)dxe(ex1)dxdxCex eexxeln2eeexxxexexdxC edxC edxCeexxxee再由yxx(eeC)exCeeCexeln 2ln2xxx.12xln2 0得e 0,即C e.故所求的特解为y e eexx12【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程y p(x)y q(x)的通解公式为

22、:p(x)dxp(x)dxy e(q(x)edxC),其中C为常数.六、六、(本题满分本题满分 8 8 分分),y0,表示出,.【解析】要求点P的坐标,也就是说,要用x0,y0,y0由MP 1 y023 2,有y0(x0)2(y0)21 y022y03,又由法线的斜率与切线斜率互为负倒数的关系,知 y0 x0,y0(y0)代入消去,得到把式,即(x0)y02)2/y02,(y0)2(1 y021 y0由y 0,知曲线是向上凹的,容易看出 y0,所以可化为 y0,y0(1 y02)y0(y0)且 x0 y0,y0 y02 x(1 y),00y0于是得1 y(1 y2).00y0七、七、(本题满分

23、本题满分 8 8 分分)【解析】方法一方法一：这是一个积分上限函数求定积分,可以考虑用定积分的分部积分法.由于f(x)因而由分部积分法和f(0)0sin x,xsint0tdt 0,有00f(x)dx f(x)d(x)f(x)(x)0f(x)(x)dx0(x)0sin xdx sin xdx cosx0 2.0 x方法二方法二：对于二重积分0 xsintf(x)dx dtdx,可以通过变换积分次序来求解.00t其中0f(x)dx 0sintxsintdt dx dtdx,0ttDD(x,t)0 x,0 t x(x,t)0t,t x.于是0f(x)dx 0sintsintdxdt dtdx si

24、ntdt 2.t0tt0t八、八、(本题满分本题满分 8 8 分分)【解析】由于limx0f(x)1,所以必有f(0)0,且xf(0)limx0f(x)f(0)f(x)lim1.x0 x0 x证法一证法一：用函数单调性证明不等式.令(x)f(x)x,则(x)f(x)1 f(x)f(0).由于f(x)0,所以函数f(x)单调增加,(x)f(x)f(0)0,x 0,(x)f(x)f(0)0,x 0,(x)在x 0由负变正,所以x 0是(x)的极小值点也是最小值点,(x)f(x)x(0)f(0)0 0,即f(x)x.证法二证法二：用泰勒公式.f(x)f(0)f(0)x因为f(x)0,所以所以f(x)x11f()x2 xf()x2.2!21f()x2 0.21f()x2 x.2